十四 空间向量与立体几何.doc

十四 空间向量与立体几何 一、空间向量及其运算、空间直角坐标系1 空间向量的基本知识（1）向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0), ab的充要条件是存在实数，使a=b。（3）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p=xa+yb.（4）空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。（5）空间两向量的夹角：（6）两向量的数量积：运算律： 2（1）空间两点的距离公式：、（2）关于对称点坐标的求法： （3）向量的坐标运算： A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2)，则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)若a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)，则a+ b=（a1+ b1），a2+ b2，a3+ b3），；a- b=（a1- b1），a2- b2，a3-b3），； aba、b的坐标对应成比例； 例1 已知正方体的棱长为1，点N为B1B的中点，则|MN|=( ). 例2 已知a=（2，-1,3），b=（1,0，-2）（1）计算a-2b；（2）是否存在实数，使a+b与z轴垂直，若存在求之；若不存在，说明你的理由。例3 在棱长为1的正方体中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值等于（ ）。 二立体几何中的向量方法1 平面的法向量：a，那么向量a叫做平面的法向量。法向量的求法：2 利用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题。（1）两条直线平行两直线的方向向量是共线向量。（2）线面平行直线的方向向量与平面的法向量垂直；能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量。（3）面面平行转化为线线平行、线面平行处理；两平面的法向量平行。（4）线线垂直两直线的方向向量互相垂直。（5）线面垂直直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；直线与平面内的两个吧共线的向量垂直。（6）面面垂直转化为线线垂直、线面垂直处理；两平面的法向量互相垂直。3 利用空间向量求角（1）线线角：两异面直线a,b所成的角为两直线方向向量所成的角或其补角。（2）线面角：斜线与平面法向量所成的角（或其补角）的余角。（3）二面角：两平面法向量所成的角或其补角。4 利用向量处理距离问题（1）两点距离：（2）点线距离：（3）点面距离：d=（A是平面外一点，B是平面上任意一点）（4）异面直线间的距离d=（A是直线a上一点，B是直线b上一点，是直线a、b的公垂向量）例4 在正方体中，G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。例5 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.(1)求证：AF平面BDE;(2)求证：CF平面BDE; （3）求二面角A-BE-D的大小。例6 已知点P在正方体的对角线BD上，。（1）求DP与CC所成角的大小；（2）求DP与平面AADD所成角的大小。练习1 已知a，b，c是空间一个基底，p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是（ ）。A. a B. b C. c D.无法确定2 已知A(2，-5，1),B(2，-2，4),C(1，-4，1),则与的夹角为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 903 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC,求二面角B1-A1C-C1的大小。4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M。（1）求证：平面ABM平面PCD;(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值；（3）求点O到平面ABM的距离。空间向量与立体几何