第6章 静电场中的导体与电介质.doc

第九章 静电场中的导体与电介质9 2 一导体半径为R1，外罩一半径为的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V0。求此系统的电势和电场的分布。分析 若，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电。图9 2若，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电。不失一般情况，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图9 2所示。依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布，并由或电势叠加求出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R1、R2表示。解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由高斯定理，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r R1时， E1 (r) = 0R1 r R2时， 由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。r R1时， R1 r R2时， 也可以从球面电势的叠加求电势的分布。在导体球内（r R1） 在导体球和球壳之间（R1 r R2） 由题意 得 代入电场、电势的分布得r R1时， E1 = 0；V1 = V0R1 r R2时， 9 3 在一半径为R1 = 6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2 = 8.0cm，R3 = 10.0cm。设球A带有总电荷QA = 3.010 8C，球壳B带有总电荷QB = 2.010 8C。（1）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。分析 （1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷 QA，外表面带电荷QB + QA，电荷在导体表面均匀分布图9 3(a)，由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电 QA图9 3(b)。断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡。不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上的电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应 qA，外表面带电qA QA图9 3(c)。此时球A的电势可表示为 由VA = 0可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。图9 3解 （1）由分析可知，球A的外表面带电3.010 8C，球壳B内表面带电 3.010 8C，外表面带电5.010 8C。由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为 （2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为 解得 即球A外表面带电2.1210 8C，由分析可推得球壳B内表面带电 2.1210 8C，外表面带电 0.910 8C。另外球A和球壳B的电势分别为 VA = 0 VB = 7.9210 2V导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。9 4 三个平等导体板A、B和C的面积均为S，其中A板带电Q，B、C板不带电，A、B间相距为d1，A、C间相距为d2。求：（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。（2）将B、C两导体板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。图9 4分析 （1）首先分析静电平衡条件下，平等导体板表面电荷分布的规律。考虑如图9 4(b)所示的一对平行导体板，取图中圆柱面为高斯面，高斯面的侧面与电场强度E平行，电场强度通量为零；高斯面的两个端面在导体内部，因导体内电场强度为零，因而电场强度通量也为零。由高斯定理 得 q = 0上式表明处于静电平衡的平行导体板，相对的两个面应带等量异号电荷。再利用叠加原理，导体板上四个带电面在导体内产生的合电场强度必须为零，因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷。依照上述分析，可求出导体板上各面的电荷分布和电势差。（2）B、C两导体板分别接地，VB = VC = UBC = 0。导体电势的改变将会引起导体表面电荷的重新分布。电荷的分布依然应满足相对面等量异号；相背面等量同号的规律，以使导体内部E = 0，维持导体的静电平衡。根据电荷分布可确定导体板间的电势差。解 （1）设电荷分布如图9 4(c)所示，依照静电平衡时导体板上电荷分布规律，有 解上述各式得 故有 （2）B、C两导体接地，UBC = 0，则有 解上述各式得 故有 9 6 在真空中，将半径为R的金属球接地，与球心O相距为r（r R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响。求金属球表面上的感应电荷总量。图9 6分析 金属球为等势体，金属球上任一点的电势V等于点电荷q和金属球表面感应电荷q 在球心激发的电势之和。在球面上任意取一电荷元d q，电荷元可以视为点电荷，金属球表面的感应电势为 点O总电势为 而接地金属球的电势V0 = 0，由此可解出感应电荷q。解 金属球接地，其球心的电势 感应电荷总量 9 8 两线输电线，其导线半径为3.26mm，现代化一中心相距0.50m，线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容。解 由教材第九章9 2节例3可知两输电线的电势差 因此，输电线单位长度的电容 代入数据 。9 10 在A点和B点之间有5个电容器，