勾股定理全章复习.docx

1.会运用勾股定理解决简单问题.2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系.能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.【重点】运用勾股定理及其逆定理解决问题.【难点】会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.专题一用勾股定理计算线段的长【专题分析】用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.(2014淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25解析如图(2)所示,在RtABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB=5.故选A.方法归纳在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等.【针对训练1】如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为.解析由题意,当ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如图(2)所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PEx轴于点E,则PE=4.在RtPDE中,由勾股定理得DE=3,OE=OD-DE=5-3=2,此时点P坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PEx轴于点E,则PE=4.在RtPOE中,由勾股定理得OE=3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PEx轴于点E,则PE=4.在RtPDE中,由勾股定理得DE=3,OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4).易错提示如果一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.专题二应用勾股定理建立方程【专题分析】应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右.(2014安徽中考)如图所示,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()A.B.C.4D.5解析设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,D是BC的中点,BD=3,在RtBDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.方法归纳折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立方程也是一种常用的方法.【针对训练2】(2014青岛中考)如图所示,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C处,若AB=6,BC=9,则BF的长为()A.4B.3C.4.5D.5解析折叠前后两个图形的对应线段相等,CF=CF,设BF=x.BC=9,CF=9-x,CF=9-x,又BC=3,在RtCBF中,根据勾股定理可得CF2=BF2+CB2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4,因此BF的长是4.故选A.专题三实际问题中应用勾股定理【专题分析】勾股定理应用广泛,题目形式不限,既可以有单独考查该知识点的题目出现,又可与其他知识点综合进行考查.(2014东营中考)如图(1)所示,有两棵树,一棵高12米,另一棵高7米,两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行米.解析如图(2)所示,过点B作BCAC于C,依题意有AC=5,BC=12,则AB=13(米).故填13.方法归纳勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直角三角形,从而利用勾股定理求解.【针对训练3】(2014湘潭中考)如图所示,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量ABD=135,BD=800米,求在直线l上距离D点多远的C处开挖?(1.414,精确到1米)解:CDAC,ACD=90,ABD=135,DBC=45,D=45,CB=CD,在RtDCB中,CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002,CD=400566(米).答:在直线l上距离D点566米的C处开挖.专题四用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形【专题分析】一般以选择题的形式考查,题目较为基础.有时给出含有a,b,c三个字母的等式,以解答题形式出现时难度较大一些,主要是学生对等式变形较难,或对问题考虑不全面.(2014滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,3解析42=16,52=25,62=36,42+5262,长为4,5,6的线段不能构成直角三角形;1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,1.52+22=2.52,长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B.方法归纳给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两线段长的平方和等于第三条线段长的平方;(3)做出判断.【针对训练4】已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判定ABC的形状.解:a2c2-b2c2=a4-b4,(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0,(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,(a2+b2-c2)(a2-b2)=0.得a2+b2=c2或a=b或a2+b2=c2且a=b,即ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.专题五勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用【专题分析】勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题目,难度较大.一般以解答题的形式出现,常常与其他知识点综合起来考查.如图(1)所示,三块正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩,三个正方形恰好围着一个池塘.现要将这560英亩的土地拍卖,如果有人能计算出池塘的面积,则池塘不计入土地面积白白奉送,英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗?解析利用三个正方形的面积可得出相应三角形三边的平方,进而利用74=52+72,116=42+102,370=92+172,利用勾股定理的逆定理求出即可.解:如图(2)所示,74=52+72,AB是两直角边长分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形,得RtABE.同理,作出RtBCF,其中BF=4,FC=10.延长AE,CF交于D,则AD=9,CD=17,而AC2=370=92+172=AD2+CD2,ACD是直角三角形,ADC=90.SABC=SADC-SAEB-SBCF-S长方形EDFB=179-75-104-47=11(英亩).即池塘的面积为11英亩.解题关键解决本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形.用构造法解题,有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74,116,370相当于池塘的三条边长的平方,因而联想到勾股定理,得74=52+72,116=42+102,370=92+172.于是作出图,运用勾股定理的逆定理,问题就得以解决.