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实验2 MATLAB数值计算、符号运算功能一、 实验目的1、掌握建立矩阵、矩阵分析与处理的方法。2、掌握线性方程组的求解方法。 3、掌握数据统计和分析方法、多项式的常用运算。4、掌握求数值导数和数值积分、常微分方程数值求解、非线性代数方程数值求解的方法。5、掌握定义符号对象的方法、符号表达式的运算法则及符号矩阵运算、符号函数极限及导数、符号函数定积分和不定积分的方法。二、 预习要求（1） 复习4、5、6章所讲内容；（2） 熟悉MATLAB中的数值计算和符号运算的实现方法和主要函数。三、 实验内容1、 已知，求A的特征值及特征向量，并分析其数学意义。 A=-29,6,18;20,5,12;-8,8,5; V,D=eig(A) V = 0.7130 0.2803 0.2733 -0.6084 -0.7867 0.8725 0.3487 0.5501 0.4050 D = -25.3169 0 0 0 -10.5182 0 0 0 16.8351V为A的特征向量，D为A的特征值，3个特征值是-25.3169、10.5182和16.8351。 A*V ans = -18.0503 -2.9487 4.6007 15.4017 8.2743 14.6886 -8.8273 -5.7857 6.8190 V*D ans = -18.0503 -2.9487 4.6007 15.4017 8.2743 14.6886 -8.8273 -5.7857 6.8190经过计算，A*V=V*D。2、 不用rot90函数，实现方阵左旋90或右旋90的功能。例如，原矩阵为A，A左旋后得到B，右旋后得到C。，提示：先将A转置，再作上下翻转，则完成左旋90；如将A转置后作左右翻转，则完成右旋转90，可用flipud、fliplr函数。 a=1 4 7 10;2 5 8 11;3 6 9 12a= 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 B=rot90(a)B = 10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3 C= rot90(s,3)C= 3 2 1 6 5 4 9 8 7 12 11 103建立一个5*5矩阵，求它的行列式值、秩。A=fix(10*rand(5)H=det(A)Trace=trace(A)Rank=rank(A)Norm=norm(A)A = 2 9 4 0 7 5 9 9 8 3 9 4 7 9 6 9 8 9 6 1 1 1 6 7 7H = -12583Trace = 31Rank = 5Norm = 30.16014下面是一个线性方程组，（1）求方程的解。A=1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6;b=0.95,0.67,0.52;x=inv(A)*b%(2):B=0.95,0.67,0.53;x=inv(A)*B%(3):cond(A)x = 1.2000 0.6000 0.6000x = 3.0000 -6.6000 6.6000ans = 1.3533e+003（2）将方程右边向量元素b3=0.52改为0.53再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。A=hilb(4)A(:,1)=A(4,:)=B=0.95,0.67,0.52;X=inv(A)*BB1=0.95,0.67,0.53;X1=inv(A)*B1N=cond(B)N1=cond(B1)Na=cond(A) %矩阵A为病态矩阵A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429A = 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 0.2500 0.2000 0.1667 0.2000 0.1667 0.1429A = 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 0.2500 0.2000 0.1667X = 1.2000 0.6000 0.6000X1 = 3.0000 -6.6000 6.6000N = 1N1 = 1Na = 1.3533e+003（3） 计算系数矩阵的条件数并分析结论。无5建立矩阵A，试比较sqrtm(A)和sqrt(A)，分析它们的区别。A=1,4,9;16,25,36;49,64,81B=sqrtm(A)C=sqrt(A) %sqrtm函数是以矩阵为单位进行计算，sqrt函数是以矩阵中的元素进行计算A = 1 4 9 16 25 36 49 64 81B = 0.6344 + 1.3620i 0.3688 + 0.7235i 0.7983 - 0.4388i 1.4489 + 1.1717i 2.7697 + 0.6224i 3.2141 - 0.3775i 4.3578 - 1.6237i 5.7110 - 0.8625i 7.7767 + 0.5231iC = 1 2 3 4 5 6 7 8 96将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P中，进行如下处理：（1）分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。A=45+(95-45)*rand(100,5);Y,U=max(A)X,U=min(A)运行结果：Y = 94.9721 93.9250 94.5146 94.3265 94.5999U = 94 80 45 14 87X = 45.3517 45.6929 45.3851 45.0906 45.2279U =48 23 27 23 60（2）分别求每门课的平均分和标准方差。A=45+(95-45)*rand(100,5);aver=mean(A)s1=std(A)运行结果：aver = 67.1876 70.1262 69.0017 71.0174 70.3569s1 = 13.2273 14.1307 13.8053 15.1191 14.7097（3）5门课程总分的最高分、最低分及相应学生序号。A=45+(95-45)*rand(100,5);B=sum(A,2)disp(最高分及学号:),Y,U=max(B)disp(最低分及学号:),X,U=min(B)运行结果：最高分及学号:Y = 432.6472U = 84最低分及学号:X = 287.6246U =50（4）将5门课总分按从大到小顺序存入zcj中，相应学生序号存入xsxh。A=45+(95-45)*rand(100,5);B=sum(A,2);X,I=sort(B);zcj=flipud(X)xsxh=flipud(I)提示：编程时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在45,95之间的随机矩阵来表示学生成绩。