模糊数学精品讲义-模糊关系与聚类分析1

1 3.6 模糊关系与聚类分析 3.6.1 经典关系 “ 关系 ” 是一个普遍使用的 ， 又是很重要的概念 。例如父子关系 、 兄弟关系 、 朋友关系 、 大小关系 、从属关系 、 买卖关系 、 供求关系 、 合作关系等等 ，他表示了事务之间的某种联系 。 在数学上 ， 关系有严格的定义 。 2 定义 3.6.1 设 X、 Y 为两个非空集合， XY 为 X 与 Y 的笛氏积，即 XY= (x, y) | x X， y Y 。 若有 R XY （ 即 RP ( XY )， 则称 R 为 X 到 Y 的二元关系 ，简称 关系 。对于任何一个 (x, y) X Y， 若 (x, y)R， 则称 x 与 y 具有关系 R， 记作 xRy； 若 (x, y)R， 则称 x 与 y 不具有关系 R， 记作 。 若 X = Y， R 是从 X 到 Y 的关系，则可称 R 是 X 上的关系 。 yRx3 例 3.6.1 设 X、 Y 是实数集， R 是 X 上的“大于”关系，即 xRy x y 或 R = (x， y) x， y 为实数，且 x y ， 亦即 R 是坐标平面上直线 y = x 下方 （ 不含直线上的点 ） 那部分平面的点集（图 3.34） 4 图 3.34 关系 x y x y 0 R 5 从 X 到 Y 的关系 R 是论域 X Y 的经典子集 。 所以经典集的并 、 交 、 补运算及其性质 ， 以及经典集的特征函数表示法 ，对 R 当然适用 。 6 若 X 与 Y 之间有一规则 R， 使得 xX， 按规则 R 唯一地与 yY 对应 ， 则 R 决定了从 X 到 Y 的映射 R: XY x | R(x) = y， (x, y)R 由此可见， 映射中的规则 R，就是 X 到 Y 的关系 R。 7 例 3.6.2 设有四个学生甲 、 乙 、 丙 、 丁 ， 用优 、 良 、 差来衡量他们的学习成绩 。 若作出两个集合 X =甲 ， 乙 ， 丙 ， 丁 ， Y =优 ， 良 ， 差 ， 再作其直积 （ 笛氏积 ） X Y = (甲，优 )， (甲，良 )， (甲，差 )， (乙，优 )， (乙，良 )， (乙，差 )， (丙，优 )， (丙，良 )， (丙，差 )， (丁，优 )， (丁，良 )， (丁，差 ) 8 如果已知甲的成绩是优 ， 乙和丙的成绩是良 ，丁的成 绩是差 ， 则 R = (甲，优 )， (乙，良 )， (丙，良 )， (丁，差 ) 就是 X 与 Y 之间的一个关系，即 R XY， 它表示了甲、乙、丙、丁四个学生与其成绩的对应关系，所以这个关系也是一个映射。如图 3.35 所示 9 甲 乙 丙 丁 优 良 差 图 3.35 关系也是映射 10 关系也可以用表格表示 ，如表 3.8 y R x 优 良 差 甲 乙 丙 丁 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 表 3.8 学习成绩关系表 11 表中 “ 1” 表示 (x, y)R， “ 0” 表示 (x, y)R。 如(甲，优 ) R， 则在相应的位置上写上 “ 1”； 又 如(甲，良 ) R， 则在相应的位置上写上 “ 0”。 表 3.8 的形式 可以 更简洁地 用矩阵形式表示 ： .100010010001R12 称为 关系矩阵 。它的一般形式为 1.6.3.212221121121mnijnmnnmmrrrrrrrrrrR其中 rij= 0 或 1， i =1， 2， ， n， j =1， 2， ， m。 13 经典关系可以用特征函数来表示。 定义 3.6.2 若 RP (XY) , 则其特征函数表示如下 当 X =x1, x2, , xn， Y = y1, y2, , ym， 则二元关系 R 的特征函数组成一个 布尔矩阵 （ 矩阵中的元素或者为 0， 或者为 1） ，如 （ 3.6.1） 式所示。但 .,0,1,RyxRyxyxR14 其中的元素 rij 如下选取： 定义 3.6.3 设 R 是 X 到 Y 的关系 ， 令 R-1= (y， x)Y X | (x， y)R , (3.6.2) 则 R-1 是 Y 到 X 的关系 ， 称 R-1 为 R 的 逆关系 。 .,0,1RyxRyxrjijiij15 定义 3.6.4 设 R 是 X 到 Y 的关系 ， Q 是 Y 到 Z 的关系 ， 令 （ 3.6.3） 则 RQ 是 X 到 Z 的关系，称为 R 与 Q 的合成 （或复合）关系（参见图 3.36）。 ),(),(),( QzyRyxYyZXzxQR 且使16 若用特征函数来表示合成运算，则有 因而有 .1),(),(1),)( zyQyxRYyzxQR 使 4.6.3.),(),(),)( zyQyxRzxQR Yy 17 例 3.6.3 图 3.36 所示之例，用特征矩阵写出有 4321321100010001010xxxxRyyy32121101001yyyQzzX Y Z x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 z1 z2 图 3.36 合成关系 QR18 从图 3.36 直接可以看出 由 (3.6.4) 式也可以计算出 (RQ) (x, z)。 这里和普通矩阵的乘法运算类似，只要用 “ ” 代替 “ ”， 用 “ ” 代替 “ +” 便可 。 易知，计算的结果与直接观察的结果是相同的。 43212110100110),)(xxxxzxQRzz19 定义 3.6.5 设 R 是 X 上的经典关系，则有如下定义： 称 R 是自反的 xX， (x, x) R。 称 R 是对称的 若 (x, y) R， 则 (y, x) R 。 称 R 是传递的 若 (x, y) R， (y, z) R 则 (x, z) R。 称 R 是 X 上的 等价关系 R 是 X 上的一个自反、对 称 和传递的关系。 20 若 R 是 X 上的一个等价关系， xX， 称 Rx = y X | (x， y) R (3.6.5) 为以 x 为代表的 R 的 等价类 。 显然，等价类满足： (1) X = xX Rx； (2) 若 RxRy， 则 RxRy = 。 21 我们将全体等价类的集合 X / R = Rx | xX (3.6.6) 称为 X 的关于 R 的 商集 。显然， X / R 是集合的集合。 22 例 3.6.4 设 X 为整数集，令 R = (x， y) X X | (x y) 可被 3 整除 , 则 R 是 X 上的等价关系，且 xX， R0 = R3 = R3x = , -6, -3, 0, 3, 6, , R1 = R3x+1 = , -5, -2, 1, 4, 7, , R2 = R3x+2 = , -4, -1, 2, 5, 8, , 即 X 的（模） R 的等价类只有三个： 23 一个是所有 3 的倍数的整数集； 一个是所有形如 3 的倍数 +1 的整数组成的集； 再一个就是所有形如 3 的倍数 +2 的整数组成的集。因此， X 的（ 模） R 的商集只有三个元素： X / R = R0， R1， R2 。 24 定义 3.6.6 设 A = At | tT 是 X 上的一个子集族 ，若它满足以下三个条件 ， 则称 At | tT 为 X 的一个 划分 (分类 )： (1) At A ， At ， 即每类不空； (2) 若 At， As A , At As 则 At As = ， 即不同类不相交； (3) ， 即 X 的每一元素必属于一类而且只属于一类 。 XA tTt25 命题 3.6.1 设 R 是 X 上的等价关系 ， 则 X / R 构成 X 的一个划分 ， 并称为由等价关系 R 诱导的划分 。 证明 (1) 先证每类不空 。 因 R 具有自反性 ， 故有 xRx， 从 而 xR x = At， 即 At 。 (2) 次证不同类不相交。设 At = R x， As = R y , 且 At As， 若 At As ， 取 zAt As， 则 xRz 且 yRz则由传递性可知，有 xRy。 由于 x、 y 是任意 的，于是有 R x = R y ， 与假设矛盾，故 At As = 。 26 (3) 最后证 。一方面， xX, xRx ，即 另一方面，显然有 因此有 综上所述， X / R 构成 X 的一个划分。 命题 3.6.2 设 A = At | tT 为 X 上的一个划分，则 A 决定了 X 上的一个等价关系 R ，并且 X / R = A 。 XA tTt tTtA .tTX R x U ,tTR x XU tt T t TX R x AUU27 证明 在 X 上规定一个关系 R ： xRy tT, x, y At , 可证 R 是 X 上的一个等价关系。 (1)xX, 因 A 是划分，故 tT， 使 xAt ， 故 xRx。 (2) x， yX， 若 xRy， 则 tT， 使 x， y At， 即 y, x At， 从而 yRx。 (3) 若 xRy、 yRz， 则 t, sT， 使 x， y At， y， z As，因此 yAt As， 故 At As 。 由定义 3.6.6 可知 At = As， 这意味着 x， z At， 即 xRz。 28 例 设 X=某校全体学生 ， R1 是同年级关系， R2 是同性别关系。显然， R1， R2 都是 X 上的等价关系。 R1 把 X 划分为各个不同的年级： X = X1， X2， X3， X4 ， 其中 Xi 表示 i 年级 （ i = 1， 2， 3， 4）。 R2 把 X 划分成男生集合与女生集合： X = 男生集合 ， 女生集合 。 29 定义 设 R 是 X 上的一个经典关系，如果 R 是自反的和对 称 的，则称 R 是 X 上的 相似关系 。 例如，合作关系、朋友关系都是相似关系。 若 R 是 X 上的一个相似关系， xX， 称 Rx = y X | (x， y)R 为以 x 为代表的 R 的 相似类 。 30 显然，相似类满足： X = xX Rx。 但是，当 RxRy 时， 可能有 RxRy 。 这是因为相似关系可能不满足传递性。 31 例 设 X =1244， 157， 287， 456， 690。 定义在 X 上的关系 R = (x， y) X X | x 与 y 有相同的数字 ,则 R 是 X 上的相似关系 ，其对应的 相似矩阵为 .1100011011001110111101111R32 R1244 = 1244， 157， 287， 456， R157 = 1244， 157， 287， 456， R287 = 1244， 157， 287， R456 = 1244， 157， 456， 690， R690 = 456， 690。 可以看出，虽然 R287R456，但是 R287R456 = 1244， 157 。 33 3.6.2 模糊关系的基本概念 经典关系只能说明元素之间关系的有无。现实世界的关系不是简单的有无，而是有不同程度的相关性质。例如家庭成员之间相貌相似的关系，就不是简单的相似或不相似，而是有不同的相似程度。反映这种性质的关系就是模糊关系。 34 定义 3.6.7 设 X、 Y 为两个论域。 X Y 中的任何一个模糊集 RF ( XY ) 都称为 X 与 Y 之间的模糊关系 ，即 R: X Y 0， 1 , (x， y) | R (x， y) , 其中 R (x， y) 称为 x 与 y 关于 R 的 关系强 (程 )度 。 当 X = Y 时，称 R 为 X 上的模糊关系 。 35 例 3.6.5 医学上常用 体重 (kg) = 身高 (cm) 100 描述标准体重。这实际上给出了身高 (论域 X ) 与体重 (论域 Y ) 的普通关系。若 X = 140, 150, 160, 170, 180 ， Y = 40， 50， 60， 70， 80 ， 则普通关系由表 3.9 给出。它的关系矩阵是个布尔矩阵 36 yi R(xi, yj) x 40 50 60 70 80 140 150 160 170 180 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 表 3.9 体重与身高的普通关系 1000001000001000001000001R37 人有胖瘦不同，所以大部分人并非严格是标准情况，而是与标准情况有不同的接近程度，显然这更能完整、全面地描述身高与体重的关系，如表 3.10 所示 yi R(xi, yj) x 40 50 60 70 80 140 150 160 170 180 1 0.8 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0 0.1 0.2 0.8 1 表 3.10 体重与身高的模糊关系 38 当 (x， y) = (170， 60) 时， R(x， y) = 0.8； 当 (x， y) = (180， 50) 时， R(x， y) = 0.1。 这说明身高 1.7 m 与体重 60 kg 的人与标准情况接近的程度为 0.8，或其关系强度为 0.8； 身高 1.8 m 与体重 50 kg 的人与标准情况接近的程度为 0.1 或其关系强度为 0.1。 