【针对训练5】已知ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,求证AB=AC.证明:AD为中线,BD=DC=5 cm.在ABD中,AD2+BD2=169,AB2=169,AD2+BD2=AB2,ADB=90,AC2=AD2+DC2=169,AC=13 cm,AB=AC.专题六用勾股定理计算最短路径【专题分析】此类题目常以选择题或填空题的形式出现,几何体多以正方体、长方体、圆柱体出现,题目的分值一般在3分左右.如图所示,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.解析将圆柱侧面展开,将A,C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.如图所示,将圆柱侧面展开(沿点A竖直剖开)后,侧面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形,作A关于MN的对称点B,连接BC交MN于点P,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由对称性和三角形的三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP.由已知和长方形的性质,得DC=9,BD=12.在RtBCD中,由勾股定理得BC=15,AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.故填15.方法归纳在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想,利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长为9 cm,而不是18 cm.【针对训练6】(2014枣庄中考)如图(1)所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图(2)所示的几何体,一只蚂蚁沿着图(2)的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.解析要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图(2)的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.部分展开图如图所示,BCD是等腰直角三角形,ACD是等边三角形,连接AB,交CD于E,则ABCD.在RtBCD中,CD=6 cm,BE=CD=3 cm.在RtACE中,AE=3 cm,从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.故填(3+3).专题七数形结合思想【专题分析】勾股定理是已知三角形是直角三角形(形),得到三角形三边的数量关系(数);勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数),得到这个三角形是直角三角形(形).二者相互结合,能使抽象的数量关系直观化,有效地分析问题和解决问题.如图所示,已知四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是.解析由题意联想勾股数,可连接AC,把四边形的问题转化为三角形的问题.连接AC,在RtABC中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,AC=5.在ACD中,AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,AC2+CD2=AD2,ACD=90.S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=34+512=6+30=36.故填36.方法归纳勾股定理及其逆定理是沟通代数、几何知识的桥梁,在计算中往往会多次运用这两个定理.【针对训练7】有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹断,且新断处比前次低了5 cm,标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.解:如图所示,设第一次吹断后下段AB的长为x cm,上段BC的长为y cm,则第二次断后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm.依题意得-得10(x+y)=500,x+y=50,故标杆的高为50 cm.专题八分类讨论思想【专题分析】在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,要考虑分类讨论.常以解答题的形式出现,解决这些问题时,容易遗忘另外的情况,一定要根据题目分类讨论,讨论要全面,不能重复和遗漏.已知RtABC中,两边的长分别是3,5,求第三边的长.解析已知的两边可能是直角边,也可能一条是直角边而另一条是斜边,因此需要分类讨论.解:当已知两条边是直角边时,由勾股定理得第三条边的长为=;当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时,第三边长为=4.第三边的长为或4.易错提示在利用勾股定理时不可盲目,需要明确哪条边是斜边,否则会遗漏情况,造成丢解的错误.【针对训练8】如图所示的是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从木块上的一定点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是()A.(3+2)厘米B.厘米C. 厘米D.9厘米解析这个问题是个空间问题,应该把其平面化.所以将长方体展开是解决本题的关键.分三种情况:(1)如图(1)所示,可得AB2=102+32=109.(2)如图(2)所示,可得AB2=72+62=85.(3)如图(3)所示,可得AB2=42+92=97.比较可以发现沿图(2)的爬行路径路程最短,为厘米.故选C.专题九建模思想【专题分析】能运用勾股定理解决简单的实际问题,建立直角三角形的模型,将其转化为数学问题.勾股定理中的直角三角形三边满足a2+b2=c2(c为斜边长),这本身就是一个等量关系,所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法.以解答题的形式出现较多,常常找到或构建直角三角形,根据勾股定理直接计算或建立方程计算.如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.解析由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,BC=15-10=5(米),RtABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长.解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,BC=15-10=5(米),在RtABC中,根据勾股定理得AB2+BC2=AC2,(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2.大树AB的高度为10+2=12(米).【针对训练9】如图所示的是长为40 cm,宽为16 cm的长方形纸片,M点为一边上的中点,沿过M的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,那么M点在(填“长”或“宽”)上,若M点所在边的一个顶点能落在对边上,那么折痕长度为cm.解析若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,通过折叠就可发现答案.过M作MEAD于E,可得出四边形ABME为长方形,利用长方形的性质得到AE=BM,AB=EM.分两种情况考虑:(1)如图(1)所示,过M作MEAD于E,G在AB上,B落在AE上,可得四边形ABME为长方形,EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,由折叠可得BM=BM=MC=20.在RtEMB中,根据勾股定理得BE=12,AB=AE-BE=20-12=8.设AG=x,则GB=GB=16-x.在RtAGB中,根据勾股定理得GB2=AG2+AB2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,GB=16-6=10,在RtGBM中,根据勾股定理得GM=10(cm).