第6章 静电场中的导体与介质.doc

第6章 静电场中的导体与电介质一、基本要求1掌握导体静电平衡的条件和静电平衡条件下导体的性质，并能利用静电平衡条件解决有关问题。2理解电容的定义，掌握典型电容器电容的计算方法。3了解电介质极化的微观机制，理解电介质对静电场的影响。掌握介质中静电场的基本规律，掌握应用介质中的高斯定理求解介质中静电场的电位移矢量和电场强度的计算方法。4理解静电场能量的概念，能计算一些对称情况下的电场能量。二、知识框架 孤立导体的电容:电容器的电容:电容器储能:电容器串联电容器并联静电平衡时导体内E=0与导体的相互作用 静电感应描述静电平衡时导体内V处处相等实心导体:电荷Q只分布在导体表面上,导体内无净电荷电荷分布空腔导体空腔内有带电体Q; 电荷只分布在导体外表面上空腔内有带电体q; 内表面有-q;外表面有+q+Q应用:导体的电容静电场与物质的相互作用与电介质的相互作用电极化描述电介质中的场强电位移电极化强度:极化电荷与自由电荷的关系:环路定理:保守场有介质时的高斯定理有源场静电场能量密度: 静电场能量:三、知识要点1重点（1）导体的静电平衡条件和静电平衡条件下导体的性质。（2）电容的定义及典型电容器电容的计算方法。（3）电介质中的高斯定理及其应用。（4）静电场的能量及其计算。2难点（1）静电平衡时电荷的分布和存在导体时静电场的场强分布及电势分布。（2）电介质中的高斯定理及其应用。四、基本概念及规律1导体的静电平衡条件及其性质（1）导体的静电平衡条件 导体内部电场强度处处为零，即 （2）导体处于静电平衡时的性质 导体是等势体，导体表面是等势面。 导体表面的场强处处与导体表面垂直，导体表面附近的场强大小与该处导体表面的面密度成正比，即 电荷只分布在导体外表面。 （3）静电屏蔽 在静电平衡条件下，空腔导体内部电场不受外部电场的影响，接地空腔导体内部与外部电场互不影响，这种现象称为静电屏蔽。 2电容C（1）孤立导体的电容 电容的物理意义：使导体每升高单位电势所需的电量。（2）电容器的电容 （3）电容器两极板间充满电介质后的电容 其中C0是两极板间为真空时的电容，是电介质的相对介电常数。 （4）几种常见电容器的电容 平行板电容器 同心球形电容器 （RBRA） 同轴圆柱形电容器 （RBRA） （5）电容器的串并联 电容器串联后的总电容 + 电容器并联后的总电容 C = C1+ C2 + C3+ + Cn 3电介质中的静电场（1）电极化强度 电介质中任一点的电极化强度等于单位体积中所有分子的电偶极矩的矢量和，即 对于各向同性的电介质 其中称为电介质的极化率。 电介质表面极化面电荷密度 =（2）电介质中的高斯定理 式中称为电位移矢量，且 对于各向同性的电介质 4电场的能量（1）点电荷间的相互作用能两个点电荷的相互作用能 其中V1是所在处的电势，V2是所在处的电势。点电荷系的相互作用能 （2）电荷连续分布时的静电能 其中是所有电荷在电荷元dq处激发的电势。（3）电容器中电场的能量 （4）静电场的能量和能量密度 静电场的能量密度 静电场的能量 五、解题指导及解题示例这部分内容主要是对真空中静电场知识的延续与深化。主要内容是求E及U导体或电介质表面上电荷的分布以及电场能量等。在这一章中，主要解题思路是用求出D,利用的关系求出E,再利用求出P,最后由=,求出。例题6-1 如图6-1所示，两个平行等大的导体板AB，面积S比板的厚度和两板间距大很多，两板分别带电qA和qB，求两导体板各表面的电荷分布。解 由于静电平衡时，导体上的电荷都分布在表面。 设表面的电荷面密度分别为、，则 根据导体的静电平衡条件，导体板内的场强为零，而导体板内的场强是4个带电平面在导体内产生的场强叠加的结果。由题意可知，导体板可视为“无限大”带电平面。设各面均带正电荷，则导体内任意两点a、b的场强分别为 解以上四式得 可见两板相对的两面总是带等量异号电荷，而外侧两面总带等量同号电荷。上面结果是个普遍关系式，不论qA和qB 带何种电荷均成立。下面讨论几种特殊情况：（1）两板带等量异号电荷，即，则由上面结果可得到 平行板电容器充电后，两板所带电荷全部集中在相对的两面上，电场也只存在于两板间的区域。（2）两板带等量同号电荷，即，则由上面结果可得到 此时电荷集中在相背的两面上，两板间的区域电场强度处处为零。（3）只有一板带静电荷，设，则有 此时带电板的电荷平分在板的两面，不带电的板因静电感应而在板的两面出现正负电荷。简注 本题是计算导体表面电荷分布的问题，当导体达到静电平衡时，导体板上的电荷分布是一定的。