39 这个模糊关系的矩阵形式如下： 18.02.01.008.018.02.01.02.08.018.02.01.02.08.018.001.02.08.01R40 一般地，对于有限论域 X = x1, x2, , xn，Y = y1, y2, , ym 之间的模糊关系 R 可用 n 行 m 列 （ 简称 nm 阶 ） 的 模糊矩阵来表示 ： R = ( rij )nm , 其中 rij = R(xi, yj)， 0 rij 1， 或 nmnnnmmmrrrrrrrrrrrrrrrrR32133332312232221113121141 例 3.6.6 设有一组学生 X = 甲、乙、丙 ， 他们可以选学 Y = 英、法、德、日 中任意几门外语，他们的结业成绩见表 3.11。 学生 语种 成绩 甲 甲 乙 丙 丙 英 法 德 日 英 86 84 96 66 78 表 3.11 外语成绩表 42 若把他们的分数除以 100， 则得 X 与 Y 之间的一个模糊关系 R， 见表 3.12. 它的矩阵形式为 R(x, y) 英 法 德 日 甲 乙 丙 0.86 0 0.78 0.84 0 0 0 0.96 0 0 0 0.66 表 3.12 模糊关系表 66.00078.0096.0000084.086.0R43 有限论域上的模糊关系除了可以用矩阵表示外 ， 还可以用模糊关系图来表示 ， 如图 3.37 所示 甲 乙 丙 英 法 德 日 0.86 0.84 0.78 0.96 0.66 图 3.37 模糊关系图 44 由于模糊关系是一种特殊的模糊集，即 X Y 上的模糊集，故其运算与模糊集的运算完全一致，即包含关系，恒等关系，并、交、补的运算都有相同的定义。模糊关系的运算符合幂等、交换、结合、吸收、分配、两极、复原、对偶等规律，但不符合排中律。 R 的 截集 R 是 X 与 Y 之间的普通关系 ，前述的截集的性质也完全适用于截关系。 45 000000000O1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1,0 0 1 1 1 1IE LLM M M M M MLL它们分别称为 零矩阵 、 单位矩阵 和 全矩阵 。 记 46 R 的截关系 R 称为 截矩阵 ，记为 其中 类似地 ， 也有 强截矩阵 的概念 。 8.6.3,212222111211nmnnmmrrrrrrrrrR 1 , ,3 . 6 . 90 , .ijijijrrr 47 正如普通关系的合成运算一样 ， 模糊关系也有合成运算 。 定义 3.6.8 设 X、 Y、 Z 是三个论域， QF ( XY ) , RF ( YZ )， 由 Q 与 R 作出一个新的模糊关系 Q R F ( XZ )， 称为 Q 与 R 的 合成模糊关系 ，它的隶属函 数规定为 )10.6.3(.),(),(),( zyRyxQzxRQ Yy 48 若 R 是 X 上的模糊关系 ， 则 R 与 R 也可以合成为 RR ， 记作 R2， 即 R2 = RR 。 显然 R2 还是 X 上的模糊关系 。 R2 与 R 还可合成 R2R ， 记作 R3 ， R3 = R2R， ， 一般地 ， 有 Rn =Rn-1R, n = 2, 3, 。 49 当 X、 Y、 Z 为有限论域时 ， 即 X = x1, x2, , xn, Y = y1, y2, , ym ， Z = z1, z2, , zl ， 则 Q、 R、 S （ = Q R） 均可表示为矩阵形式： Q = (qij)nm , R = (rjk)ml , S = (sik)nl 其中 S 称为 模糊矩阵 Q 与 R 的乘积 。 1. 3 . 6 1 1mi k i j j kjs q r 50 注： 若将 “ ” 换为 “ +”，将 “ ” 换为 “ ”，则模糊 矩阵的乘积与普通矩阵的乘积完全相同。 51 例 3.6.7 设 则 0 . 1 0 . 3 0 . 70 . 4 0 . 91 0 0 . 3, 0 . 8 0 . 1 ,0 . 2 0 10 . 3 0 . 70 . 6 0 . 4 0 . 8QR.7.04.07.03.09.04.07.03.0 RQS 52 命题 3.6.3 模糊关系的合成运算具有下列性质： (1) 合成运算满足结合律 ( Q R ) S = Q ( R S ) ， (3.6.12) 特别地 Rm Rn = Rm+n 。 (3.6.13) (2) 合成运算关于并 “ ” 满足分配律 ( Q R ) S = ( Q S ) ( R S ) , (3.6.14) S ( Q R ) = ( S Q ) ( S R )。 (3.6.15) 53 证明 只证 (3.6.14)。设 Q， RF (XY), SF (YZ), 故有 ( Q R ) S = ( Q S ) ( R S )。 zxSRSQzxSRzxSQzySyxRzySyxQzySyxRzySyxQzySyxRyxQzySyxRQzxSRQYyYyYyYyYy,54 第二式证明相似。 应注意的是， 1) 合成运算不满足交换律 ，即 Q R R Q。 如设 则 因此， Q R R Q。 ,0110,1001 RQ,1100,0011 QRRQ 55 2) 合成运算对交 “ ”不满足分配律 ，即有下列二式： ( Q R ) S ( Q S ) ( R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。 例如，设 则 ,1111,1110,0101 SRQ ,110011110100 SRQ56 因此 ( Q R ) S ( Q S ) ( R S )。 同样可以举出反例来说明第二个式子。 (3) R = R = , ( XY ) R = R ( XY ) = R 。 (3.6.16) (4) 若 Q R， 则 Q S R S ， P Q P R , Q n R n (3.6.17) ,111111111111 SRSQ57 定义 3.6.9 设 RF ( XY ) ， 定义 R-1F ( Y X ) 的隶属函数为 R-1( y， x) = R( x， y) ( ( y， x)Y X ), 称 Y 到 X 的模糊关系 R-1 为 R 的 逆关系 。 命题 3.6.4 逆关系有下述性质： 设 R， R1， R2 F ( XY )， Rt | tT F ( XY ), S F ( YZ ) ,则 (1) 若 R1 R2 R1-1 R2-1 。 (2) ( R-1 )-1 = R。 58 推论 (1) 设 R F ( X X )， 则 ( Rn )-1 = ( R-1 )n 。 (2) 设 R， QF ( X X ) 且 R Q, 则 R - n Q - n ( n 为 正整数 )。 （ 参 （ 3.6.17） 式 ） 1 1 1 1 11 2 1 21 1 1 1 11 2 1 21 113 , ( ) .4 , ( ) .5.ttt T t Tttt T t TR R R R R RR R R R R RR S S R U U U UI I I Ioo59 3.6.3 模糊等价关系 定义 3.6.10 设 R F ( X X ) (1) 称 R 是 自反的 xX， R(x, x) =1 。 (2) 称 R 是 对称的 x, y X ， R(x, y)= R(y, x) 。 (3) 若 R 是 X 上的自反、对称关系，则称 R 是 X 上的模糊相似关系，简称 相似关系 。 60 命题 3.6.5 设 R F ( X X ) ， 则 (1) R 是自反的 I R。 (2) R 是自反的 Rn Rn+1( n 1) 且 Rn 也是自反的。 证明 (1) 显然。 yxyxyxI,0,1,61 (2) 用归纳法证明包含式 Rn Rn+1。 (x, y) XX, 有 故 R R2。 设 Rn-1 Rn， 由 （ 3.6.17） 式 可得 Rn-1 R Rn R , 即 Rn Rn+1 。 (3.6.18) 因 I R Rn ( n 1)， 由 (1)知 Rn 是自反的。 ,2yxRyxRxxRytRtxRyxRXt62 命题 3.6.6 设 R， R1， R2 F ( X X )， 则有 (1) R 是对称的 R = R-1 。 (2) 若 R1、 R2 都是对称的，则 R1 R2 对称 R1 R2 = R2 R1 ( 即 R1、 R2 是可以交换的 ）。 (3) R 是对称的 Rn 是对称的 ( n 1)。 证明 (1) 由对称关系的定义可得。 63 (2) 先证 ()： 若 R1 R2 是对称的，因 R1、 R2 也对称，故 R1 R2 = (R1 R2)-1 = R2-1 R1-1= R2 R1 。 再证 ()： 若 R1 R2 = R2 R1 ， 则 (R1 R2)-1 = R2-1 R1-1 = R2 R1= R1 R2 由 (1) 知 ， R1 R2 是对称的。 (3) 若 R 对称，则由命题 3.6.4 推论 (1) 有 ( Rn )-1 = ( R-1 )n = Rn 。 