【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.2导数在函数单调性、极值中的应用教学案 理.doc

3.2导数在函数单调性、极值中的应用1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的单调性与导数2函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值_，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧_，右侧_，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，_和_统称为极值1(2012陕西高考)设函数f(x)ln x，则()ax为f(x)的极大值点bx为f(x)的极小值点cx2为f(x)的极大值点dx2为f(x)的极小值点2若函数ya(x3x)的递减区间为，则a的取值范围是()aa0 b1a0ca1 d0a13函数yxsin xcos x在(，3)内的单调增区间为()a. b.c. d(，2)4已知f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_5已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是_一、利用导数研究函数的单调性【例1】已知ar，函数f(x)(x2ax)ex(xr，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为r上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由方法提炼1导数法求函数单调区间的一般流程：提醒：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间2导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f(x)(2)确认f(x)在(a，b)内的符号(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数3已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立问题求解提醒：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件请做演练巩固提升1,5二、函数的极值与导数【例21】 已知实数a0，函数f(x)ax(x2)2(xr)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值【例22】 已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值方法提炼利用导数研究函数的极值的一般流程：请做演练巩固提升3,4书写不规范而致误【典例】 设函数f(x)x(ex1)x2，求函数f(x)的单调增区间错解：f(x)ex1xexx(ex1)(x1)，令f(x)0得，x1或x0.所以函数f(x)的单调增区间为(，1)(0，)错因：结论书写不正确，也就是说不能用符号“”连接，应为(，1)和(0，)正解：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，得x1或x0.所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答题指导：1.利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f(x)0或f(x)0，求其解即得但在求解时会因书写不规范而导致失分2对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“”连接1(2012辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()a(1,1 b(0,1c1，) d(0，)2(2012重庆高考)设函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()3函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_4函数f(x)x33x21在x_处取得极小值5设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为r上的单调函数，求a的取值范围参考答案基础梳理自测知识梳理1单调递增单调递减2(1)都小f(x)0f(x)0(2)都大f(x)0f(x)0极大值极小值基础自测1d解析：由f(x)0可得x2.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点2a解析：ya(3x21)3a，当x时，0.要使y0，必须取a0.3b解析：yxsin xcos x，yxcos x.当x(，3)时，要使yxcos x0，只要cos x0，结合选项知，只有b满足43解析：f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而当x1，)时，(3x2)min3123.a3，故amax3.5c解析：由f(x)的图象知，x0是f(x)的极小值点，f(x)极小值f(0)c.考点探究突破【例1】解：(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)若函数f(x)在r上单调递减，则f(x)0对xr都成立，即x2(a2)xaex0对xr都成立ex0，x2(a2)xa0对xr都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在r上单调递减若函数f(x)在r上单调递增，则f(x)0对xr都成立，即x2(a2)xaex0对xr都成立ex0，x2(a2)xa0对xr都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在r上单调递增综上可知，函数f(x)不可能是r上的单调函数【例21】 解：(1)f(x)ax34ax24ax，f(x)3ax28ax4a.令f(x)0，得3ax28ax4a0.a0，3x28x40，x或x2.a0，当x或x(2，)时，f(x)0.函数f(x)的单调递增区间为和(2，)；当x时，f(x)0，函数f(x)的单调递减区间为.(2)当x时，f(x)0；当x时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.f(x)在x时取得极大值，即a232.a27.【例22】 解：(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的图象关于y轴对称，所以0.所以m3，代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；由f(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值演练巩固提升1b解析：对函数yx2ln x求导，得yx(x0)，令解得x(0,1因此函数yx2ln x的单调递减区间为(0,1故选b.2c解析：由题意可得f(2)0，而且当x(，2)时，f(x)0，此时xf(x)0；当x(2，)时，f(x)0，此时若x(2,0)，xf(x)0，若x(0，)，xf(x)0，所以函数yxf(x)的图象可能是c.3a2或a1解析：f(x)x33ax23(a2)x1，f(x)3x26ax3(a2)令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.函数f(x)有极大值和极小值，方程x22axa20有两个不相等的实根，即4a24a80，a2或a1.42解析：f(x)x33x21，f(x)3x26x.令f(x)0，解得x0或x2.令f(x)0，解得0x2.所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，