实数的基本定理.doc

数学分析（1，2，3）教案第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理3区间套定理4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设为非空数集若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设为有上界的递增数列由确界原理，数列有上确界，记下面证明就是的极限事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得又由的递增性，当时有另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有所以当时有，即同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界（区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，即 ， （2） 证 由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（）有 ， （4）且 （5）联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足 则由（2）式有 由区间套的条件（）得 ，故有 由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若是区间套所确定的点，则对任给的0，存在N0，使得当N时有 致密性定理 定义2 设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点 等价定义如下： 定义2 对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点 定义2” 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点现证定义2 定义2”设为S(按定义2)的聚点，则对任给的，存在令，则存在；令，则存在，且显然；令，则存在，且互异。 无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列，且由，易见。 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理 定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点 证 因S为有界点集，故存在，使得，记 现将等分为两个子区间因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为，则且 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足, 即是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点 由区间套定理，存在唯一的一点，于是由定理5的推论，对任给的，存在，当时有从而内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点 推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列 证 设为有界数列若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的. 若不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。则存在的一个收敛子列(以为其极限). 推论 若是一个无界数列，则存在子列。证明 取界为k ,则存在着一个项之后，则有。（前面有限个项是有界的）。Cauchy收敛原理 数列收敛 当时，有。证 充分性设数列满足柯西条件先证明是有界的为此，取则存在正整数N，当m=N+1及nN时有 由此得=.令 M=max则对一切正整数n均有 于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列设=A对任给的0，存在K0，当m,n,kK时，同时有 (由柯西条件)， 因而当取m=n()时，得到 这就证明了. (海涅一博雷尔(HeineBorel)有限覆盖定理) 设H为闭区间的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖 将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列，它满足 ，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖 由区间套定理，存在唯一的一点，由于H是，的一个开覆盖，故存在开区间，使由定理5推论，当充分大时有 这表明只须用H中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖 有界性定理 若函数在闭区间上连续，则在上有界 证 证法一 (应用致密性定理) 倘若在上无上界，则对任何正整数，存在，使得依次取，则得到数列由致密性定理，它含有收敛子列，记。由及数列极限的保不等式性，利用在点连续，推得 另一方面，由的选取方法又有与(1)式矛盾所以在有上界类似可证在有下界，从而在上有界. 证法二 (应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理42)，对每一点都存在邻域及正数，使得考虑开区间集 ,显然是的一个无限开覆盖由有限覆盖定理，存在的一个有限子集 覆盖了，且存在正数，使得对一切有 令则对任何，必属于某即证得在上有界注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。定理 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值证 (应用确界原理) 已证在上有界，故由确界原理，的值域有上确界，记为以下我们证明：存在，使倘若不然，对一切都有令 易见g在连续,故g在有上界.设G是g的一个上界,则从而推得但这与M为的上确界矛盾.故必存在,使,即在上有最大值,同理可证在上有最小值.零点存在性定理与介值性定理定理3 在闭区间连续，且，则在内至少有一个根。定理4 设函数在闭区间上连续，且.若为介于之间的任何实数,则存在，使得 证证法一(应用确界原理) 不妨设 令 = ，则g也是 上的连续函数，且于是定理的结论转化为：存在，使得这个简化的情形称为根的存在性定理 记显然为非空有界数集(且)，故由确界原理，有下确界，记因，由连续函数的局部保号性，存在，使得在内，在内，由此易见，即 下证倘若，不妨设，则又由局部保号性，存在，使在其内，特别有但这与正相矛盾，故必有 证法二(应用区间套定理) 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g在上连续，则存在，使得 将等分为两个子区间与若，则c即为所求；若，则当时记，当时记。于是有，且 再从区间出发，重复上述过程，得到：或者在的中点上有，或者有闭区间，满足，且 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： (1) 在某一区间的中点上有，则即为所求； (2) 在任一区间的中点上均有 ，则得到闭区间列满足，且 .由区间套定理，存在点下证，倘若，不妨设，则由局部保号性，存在使在其内有而由定理7.1的推论，当充分大时有，因而有但这与选取时应满足的相矛盾，故必有 一致连续性定理 康托定理 若函数在闭区间上连续，则在上一致连续证证法一 (用反证法.应用致密性定理) 倘若在上不一致连续,则存在某,对任何,都存在相应的两点,尽管,但有 .令 (为正整数)，与它相应的两点记为，尽管,但有 . (3)当取遍所有正整数时，得数列与由致密性定理，存在的收敛子列，设同时由又得。 最后，由(3)式有 ，在上式中令 ，由 的连续性及数列极限的保不等式