Y2504答卷.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： Y2504 所属学校（请填写完整的全名）： 延安职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘小龙 2. 雷宝莉 3. 张俊峰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 呼勇 日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 卫星和飞船的跟踪测控 摘 要要对卫星和飞船实行全程跟踪测控，我们必须考虑站点的合理分配问题。在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，我们根据正弦定理发现卫星、飞船运行轨道距地球表面高度h与测控站的个数n存在一个函数对应关系，越小需要的测控点个数越多，越大需要的测控点个数越少。在测控站与卫星或飞船的运行轨道不一定共面的情况下，因地球自转，运行轨道与经度有一定差异形成环带，要对运行区域进行测控就要对运行区域进行覆盖，我们考虑与测控范围半径有关的环带覆盖、理想状态下的全面覆盖与环带宽度有关的局部覆盖三种方法进行测控探究。在全球面覆盖方案中我们考虑到足球的覆盖原理，结合正五边形和正六边形在球面布局的3：5的比例关系，很容易得到球面覆盖的代数计算。我们对所搜集的神舟七号资料根据模型进行了相关计算，得出神舟七号的测控站点无法全程跟踪测控神舟七号，其覆盖范围是14%，与实际覆盖率16%相近，说明我们的系列模型对建设合理的测控站点有较好的应用价值。关键字： 卫星 飞船 测控 覆盖一. 问题重述 航天事业的发展诠释着一个国家科技水平的高低。而神舟七号的成功发射，在我国航天史上首次实施太空行走，树立了又一个中国载人航天工程新的里程碑。在此发射的过程中测控航天系统是一个重要的组成部分。其最理想的状态是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪监控。因为所用测控设备只能观测到所在切平面以上的空域，（在与地平面夹角的范围内测控效果不好，所以我们不考虑）。而完成一项卫星或飞船的全部监控往往需要多个测控站联合完成测控任务。文中给出神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布图，利用模型分析卫星或飞船的测控情况，需要解决的问题有：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。因地球自转，该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，为能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖达到全程跟踪测控，至少应该建立多少个测控站？3.收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。二.问题分析针对问题一为达到题目要求，对卫星或飞船进行全程跟踪测控，我们必须首先考虑到用足够的测控站来保证卫星或飞船在自己特定的轨道运行过程中一直处在测控范围内。由于每个测控站的测控范围在与地平面夹角以内的区域测控效果不好，所以我们只考虑测控站的测控范围在与地平面夹角以上的空域。我们想要得到测控站对卫星或飞船进行全面监测至少需要建设测控站的个数与卫星或飞船运行轨道距地球表面的距离之间的关系。即：当越大所需要的测控点越少，当越小所需要的测控点越多。经过搜查资料显示：卫星或飞船首先进入轨道时在椭圆轨道上运行，尔后由于受到大气阻力的影响，飞行轨道距测控站距离每圈减少1km，最后经过点火变轨过程太高近地点，轨道由椭圆轨道变成高度343km圆轨道，所以我们试想运用取整法求出卫星或飞船在椭圆轨道上运行时所需测控站。