(2)如图(2)所示,过M作MEAD于E,G在AE上,B落在ED上,可得四边形ABME为长方形,EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,由折叠可得BM=BM=MC=20.在RtEMB中,根据勾股定理得BE=12,AB=AE+BE=20+12=32.设AG=AG=y,则GB=AB-AG=32-y,AB=AB=16.在RtABG中,根据勾股定理得AG2+AB2=GB2,即y2+162=(32-y)2,解得y=12,AG=12,GE=AE-AG=20-12=8,在RtGEM中,根据勾股定理得GM=8(cm).综上,折痕MG=10 cm或8 cm.答案宽10或8本章质量评估(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=144,b2=25,则c等于()A.169B.13C.169或119D.13或2.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的边长为()A. cmB.4 cmC. cmD.3 cm3.满足下列条件的ABC不是直角三角形的是()A.A=B-CB.ABC=112C.abc=122D.b2=a2-c24.下列说法正确的是()A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题也是假命题5.如图所示,点A所表示的数是()A.1.5B.C.2D.6.D是ABC中BC边上一点,若AC2-CD2=AD2,那么下列各式中正确的是()A.AB2-BD2=AC2-CD2B.AB2=AD2-BD2C.AB2+BC2=AC2D.AB2+BC2=BC2+AD27.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定8.已知一个三角形的三条边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是()21*cnjy*comA.12 cmB.11 cmC.10 cmD.9 cm9.如图所示,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为NM,则线段CN的长是()A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm10.(2014钦州中考)如图所示,6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中,如果从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种二、填空题(每小题4分,共32分)11.小明将一副三角板按如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC的长为.12.如图所示的是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段条.13.如图所示,三个村庄A,B,C之间的距离分别是AB=5 km,BC=12 km,AC=13 km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,则修这条公路的最低造价是元.14.如图所示,在四边形ABCD中,已知四条边的比为ABBCCDDA=2231,且B=90,则DAB的度数为.15.(2014甘孜中考)如图所示,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为113,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.16.如图所示,已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以RtABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰直角三角形ACD,再以RtACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰直角三角形ADE,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是.17.如图所示,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,那么这圈金属丝的周长最小为 dm.18.(2014黄冈中考)如图所示,在一张长为8 cm,宽为6 cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为cm2.三、解答题(共58分)19.(8分)(2015天津中考节选)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.如图所示,当BE=时,计算AE+AF的值.20.(8分)如图所示,四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC与BD相交于O,且ACBD,则a,b,c,d之间一定有关系式:a2+c2=b2+d2,请说明理由.21.(10分)如图所示,一个工人师傅要将一块正方形ABCD的余料修剪成四边形ABEF的零件,其中CE=BC,F是CD的中点.(1)若正方形的边长为a,试用含a的代数式表示AF2+EF2的值;(2)连接AE,则AEF是直角三角形吗?为什么?22.(10分)如图所示,在RtABC中,C=90,BD平分ABC,交AC于D,将ADE沿DE所在直线折叠,使点A恰好与点B重合,若CD=2,求AB的长.23.(10分)若ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状.24.(12分)如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角为60.(1)求AO与BO的长.(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且ACBD=23,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米.【答案与解析】1.D(解析:由于已知条件中没有说明哪条边是斜边,因此c的取值可能有两种情形:c=13;c=.)2.A(解析:根据勾股定理的几何意义,得SA+SB+SC+SD=S最大正方形,设正方形D的边长为x cm.则66+55+55+x2=100,解得x=.故选A.)3.C(解析:A.A=B-C,ABC是直角三角形;B.ABC=112,ABC是直角三角形;C.abc=122,ABC不是直角三角形;D.由b2=a2-c2得b2+c2=a2,ABC是直角三角形.故选C.)4.A(解析:每一个命题都有逆命题,A选项正确;每个定理的逆命题不一定成立,所以每个定理不一定有逆定理,B选项错误;真命题的逆命题有可能是假命题,C选项错误;假命题的逆命题有可能是真命题,D选项错误.故选A.)5.D(解析:由图知两直角边长为1,2,根据勾股定理,得=,以原点为圆心, 为半径画弧,与数轴正半轴的交点所表示的数为.故选D.)6.A(解析:AC2-CD2=AD2,ACD是直角三角形,ADBC,ABD是直角三角形,AB2-BD2=AC2-CD2.故选A.)7.B(解析:由a+b=4,ab=1可得a2+b2=(a+b)2-2ab=14=c2,所以ABC是直角三角形.)8.A(解析:因为152+202=625=252,所以这个三角形是直角三角形,25 cm长的边为斜边,运用等面积法可得斜边上的高为=12(cm).)9.A(解析:对折问题即对称问题,设CN=x cm,则DN=NE=(8-x)cm.在RtCEN中,(8-x)2=42+x2,解得x=3.故选A.)10.C(解析:从A点到B点,若只走小正方形的边,则最短距离为5;若走一条对角线,其余走边,则最短距离为3+;若走两条对角线,其余走边,则最短距离为1+2.1+23+0),则AB=2m,BC=2m,CD=3m.在RtABC中,由AB=BC=2m,得BAC=45,又由勾股定理得AC2=AB2+BC2=(2m)2+(2m)2=8m2,则AC2+AD2=8m2+m2=9m2,又CD2=(3m)2=9m2,AC2+AD2=CD2,从而DAC=90,DAB=DAC+CAB=90+45=135.)15.(解析:由于小正方形与大正方形的面积之比为113,故可分别用a,b表示小正方形与大正方形的面积得(b-a)2=k2(k0),a2+b2=13k2,即a2+b2-2ab=k2,a2+b2=13k2,所以ab=6k2.可得(a+b)2=25k2,所以b-