江苏省苏州市第五中学高中数学 1.1任意角、弧度学案 新人教A版必修4.doc

第1章 三角函数11 任意角、弧度一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议任意角的概念终边相同的角的表示理解 正角、负角的引入可类比正、负数；用集合和符号语言正确表示终边相同的角；弄清1弧度的角的含义；了解角的集合与实数集r之间建立起一一对应的关系.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角.判断角所在的象限弧度的意义弧度与角度的换算特殊角的弧度数弧度制下的弧长公式二、预习指导1 预习目标(1)理解正角、负角、零角等概念；掌握象限角的概念及判定方法(2)会写出终边相同的角的集合、某个区间上角的集合、终边在坐标轴上的角的集合以及象限角的集合(3)准确地掌握1弧度的角的定义以及弧度制引进的意义；能根据弧长与半径的关系，用弧度制确定角的大小(4)能熟练地进行弧度制和角度制这两种量角制之间的换算，并能熟记特殊角的弧度数(5)掌握弧度制下弧长和扇形的面积公式，并能运用其解决简单的实际问题(6)理解用弧度制度量角，使角的集合与实数集r之间建立一一对应的关系2 预习提纲(1)查阅小学教材，复习角的概念，并与高中教材中角的概念进行对比；查阅初中教材(九年级上册)“弧长及扇形的面积”，复习角度制下的弧长公式、扇形面积公式，并尝试与高中弧度制下公式的互化(2)对任意角的概念可从实际生活中寻找实例，请举例并与同学交流辨析(3)从具体实例中观察终边相同的角的关系并归纳小结，学会用集合和符号语言正确地表示出来(4)理解1弧度的角的含义，体会弧度制引入的意义掌握“弧度数”与“角度数”换算的关键(5)教材第6页例2求解中蕴含着分类讨论的思想，为什么要对k分奇数和偶数进行分类，思考其中的缘由(6)上网查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料(7)上网查阅了解军事上用密位制度量角，了解密位制与角度值的关系3 典型例题例1 判断下列说法是否正确(1) 终边相同的角一定相等；(2) 锐角都是第一象限角；(3) 第一象限的角都是锐角；(4) 小于90的角都是锐角分析：根据各类角的定义、范围加以辨别解：(1) 不正确如角与角的终边相同，但不相等(2) 正确因为锐角是指大于小于的角，其终边落在第一象限(3) 不正确如角的终边在第一象限，但它不是锐角(4) 不正确如负角都是小于90的角，但都不是锐角点评：本题考查了关于各类角的定义及范围，要求学生概念清晰，并善于用举反例的方法进行概念辨析例2 试写出终边在直线上的所有角的集合，并指出上述集合中介于和之间的角分析：先找出终边在直线上且在内的角，再写出与其终边相同的角的集合，最后再考虑形式上的合并，然后给k赋值得出介于和之间的角解：终边在直线上且在内的角为和，所以终边与其相同的角的集合为，即取1和0，得和介于和之间点评：本题考查了终边相同的角的集合表示，并要求在具体范围内找出与之终边相同的角本题终边是一条直线，解题时需要先从射线入手，最后再进行合并，有一定难度例3 如图，用弧度制写出顶点在原点，始边重合于x轴正半轴，终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)分析：先确定角的终边oa、ob的角，再依照逆时针方向旋转规则，用终边相同的角的写法表示出符合条件的范围 解：(1) 图中以ob为终边的角看成，以oa为终边的角看成，再根据终边相同的 角的表示方法，得到阴影部分的角的集合为 (2) 图中以oa为终边的角看成，以ob为终边的角看成，所以得到阴影部 分的角的集合为 (3) 把图中阴影部分看成是由ab逆时针旋转至x轴得到，所以阴影部分的角的集 合为点评：此类问题需要注意的是阴影部分的边界所表示的角是互相联系的按逆时针方向选定前者为区域的起始边界，后者为终止边界，若起始边所表示的角为，由起始边旋转至终止边所旋转的最小正角为，则终止边所表示的角本题还需要注意两点，一是弧度制的正确使用；二是旋转边为直线的表示方法例4 一扇形aob的面积是1cm2，它的周长是4cm，求扇形的半径及圆心角aob分析：根据弧长及扇形面积计算公式列出方程组求解即可 解：设扇形的半径为r cm，圆心角aob为rad， 则解之得 答：扇形的半径为1cm，圆心角aob的弧度数为2rad点评：本题考查了弧长及扇形面积计算公式及方程(组)的思想方法，需要注意的是公式中的圆心角应采用弧度制，尽量避免初中所学的角度制下的计算公式4 自我检测(1)在0360之间， 与终边相同的角是_； 与-990终边相同的角是_(2)若是第四象限角，则是第_象限角(3)写出与角15终边相同角的集合，并把该集合中适合不等式-1080 -360的元素求出来(4)_度；-72=_rad(5)在abc中，若abc = 357，则a=_rad，b=_rad(6)半径为2的圆中， 大小为的圆周角所对的弧长是_； 长为2的弧所对应的圆心角为_rad三、 课后巩固练习a组1若将时钟拨慢5分钟，则分针转了_度，时针转了_度2与120角终边相同的角的集合是_3把下列各角写成的形式，并指出它们所在的象限或终边位置 (1) 135 (2) 540 (3) 1110 (4) 7654与-1778角终边相同且绝对值最小的角是_5(1)将315化为弧度是_；(2)将化为角度是_6把-885化成的形式是_7已知四边形的四个内角之比是1356，分别用角度和弧度将这些内角的大小表示出来8第四象限角的集合可以表示为_9若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，求这个圆心角所夹的扇形的面积b组10是第_象限的角11写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界） （1） （2） （3）12在直角坐标平面内画出角的终边13若角的终边经过点p(-1，-)，试写出角的集合a，并求出a中绝对值最小的角14若，且与的角的终边垂直，求15若是第三象限角，问是第几象限角？ 2的终边在哪里？16在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，p是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点p转过的弧长是多少？17已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积？c组18终边经过点(a，a)(a0)的角的集合是_19.若的终边落在xy0上，求出在360，360之间的所有角.20试写出终边在坐标轴上的角的集合21若角的终边与216角的终边相同，求在0360内终边与的终边重合的角22(1)设集合a = ，b =，试判断集合a与集合b之间的关系 (2) 集合mx|x，kz，n，则m与n间的关系为 23已知a = ，b = ，则 ab 24(1)若角与角的终边重合，则与的关系是_；(2) 若角与角的终边互为反向延长线，则与的关系是_；(3) 若角与角的终边在同一条直线上，则与的关系是_25一个扇形的面积为4 cm2，周长为8 cm，则扇形的圆心角及相应的弦长分别是_26若是第三象限的角，则是第 象限角知识点题号注意点任意角的概念注意角的正负终边相同的角的表示注意的区别区间角的表示注意边界能否取到弧长与扇形面积熟知弧度制下的弧长与扇形面积公式综合题体会弧度制表示的角与实数的一一对应关系；在数轴或在单位圆中看两角的集合的关系.四、 学习心得五、 拓展视野欧拉与弧度制18世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数的瑞士数学家欧拉(leonhardo eulero，1707年1783年)，在他于1748年出版的一部划时代的著作无穷小分析概论中，提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为1，使得对三角函数的研究大为简化这是欧拉在数学史上的重要功绩之一其次，欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是，所对圆心角的正弦是0，即sin0同理，圆的的长是，所对圆心角的正弦是1，可记作这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及计算1873年6月5日，数学教师汤姆生(james thomson)在北爱尔兰首府贝尔法斯特(belfast)女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词当时，他将“半径”(radius)的前四个字母与“角”(angle)的前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接受和引用我国学者曾把radian译成“弪”(由“弧”与“径”两字的一部分拼成)建国以来，中学数学教科书中都把radian译作“弧度”1881年，学者哈尔斯特(gbhalsted)等用希腊字母表示弧度的单位，例如用表示弧度1907年，学者包尔(gnbauer)用r表示；1909年，学者霍尔(aghall)等又用r来表示现在人们习惯把弧度的单位省略值得指出的是，1735年，欧拉右眼失明，无穷小分析概论这部著作出版于他这一不幸之后他的著作，在样式、范围和记号方面堪称典范，因此被许多大学作为教科书采用1766年，他回到圣彼得堡研究院后不久，又转成双目失明他以惊人的毅力，在圣彼得堡又用口述由别人记录的方式工作了近17年，直到1783年76岁时突然去世他一生发表过530部(篇)著作和论文；还留下大量手稿，让圣彼得堡科学院编辑出版的会报在欧拉去世后利用了47年1909年，瑞士自然科学学会开始出版欧拉全集，其中将包含他的886部(篇)著作和论文，预计会超过100卷(大四开本)欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数、棱数、面数之间总有这个关系被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础