【四维备课】高中数学 2.5《平面向量应用举例》导学案 新人教A版必修4.doc

2.5平面向量应用举例导学案【学习目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 【导入新课】回顾提问：（1）若o为重心,则+=。（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。新授课阶段探究一：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设,，则（平移），（长度）向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等把运算结果“翻译”成几何关系本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用。例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形abcd求证：分析：证明：用向量方法解决平面几何问题，主要有下面三个步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系变式训练：中，d、e、f分别是ab、bc、ca的中点，bf与cd交于点o，设（1）证明a、o、e三点共线；（2）用表示向量。例2 如图，平行四边形abcd中，点e、f分别是ad、dc边的中点，be、bf分别与ac交于r、t两点，你能发现ar、rt、tc之间的关系吗？分析：解：说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：解：通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|f1|有小逐渐变大，即f1、f2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：为何值时，|f1|最小，最小值是多少？|f1|能等于|g|吗？为什么？例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从a处出发到河对岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：解：本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了。例5 已知 ,的夹角为60o,当实数为何值时，？例6 如图，abcd为正方形，p是对角线db上一点，pecf为矩形，求证：pa=ef； paef. 若，得； 若，得例7 如图，矩形abcd内接于半径为r的圆o，点p是圆周上任意一点，求证：pa2+pb2+pc2+pd2=8r2.证明: 例8 已知p为abc内一点，且345延长ap交bc于点d，若，用、表示向量、解：课堂小结利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。作业见同步练习拓展提升一、 选择题1.给出下面四个结论： 若线段ac=ab+bc，则向量； 若向量，则线段ac=ab+bc； 若向量与共线，则线段ac=ab+bc; 若向量与反向共线，则.其中正确的结论有 （ ）a. 0个 b.1个 c.2个 d.3个2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）a.10 b. c. d.123.在中，若=0，则为 ( ）a.正三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.无法确定二、填空题4.已知两边的向量，则bc边上的中线向量用、表示为 。参考答案例1 分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积注意到， ，我们计算和证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2得( a+b)( a+b)= aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理,|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和例2 分析：由于r、t是对角线ac上两点，所以要判断ar、rt、tc之间的关系，只需要分别判断ar、rt、tc与ac之间的关系即可解：设a，b，则a+b因为与共线，因此，存在实数m，使得=m(a+b)又因为与共线，因此存在实数n，使得=n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共线，所以有解得所以同理 于是 所以 arrttc例3 分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型只要分析清楚f、g、三者之间的关系（其中f为f1、f2的合力）,就得到了问题的数学解释解：不妨设|f1|=|f2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|f1|=通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|f1|有小逐渐变大，即f1、f2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力例4分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸（用几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响）解：=(km/h)，所以， (min)答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min例5 解：若，得；若，得例6 解：以d为原点，为x轴正方向建立直