7利用MATLAB提供的rand函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质：（1）均值和标准方差；（2）最大元素和最小元素；（3）大于0.5的随机数个数占总数的百分比。A=rand(1,30000);aver=mean(A)s1=std(A)max=max(max(A)min=min(min(A)k=find(A0.5);a=length(k);disp(百分比是：),per=a/30000运行结果：均值是：aver = 0.4982s1 = 0.2889max = 1.0000min = 4.8158e-005百分比是：per =0.49888分别用3种不同的数值方法求解线性方程组。（提示：LU函数、inv函数）9求函数在(0,1)内的最小值。10已知x=6，y=5，利用符号表达式：。（提示：定义符号常数，）x=sym(6),y=sym(5) x =6 y =5 z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y) z =7/(3-5(1/2)11已知：，求：（1）。（2）B的逆矩阵并验证结果。（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵。（4）B的行列式值。提示：用于数值矩阵分析的有关函数同样适用于符号矩阵。验证结果时须将结果化简。（1） B=P1 P2AP1=0 1 0;1 0 0;0 0 1P1 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 P2=1 0 0;0 1 0;1 0 1P2 = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);e=sym(e);f=sym(f);g=sym(g);h=sym(h);i=sym(i); A=a b c;d e f;g h i A = a, b, c d, e, f g, h, iB=P1*P2*AB = d, e, f a, b, c a+g, b+h, c+i（2） B的逆矩阵并验证结果C=inv(B) C = (i*b-c*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), (-e*c-i*e+f*b+f*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), -(-e*c+f*b)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b) -(i*a-c*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), -(-d*c-i*d+f*a+f*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), (-d*c+f*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b) (a*h-b*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), (-d*b-d*h+e*a+e*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), -(-d*b+e*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵tril(B) ans = d, 0, 0 a, b, 0 a+g, b+h, c+l（4）B的行列式值det(B) ans = i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b12 用符号方法求下列极限或导数。（1）；（2）已知，分别求、。(1)x=sym(x)x =x f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x).3 f = (x*(exp(sin(x)+1)-2*exp(tan(x)+2)/sin(x)3 limit(f) ans = -1/2（4）x=sym(x) x = x y=(1-cos(2*x)/x y = (1-cos(2*x)/x diff(y,x,1) ans = 2*sin(2*x)/x-(1-cos(2*x)/x2 diff(y,x,2) ans = 4*cos(2*x)/x-4*sin(2*x)/x2+2*(1-cos(2*x)/x3 syms a t x; f=sym(ax,t3;t*cos(x),log(x) f = ax, t3 t*cos(x), log(x) diff(f,x,1); diff(f,x,1) ans = ax*log(a), 0 -t*sin(x), 1/x diff(f,t,2) ans = 0, 6*t 0, 0 diff(f,x)/diff(f,t) ans = 0, 1/cos(x)*ax*log(a) 1/3/t2/x, -1/cos(x)*t*sin(x)13用符号方法求下列积分：（1）；（2）。（1）sym(x) ans = x f=1/(1+x4+x8) f = 1/(1+x4+x8) int(f,x) ans = 1/6*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3(1/2)+1/6*3(1/2)*atan(1/3*(1+2*x)*3(1/2)-1/12*3(1/2)*log(-x2+3(1/2)*x-1)+1/12*3(1/2)*log(x2+3(1/2)*x+1) （3）syms x f=(x.2+1)/(x.4+1) f = (x2+1)/(1+x4) int(f,x,0,inf) ans = 1/2*pi*2(1/2) 14化简表达式。（1）；byte1=sym(byte1) byte1 = byte1 byte2=sym(byte2) byte2 = byte2 S=sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2) S = sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2) simplify(S) ans = sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)（2）。x=sym(x) x = x S=(4*x2+8*x+3)/(2*x+1) S = (4*x2+8*x+3)/(2*x+1) simple(s) simple(S) simplify: 2*x+3 radsimp: 2*x+3 combine(trig): 2*x+3 factor: 2*x+3 expand: 4/(2*x+1)*x2+8/(2*x+1)*x+3/(2*x+1) combine: (4*x2+8*x+3)/(2*x+1) convert(exp): (4*x2+8*x+3)/(2*x+1)