在求解这类问题时，一定要把导体的静电平衡条件及有关性质作为前提来考虑。无论几个导体板都可以用这种方法求得各面的电荷面密度。 例题6-2 半径为R1的导体球带有电荷，球外有一个内、外半径分别为R2、 R3的同心导体球壳，壳上带有电荷，如图6-2所示。求（1）两球的电势V1、 V2及两球的电势差；（2）用导线把球和球壳连接在一起后，V1、 V2及分别是多少？（3）在情形（1）中，若外球壳接地，V1、 V2及为多少？（4）设外球离地面很远，内球接地，情况又如何？R3R1QqR2图6-2解 （1）因为小球表面上有电荷均匀分布着，电荷将使球壳内表面的感应电荷为，所以球壳外表面的电荷。利用高斯定理，先求得电场强度分布。积分后得 两球的电势差为 （2）用导线把球和球壳连接在一起后，球壳内表面的与内球上的中和，球壳外表面的电荷仍为，故V2不变，球与壳的电势相同。即两球的电势差为 （3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失，此时 但不变，因而 （4）若外球离地面很远，内球接地，此时 为了满足这个条件，内球电荷不能为零，设为，从而球壳内、外表面带电分别为、，重复（1）的计算，可得 ，根据 ，解出 从而 简注 本题求解的要点是：应用导体静电平衡条件，确定电荷分布；由高斯定理，确定各区域内电场强度分布；当导体之间用导线连接或接地后，确定出电荷分布变化；由电势定义和电势叠加原理求解电势。例题6-3 两共轴的导体圆筒组成的电容器，内、外筒半径分别为（）。其间有两层均匀电介质，分界面半径分别为。内层介质相对介电常数为，外层介质相对介电常数为，。两层介质的击穿场强都是。当电压逐渐升高时，哪层电介质先被击穿，两筒间能加的最大电压是多少？解 设两共轴导体筒电荷线密度分别是。由高斯定理可计算出内层介质和外层介质中的场强分别为 内层介质中处场强最大 外层介质中处场强最大 因为有 ，所以有。因此有。当电压升高到使时，外层介质先击穿。两筒间能加最大电压时 此时介质内电场分布为 简注 本题反映了有点介质的击穿场强计算电容器的耐压问题。要确定耐压，首先要根据系统的带电情况计算电介质内的电场强度分布，并确定出最大场强所处的位置，令最大场强等于电介质的击穿场强，就可计算出电容器所能承受的最大电压。 例题6-4 如图6-3所示，有一圆柱形电容器，内极板半径为R1，外极板半径为R2。电容器内充满介电常数为的电介质，并充电到使两板有V的电势差。求电介质中的场强分布及电介质表面的极化电荷面密度。R2R1图6-3o 解 （1）设电荷线密度为，作半径为r(R1r0时, 内极板电势高， =将E的表达式与V的表达式进行比较，消去，即得写成矢量式为 = （为沿半径向外的单位矢量）当V 0时，的方向背离轴线；当V 0时，电介质内表面的极化电荷为负，外表面的极化电荷为正。在任一段上，两表面极化电荷的代数和为零。这是因为电解质原是电中性的。例题6-5 相对介电常数为的带正电介质球半径为,介质球内各点的电荷体密度,为常数,为该点到球心的距离,求空间电场总能量。 解 由对称性可判断空间任一点电位移矢量沿径向。以介质球心为原点，以为半径作一球面，球面上各点数值一样。由高斯定理 有当时 由可得 当时 总电场能量 简注 本题由于具有轴对称性，所以可用介质中高斯定理方法求解。但由于带电体电荷分布不均匀，因此，计算高斯面内的净电荷时，采用积分计算。从计算结果可以看出，在圆柱体内部和外部，场强大小随变化。例题6-6 一空气平行板电容器的电容是C0 ，极板面积为 S ，充电时两极板间的电势差为U0，而后断开电源。今将相对介电常数的介质插入电容器中，其填充宽度刚好为电容器空间的一半，如图6-4所示，忽略边缘效应，试求： （1）电容器的电容； （2）电容器的能量；r图6-4 （3）插入电介质时外力所作的功； （4）极板上自由电荷的面密度；（5）电介质表面上束缚电荷面密度。解 （1）此时平行板电容器的电容C可以看成是空气、介质两个电容器的并联，所以 （2）插入电介质后，电容器极板上总电荷不变，即 ，所以电容器的能量为 （3）插入电介质时，外力所作的功等于电容器的能量的增量。设插入电介质前，电容器的能量为，则 所以 这表明外力对介质作负功，电场力将电介质吸入两极之间而作正功。 （4）图6-4中的空气和介质两个电容器是并联的，故两电容器极板间电势差始终是相等的。又由于两极板间距没变，所以左、右两个区域的场强也