针对问题二因为随着地球不断自转，卫星绕地球不停的做圆周运动形成的差距就会越大变成一个环带，这就存在一个对所有测控点的覆盖问题。它可以分为全球面覆盖环带覆盖局部覆盖三种情况针对第三问我们结合搜集的资料，飞船在运行的过程中相继两圈的经度有差异，地球自转的角速度，设飞船运行一周的时间为，则可以得到飞船运行一周后地球自转的角度。由于两次的经度有差异，因此会形成一个弧长，但由于弧长太小可以近似看成一条直线，飞船运行两圈后会修轨按照圆轨道运行，则两圈后会形成一个小宽带，算出这个环形的宽度结合模型一和模型二得出的结果就可得到神舟七号119个实际观测点与理想的观测站的比值。三.模型假设1.假设地球半径平均为6371km2.假设在测控站所检测的范围内不受障碍物干扰3.假设不记因地球公转而导致卫星或飞船运行的角度偏差4.假设卫星和飞船在运行过程中不受太空垃圾的影响，能够安全平稳的运行。5.由于地球公转的角速度特别小，假设在计算卫星和飞船在运行时可以忽略地球公转引起的位移偏差。四.符号说明1) 表示飞船的运行轨道到离地球表面的高度；2) 表示测控站到地球中心与飞船运行轨道到地球中心的夹角、3) n表示测控站的个数4) 表示每个测控点所测的弧长5) C表示圆的周长6) 表示神舟六号和神舟七号所需测控点个数7) MN表示经过地球表面的切线8) B表示MN经过地球表面的切点9) 0表示地球中心10) A表示切点B到飞船运行轨道与地球中心O到运行轨道的一个交点11) C表示切点B到飞船运行轨道与地球中心O到运行轨道的另一个交点12) R表示地球半径13) 地球中心O点经过切点与运行轨道的交点14) V表示以椭圆长半径为半径所做圆的圆心15） H表示椭圆的近地点的距离16) H表示椭圆的远地点的距离17）表示卫星运行所形成的轨道面与赤道面之间的夹角18） r表示卫星运行的截面半径19） OE表示地球中心到卫星运行轨道的距离20） 、分别表示矩形的长和宽21） KO表示：圆心到截面的距离22） 表示地球表面积23) 表示正多边形的边的个数24）S1:表示正五边形面积25） S2；表示正六边形面积26）五.模型建立及求解模型一： 图（一）如图一所示在ABO中运用正弦定理得到相应的值 因为：R为已知条件，所以乘积为常数K即 式可等价为： 由弧长公式得：= 2 卫星或飞船所运行轨道的周长为: C= 在图(一)中因为=，MN为相切与地球的直线，切点为B，且由OD MN可得，因此建立测控站的个数为: n= = 由于计算会出现小数，因此利用取整法得出： n = +1 代入得： 即： + 由以上可知：要得出值，必须知道 的值，我们通过网络搜集得出：飞船或卫星在轨道上运行时距地球探测点距离为：200km500km。(1) 当=200时，根据得： 0.199故： +1=15+1=16个(2) 当=500时，根据得： 0.335故： +1=9+1=10个当测控站为10个时只能测控高位置的飞船或卫星，但当测控站为16个时既能测控高位置的又能测控低位置的，因此当测控站与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少需要16个测控站对其进行全程跟踪测控。因为越大所需测控点越少，但对于比小的距离则很难做到全面测控，而越小所需测控点越多，所测范围越全面，对于比大的距离也能够完全做到全面测控。所以选最小，所用测控站最多的数为至少需要的测控站。(3)由有关资料显示：神舟六号和神舟七号做圆周运动时的运行轨道与测控点之间的离都为343km所以依公式可得测控点的个数为：+即： 12个所以神舟六号和神舟七号做圆周运动时所需测控点的个数为12个.模型二：神州七号首先进入椭圆轨道上运行(如图二)： 图（二）由资料可知：神州七号在椭圆轨道上运行时，近地轨道高度237km远地点高度343km即：H=237km，H=343km假如我们分别以椭圆的长半径与短半径和地球半径的和做相切于椭圆的圆O和O”，所得两圆都与地球圆O在同一圆心。因为：H H所以根据第一个模型结果我们知道：近地点所设测控站的个数多于远地点所设测控站的个数。