由 (1) 知 ， Rn 是对称的。 64 推论 (1) 若 R 是 X 上的相似关系，则 Rn 也是 X 上的相似关系。 (2) 设 RF ( XX ) 是任一模糊关系，则 R R-1 是 X 上的对称关系。 证明 因 (R R-1)-1 = ( R-1 )-1 R-1 = R R-1， 由命题 3.6.6 (1) 知 ， R R-1 是对称的 。 65 定义 3.6.11 设 R F ( X X )， 称 R 为 传递的 0， 1， x， y， z X， 若 R(x, y) ， R(y, z) ，则 R(x, z) 。 命题 3.6.7 设 R， R1， R2 F ( X X )， 则 (1) R 是传递的 R2 R。 (2) 若 R 是传递的 Rn 是传递的 ( n 1)。 (3) R1、 R2 是传递的 R1 R2 是传递的。 66 证明 (1) 先证 ()： 设 x， yX， tX， 令 t = R(x, t) R(t, y) ， 则 R(x， t) t ， R(t， y) t 。 由于 R 是传递的 , 故R(x, y)t (tX)， 于是 yxRytRtxRyxR tXtXt,2 67 由 x， y 的任意性知 R2 R (3.6.19) 再证 ()： 若 R2 R 且 R(x， y) ， R(y， z) 于是 由定义 3.6.11 知 R 是传递的。 zyRyxRztRtxRzxRzxRXt, 268 (2) 若 R 是传递的，则 由 (1) 有 R2 R ， 进一步由(3.6.17) 右边一式得 (R2)n Rn 又由 (3.6.13) 有 (Rn)2 = (R2)n ， 联合上面两式，得 (Rn)2 = (R2)n Rn， 最后由 (1) 知 Rn 是传递的。 69 (3) 我们可以用 (3.6.17) 式证明 ( Q R ) S ( Q S ) ( R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。 应用上面两式，得 (R1 R2 )2 = (R1 R2 ) (R1 R2 ) ( R1 (R1 R2) ) ( R2 (R1 R2) ) (R1 R1) (R1 R2) (R2 R1) (R2 R2) 70 R12 R22 。 因为， R1、 R2 是传递的，即 R12 R1、 R22 R2，则有 (R1 R2 )2 R1 R2 ， 所以， R1 R2 是传递的。 71 例 3.6.8 给定有限论域上的模糊关系 R 如下： 则 由于模糊矩阵 R2 的元素不超过 R 对应位置上的元素 1.0111.003.01003.06.004.04.012.0R1.03.001.003.06.0003.06.002.04.06.02.02R72 因而模糊关系 R2 R， 故 R 是传递的。 命题 设 R 是 X 上的一个 自反的和 传递的模糊关系，则有 R = R2 。 证明 因为 R 是 自反的，则由 命题 3.6.5 (2) 有，R R2。 又因为 R 是传递的，则 由 命题 3.6.7 (1) 有，R2 R， 故有 R = R2 。 73 定义 3.6.12 设 RF ( X X )， 若 R 满足下列三个条件，则称 R 是 X 上的一个 模糊等价关系 ： (1) 自反性： x X， R(x， x) =1 。 (2) 对称性： x， y X， R(x， y)= R(y， x)。 (3) 传递性： R2 R， 即 x， z X X， 有 20.6.3., zxRzyRyxRXy 74 若 X = x1, x2, , xn 为有限论域时， X 上的模糊等价关 系 R 是一个矩阵 （ 称为 模糊等价矩阵 ） ，它满足下述三个条件： (1) 自反性： rii=1, i =1, 2, , n。 (2) 对称性： rij= rji， i， j =1, 2, , n。 (3) 传递性： R R R， 即 21.6.3.,2,1,1njirrr ijkjiknk75 条件 (1) 说明模糊矩阵的对角线元素都是 1 ； 条件 (2) 意味着模糊等价矩阵是对称矩阵。 76 定理 3.6.1 设 R F ( X X )， 则 R 是模糊等价关系 0， 1， R 是经典等价关系 ， 这里 R = (x, y) X X | R (x, y) 为 R 的 截关系。且对于 ， 0， 1， ，有等价类 R x R x ( x X )。