轴对称图形基本概念.docx

【本讲教育信息】一、 教学内容：1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。 二、 知识要点：1. 基本概念（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：都沿某条直线对折，图形重合。 如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 （4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）3. 线段的垂直平分线的性质及判定（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图，若PC是线段AB的垂直平分线（ACBC，PCAB），则PAPB（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图，若PAPB，则点P在线段AB的垂直平分线上。4. 尺规作图（1）如何作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点（2）作线段的垂直平分线 分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点， 作直线CD。 CD就是线段AB的垂直平分线。5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_，_）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_，_）。 三、 重点难点：1. 重点：轴对称图形的性质；线段垂直平分线的性质及判定；关于坐标轴对称的点的坐标特点。 2. 难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。 【考点分析】中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质，以及用轴对称、平移等知识设计图案。 试题的难度较小，以基础题为主，题型以填空题、选择题为主，也有简单的作图题。【典型例题】例1. 如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？分析：每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。 要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。解：不是。 有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。评析：看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（ ） ADBD； ACBC； AB； ACDBCD； ADCBDC90 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个分析：由垂直平分线的定义可以直接得出和；由垂直平分线的性质可得出；由ADCBDC可得到和。解：D评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。 （2，3），（1，2），（2，4），（0，2）。分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。解：（2，3），（1，2），（2，4），（0，2）关于x轴对称的点的坐标分别为（2，3），（1，2），（2，4），（0，2）；关于y轴对称的点的坐标分别为（2，3），（1，2），（2，4），（0，2）。评析：点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。例4. （2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围。 （2）如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）。分析：由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形，也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm，那么由长方形的总长可得05x26，即得x的取值范围。 对于第二小题根据图形得APBM265x，而AMAPPM，PMx。解：（1）由折纸过程知：05x26，0x。 （2）图是轴对称图形，AMx13x，即点M与点A的距离是（13x）cm。评析：图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45，由到时长方形的长至少不少于宽的5倍。例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。分析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。解：（1）画出点A关于直线l的对称点A；（2）画出点B关于直线l的对称点B：（3）连结AB，则线段AB即为所求。评析：画已知图形关于某直线的对称图形：对称轴是对应点连线的垂直平分线，若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。 例6. 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？分析：在河岸l上找一点C，使ACBC最短，利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。 （1）作点B关于直线l的对称点，（2）连结，交直线l于点C，点C就是所求的水泵站的位置。 （如图所示）评析：此类最小值问题解决的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。 依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。 【方法总结】本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。 在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。 在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、 选择题1. 下列说法错误的是 （ ）A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称C. 轴对称图形的对称轴至少有一条D. 线段是轴对称图形2. 轴对称图形的对称轴是 （ ）A. 直线 B. 线段 C. 射线 D. 以上都有可能3. 下面各组点关于y轴对称的是 （ ）A. （0，10）与（0，10） B. （3，2）与（3，2）C. （3，2）与（3，2） D. （3，2）与（3，2）*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A. 一条线段 B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条相等的线段 D. 有公共端点的两条不相等的线段5. （2007年河南）如图，ABC与ABC关于直线l对称，则B的度数为 （ ）A. 30 B. 50 C. 90 D. 1006. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）*7. （2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若AFCBCF150，则AFEBCD的大小是 （ ）A. 150 B. 300 C. 210 D. 330*8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，60，点P在内（不在l1，l2上）。 小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，。 若与P重合，则n的最小值是 （ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8二、 填空题9. （2006年宜昌）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是_。 10. 如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出：（1）两组对应点_和_；（2）两组对应线段_和_；（3）两组对应角_和_。11. 点A（5，6）与点B（5，6）关于_对称。*12.（2007年四川内江）已知点A（m1，3）与点B（2，n1）关于x轴对称，则m_，n_。三、 解答题13. 画出下列各图形的所有对称轴。14. 如图所示，作出ABC关于直线l的对称三角形ABC。*15. （1）回答问题：到线段两端点的距离相等的点在_上；到角的两边距离相等的点在_上。 （2）根据（1）中的结论作图。 如图所示，求作一点P，使PCPD，且使点P到AOB的两边的距离相等。*16. 如图所示，ABC中，DE垂直平分线段AB，AE5cm，ACD的周长为17cm，求ABC的周长。四、 应用与探究题17. 观察下图中的图形，虚线是不是它们的对称轴？你是如何验证的？*18. 如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？【试题答案】一、 选择题1. B 2. A 3. B 4。 D 5。 D 6。 D 7。 B 8。 B二、 填空题9. BA62910. 答案不唯一，（1）A与D，B与E（2）AB与DE，AC与DF（3）A与D，B与E11. y轴 12. 3，4三、 解答题13. 如图所示：14. 如图所示：15. （1）这条线段的垂直平分线；这个角的平分线。 （2）连结CD，作线段CD的垂直平分线a，作AOB的平分线OM，OM交a于点P。 点P就是所求作的点。 16. 解：DE垂直平分线段AB，DADB，AEBE。 AE5cm，BE5cm，ABAEBE10cm。 ABC的周长CACDDBAB，ACD的周长CACDADCACDDB17cm，ABC的周