【步步高】高三数学大一轮复习 3.4 导数的综合应用课时检测 理 苏教版.doc

3.4 导数的综合应用一、填空题1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为_cm.解析设圆锥的体积为v cm3，高为h cm，则v(400h2)h(400 hh3)，v(4003h2)，由v0，得h.所以当h cm时，v最大答案2设mr，若函数yex2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是_解析因为函数yex2mx，有大于零的极值点，所以yex2m0有大于零的实根令y1ex，y22m，则两曲线的交点必在第一象限由图象可得2m1，即m.答案m0，f(x)3(x)(x)，由已知条件01，解得0a0或a1时，在xa处取得极小值，当1a0时，在xa处取得极大值，故a(1,0)答案(1,0)6有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析设矩形的长为x m，则宽为：8x(m)s矩形x(8x)8xx2(x4)21616.答案167直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图，观察得2a2时恰有三个不同的公共点答案(2,2)8一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为s27t0.45t2米，则列车刹车后_秒车停下来，期间列车前进了_米解析s(t)270.9t，由瞬时速度v(t)s(t)0得t30(秒)，期间列车前进了s(30)27300.45302405(米)答案304059已知函数f(x)x3ax2bxc，若f(x)在区间(1,0)上单调递减，则a2b2的取值范围是_解析由题意得f(x)3x22axb，f(x)0在x(1,0)上恒成立，即3x22axb0在x(1,0)上恒成立，a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示则点o到直线2ab30的距离d，a2b2d2，a2b2的取值范围为.答案10关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0得x0或x2当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a.，解得：4a0.答案(4,0)11将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析如图所示，设adx m(0x1)，则deadx m，梯形的周长为x2(1x)13x (m)，又sadex2(m2)，梯形的面积为x2(m2)，s(0x1)，s，令s0得x或3(舍去)，当x时，s0，s递减；当x时，s0，s递增故当x时，s的最小值是.答案12已有函数f(x)是r上的偶函数，且在(0，)上有f(x)0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0的解集是_解析在(0，)上有f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递增又函数f(x)是r上的偶函数，所以f(1)f(1)0.当x0时，f(x)0，0x1；当x0时，图象关于y轴对称，f(x)0，x1.答案(，1)(0,1)13设函数f(x)ax33x1(xr)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.答案4二、解答题14. 已知函数是r上的奇函数，当时取得极值.(i)求的单调区间和极大值；(ii)证明对任意不等式恒成立.解析 (i)由奇函数定义，应有.即 因此， 由条件 为的极值，必有故 解得 因此， 当 时，故在单调区间上是增函数.当 时，故在单调区间上是减函数.当 时，故在单调区间上是增函数.所以，在处取得极大值，极大值为(ii)由(i)知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意恒有 15如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路oc，另一侧修建一条观光大道，它的前一段od是以o为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段dbc是函数yasin(x)，x4,8时的图象，图象的最高点为b，dfoc，垂足为f.(1)求函数yasin(x)的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园pmfe，问：点p落在曲线od上何处时，水上乐园的面积最大？解析(1)对于函数yasin(x)，由图象知a，.将b代入到ysin中，得2k(kz)又|，所以.故ysin.(2)在ysin中，令x4，得d(4,4)，所以曲线od的方程为y24x(0x4)设点p(0t4)，则矩形pmfe的面积为st(0x4)因为s4，由s0，得t，且当t时，s0，则s单调递增，当t时，s0，则s单调递减；所以当t时，s最大，此时点p的坐标为.16已知f(x)ax3bx2cx在区间0,1上是增函数，在区间(，0与1，)上是减函数，且f.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间0，m(m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围解析(1)由f(x)ax3bx2cx，得f(x)3ax22bxc.又由f(x)在区间0,1上是增函数，在区间(，0与1，)上是减函数，可知x0和x1是f(x)0的解，即解得f(x)3ax23ax.又由f，得f，a2，即f(x)2x33x2.(2)由f(x)x，得2x33x2x，即x(2x1)(x1)0，0x或x1.又f(x)x在区间0，m(m0)上恒成立，0m.故m的取值范围是.17请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e，f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设aefbx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)s4ah8x(30x)8(x15)21 800.所以当x15 cm时，s取得最大值(2)va2h2(x330x2)，v6x(20x)由v0，得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，v0；当x(20,30)时，v0.所以当x20时，v取得极大值，也就是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.18已知函数f(x)aln xax3(ar)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解析(1)根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1；当a0时，f(x)不是单调函数(2)f(2)1，a2，f(x)2ln x2x3.g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g(0)2，由题意知：对于任意的t1,2，g(t)0恒成立，m9.【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极