要想对神州七号做椭圆运行轨迹进行全面监测只能取所得最多点的个数为神州七号做椭圆运行轨迹时最少需要测控站的个数。因为O”包围O和椭圆，所以可得：能测到以椭圆因此我们只需要计算出神州七号运行轨迹在近地点所需测控站的个数。由公式可得：当H=237km时为神州七号做椭圆运行轨迹时最少需要测控站的个数；即： + =15个故：神州七号在椭圆轨道上运行时至少需要15个测控点。模型三：由于卫星运行轨道与赤道平面有固定的夹角，而且在卫星的运行速度与地球运行速度不同，所以在卫星与地球的相对运行过程中相继两圈的经度有一些差异。关于覆盖问题我们联想到足球的覆盖（如图二），由20:12这个正六边形与正五边形的个数比对地球实行全覆盖。而在覆盖时每个小的覆盖面是由5个正六边形和1个正五边形拼凑而成，运用地球的表面积除以5倍的正六边形面积与1倍的正五边形面积的和，得出结果再乘以6即可得到题目要求的所需测控站的个数。 图（二）我们把观测站覆盖面看成1个正五边形与5个正六边形的合面积则 =4066650.702km=4443676.382km由资料显示覆盖一个地球表面所需正五边形和正六边形的个数之比为3 ：5所以要覆盖整个地球面所需观测站个数为：n=（3+5）=118.5 个对于这样的数据我们只能取整加1即要覆盖整个地球面所需观测站个数为118+1=119 个 模型四： 由于经过一定时间后卫星绕地球不停的做圆周运动，而地球也在不停的自转，所以当卫星绕地球运行一圈后回到初点与经度会有一定的差距，随着地球不断自转，卫星绕地球不停的做圆周运动形成的差距就会越大变成一个环带，卫星绕运行轨道转动与地球赤道平面的夹角不变，因此它不会运行到轨道的球冠，所以我们去掉两个球冠。如图（三）然后将卫星运转轨道展开为一个长方形，那么长为运转底面圆的周长。宽为卫星每次运行与经度的差之和。具体计算过程如下： 去掉球冠以后，因为截面直径与地球赤道平行，所以FEK=，所以运行截面半径r为： 图（三）r=OE又因为地球中心到轨道距离为OE=R+H， 即： r=（R+） 所以以r为半径的圆的周长即矩形的长为： 根据公式可得：KO= 即可得矩形的宽为 根据模型一中的可得测控站所监控范围的半径R为： R= = 所以测控站所监控范围的直径为： 2 R=2=2为了求覆盖面积所需要的测控站我们分三种情况探究：1） 当2 R时：因为我们不能确定测控站所监控范围的半径，所以我们无法计算出覆盖面积所需要的测控点的个数。他们有可能是三层覆盖或者更多，即而也就需要更多的测控点来完成测控任务。特别是当2 R属于环带覆盖。2） 当=2 R时：可以用下图方法进行覆盖，也可以借助正六边形、正四边形和圆等等图形组合进行覆盖。由于计算过程复杂，这里不做继续探讨。 3） 当 由于地理位置因素的影响，观测站不能够均匀得分布在地球表面。我们在计算过程中假设为均匀分布，不受地面客观因素的影响。客观的说，将这些因素考虑进去将会使结果更加精确。2 由于地球公转的速度远远小于自转的速度，我们在计算过程中忽略了地球公转的影响。但是如果将公转考虑进去也将会使我们的计算结果更加精确。3 我们在计算过程中将很多数值和条件数字化、理想化，这样一来计算的结果就和实际产生一定的误差。七.进一步讨论及推广1 对于模型3是对地球的全覆盖，在覆盖过程中我们也可以采用正多边形的面代替圆面对地球表面进行覆盖，而且是正多边形的边越多，其最终的计算结果越精确。 2 如果我们在计算过程中引用厦门大学张晶晶教授的Rn 空间中单位球面覆盖的半径问题和三明学院林丽华教授的单位球极小球覆盖数为n+l 的n-维赋范空间的性质 中的一些理论和数据等等一些具有权威性的知识和理论，将会使我们的计算结果更加精确。3 在建立模型过程中，如若我们假设发射一个跟踪卫星，对所要检测的卫星实行全程监测，那我们的地面监测站就没必要再设立。八.参考文献1 /question/48428560.html/dygh/blog/item/a4e6904417be804a500ff