广东省茂名市高三数学第一次模拟试题 文（含解析）新人教A版.doc

2013年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2013茂名一模）已知，则pq=（）ab0，1cd0考点：交集及其运算专题：计算题分析：找出p与q的公共部分，即可求出两集合的交集解答：解：p=，0，1，q=x|1x1，pq=0，1故选b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2013茂名一模）气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（）a茂名市明天将有80%的地区降雨b茂名市明天将有80%的时间降雨c明天出行不带雨具肯定要淋雨d明天出行不带雨具淋雨的可能性很大考点：命题的真假判断与应用；概率的意义专题：阅读型分析：根据概率的意义，事件的概率是表达事件发生的可能性大小，依此来判断即可解答：解：茂名市明天降雨的概率是80%的含义是：茂名市明天降雨的可能性达80%，d正确故选d点评：本题借助考查命题的真假判断，考查概率统计3（5分）（2013茂名一模）计算：i（1+i）2=（）a2b2c2id2i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用完全平方式展开（1+i）2，然后直接利用单项式乘多项式进行运算解答：解：i（1+i）2=i（1+2i+i2）=i（11+2i）=2i2=2故选a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的乘法，符合实数运算中的单项式乘多项式法则，是基础题4（5分）（2013茂名一模）已知双曲线的右焦点f（3，0），则此双曲线的离心率为（）a6bcd考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据双曲线的右焦点f（3，0），从而求出m的值，进而得到该双曲线的离心率解答：解：双曲线的右焦点f（3，0），c=3，m=a2=325=4，e=故选c点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力解题时要抛物线的性质进行求解5（5分）（2012福建）已知向量=（x1，2），=（2，1），则的充要条件是（）ax=bx=1cx=5dx=0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可解答：解：因为向量=（x1，2），=（2，1），所以2（x1）+2=0，解得x=0故选d点评：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力6（5分）（2012北京）函数f（x）=的零点个数为（）a0b1c2d3考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）0，f（）0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为0，+）y=在定义域上为增函数，y=在定义域上为增函数函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=10，f（1）=0故函数f（x）=的零点个数为1个故选b点评：本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题7（5分）（2013淄博一模）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）a0b1c2d3考点：程序框图专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： n x 是否继续循环第一圈 2 2a+1 是第二圈 3 4a+2+1 是第三圈 4 8a+4+2+1 否则输出的结果为8a+4+2+1=31，所以a=3故选d点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法8（5分）（2009福建）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）abcd考点：简单空间图形的三视图专题：压轴题；图表型分析：解法1：结合选项，正方体的体积否定a，推出正确选项c即可解法2：对四个选项a求出体积判断正误；b求出体积判断正误；c求出几何体的体积判断正误；同理判断d的正误即可解答：解：解法1：由题意可知当俯视图是a时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选c解法2：当俯视图是a时，正方体的体积是1；当俯视图是b时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是c时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是d时，该几何是圆柱切割而成，其体积是故选c点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等9（5分）（2013甘肃三模）函数的图象是（）abcd考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：计算题；数形结合分析：求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可解答：解：因为，解得x1或1x0，所以函数的定义域为：（1，0）（1，+）所以选项a、c不正确当x（1，0）时，是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数是增函数故选b点评：本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力10（5分）（2013潮州二模）设向量，定义一运算：（b1，b2）=（a1b1，a2b2）已知，点q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中o为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（）abc2，d2，4考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由题意可得q的坐标，进而可得，可得函数解析式为y=f（x）=2sin2x，由三角函数的知识易得答案解答：解：由题意可得=（，2sinx1），故点q的坐标为（，2sinx1），由点q在y=f（x）的图象上运动可得，消掉x1可得y=2sin2x，即y=f（x）=2sin2x故可知最大值及最小正周期分别是2，故选c点评：本题考查平面向量的数量积的运算，由新定义得出函数的解析式是解决问题的关键，属中档题二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（4分）（2010湖南）在区间1，2上随即取一个数x，则x0，1的概率为 考点：几何概型专题：计算题分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出数轴上表示区间0，1的线段的长度及表示区间1，2的线段长度，并代入几何概型估算公式进行求解解答：解：在数轴上表示区间0，1的线段的长度为1；示区间1，2的线段长度为3故在区间1，2上随即取一个数x，则x0，1的概率p=故答案为：点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解12（4分）（2013茂名一模）已知函数，则ff（2013）=0考点：函数的值专题：计算题分析：由题意先求出f（2013）=3，然后再根据x2010时的函数解析式求解即可解答：解：函数，f（2013）=20132010=3则ff（2013）=f（3）=tan=0故答案为：0点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是明确对应关系13（4分）（2013茂名一模）目标函数z=3x+y在约束条件下取得的最大值是9考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=0时，z取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（，0），b（3，0），c（，）设z=f（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点b时，目标函数z达到最大值z最大值=f（3，0）=9故答案为：9点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题14（4分）（2013茂名一模）已知曲线c的参数方程为（为参数），则曲线上c的点到直线3x4y+4=0的距离的最大值为3考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系专题：计算题分析：由参数方程可得cos=x2，sin=y，利用同角三角函数的基本关系消去，化为普通方程，表示圆，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径即得曲线上c的点到直线3x4y+4=0的距离的最大值解答：解：曲线c的参数方程为（为参数），cos=x2，sin=y，平方相加可得 （x2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，以1为半径的圆圆心到直线的距离等于=2，故曲线上c的点到直线3x4y+4=0的距离的最大值为2+r=2+1=3故答案为 3点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题15（4分）（2013茂名一模）如图，o的直径ab=6cm，p是ab延长线上的一点，过p点作o的切线，切点为c，连接ac，若cpa=30，pc=cm考点：圆的切线的性质定理的证明专题：计算题；压轴题分析：在圆中线段利用由切线定理求得ocp=rt，进而利用直角三角形pco中的线段，结合解直角三角形求得pc即可解答：解：连接oc，pc是o的切线，ocp=90cpa=30，oc=3，tan30=，即pc=故填：点评：此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及切线定理，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）（2013茂名一模）如图所示，角a为钝角，且，点p，q分别在角a的两边上（1）已知ap=5，aq=2，求pq的长；（2）设apq=，aqp=，且，求sin（2+）的值考点：余弦定理专题：解三角形分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将cosa，ap与aq的值代入计算即可求出pq的长；（2）由cos的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，利用三角形的内角和定理及诱导公式变形求出sin（+）与cos（+）的值，将所求式子变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值解答：解：（1）a是钝角，cosa=，ap=5，aq=2，在apq中，由余弦定理得pq2=ap2+aq22apaqcosa，pq2=52+22252（）=45，pq=3；（2）为三角形的角，cos=，sin=，又sin（+）=sin（a）=sina=，cos（+）=cos（a）=cosa=，sin（2+）=sin+（+）=sincos（+）+cossin（+）=+=点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17（12分）（2013茂名一模）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在90分以上（含90分）的学生为“优秀”，成绩小于90分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格（1）求“优秀”和“良好”学生的人数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出10人，求“优秀”和“良好”的学生分别选出几人？（3）若甲是在（2）选出的“优秀”学生中的一个，则从选出的“优秀”学生中再选2人参加某专项测试，求甲被选中的概率是多少？考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；频率分布直方图专题：概率与统计分析：（1）利用要求的学生人数=即可得出；（2）利用所抽取的优秀人数=，良好人数=即可得出；（3）利用列举法和古典概型的概率计算公式即可得出解答：解：（1）依题意良好学生的人数为40（0.01+0.07+0.06）5=28人，优秀学生的人数为40（0.04+0.02）5=12人（2）优秀与良好的人数比为3：7，所以采用分层抽样的方法抽取的10人中有优秀3人，良好7人（3）将（2）选出的优秀的三名学生记为甲，乙，丙，则从这3人中任选2人的所有基本事件包括：甲乙，甲丙，乙丙共3个基本事件，其中含甲的基本事件为甲乙，甲丙2个，所以甲被选中的概率是点评：熟练掌握要求的学生人数=、所抽取的优秀人数=、列举法和古典概型的概率计算公式是解题的关键18（14分）（2013茂名一模）如图，多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ab=cd=1，g为ad的中点（1）求证；acce；（2）在线段ce上找一点f，使得bf平面acd，并给予证明；（3）求三棱锥vgbce的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的性质定理即可得出deac；根据勾股定理的逆定理可得accd，利用线面垂直的判定定理可得ac平面cde，（2）利用线面垂直的性质定理可得abed，设f为线段ce的中点，h是线段cd的中点，利用三角形的中位线定理可得，又，于是可得四边形abfh为平行四边形，可得bfah，再利用线面平行的判定定理即可证明；（3）作cpad垂足为p，利用面面垂直的性质定理可得cp平面abed，再利用，即可得出体积解答：（1）证明：de平面acd，deac，ad2=ac2+cd2，accdcdde=d，ac平面cdeacce（2）由已知ab平面acd，de平面acd，abed，设f为线段ce的中点，h是线段cd的中点，连接fh，则，四边形abfh是平行四边形，bfah，由bf平面acd内，ah平面acd，bf平面acd；（3）由ed平面acd，平面abed平面acd，在平面acd内作cpad垂足为p，平面abed平面acd=ad，cp平面abed，cp为三棱锥vcbge的高由，=，三棱锥vgbce的体积点评：熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、勾股定理的逆定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式和“等积变形”是解题的关键19（14分）（2013茂名一模）已知数列an的前n项和为sn，且an是sn与2的等差中项，而数列bn的首项为1，bn+1bn2=0（1）求a1和a2的值；（2）求数列an，bn的通项an和bn；（3）设cn=anbn，求数列cn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（1）由an是sn与2的等差中项得递推式，在递推式中分别取n=1和n=2即可求得a1和a2的值；（2）由（1）中的递推式和求得数列an是等比数列，由bn+1bn2=0推得数列bn是等差数列，则数列an，bn的通项公式可求；（3）把an和bn代入cn=anbn后直接利用错位相减法求和解答：解：（1）an是sn与2的等差中项，sn=2an2，a1=s1=2a12，解得a1=2，a1+a2=s2=2a22，解得a2=4；（2）sn=2an2，sn1=2an12（n2），得：an=2an2an1，即，a10，即数列an是等比数列a1=2，由已知得bn+1bn=2，即数列bn是等差数列，又b1=1，bn=b1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（3）由cn=anbn=（2n1）2n，得：即：=点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，常采用错位相减法此题是中档题20（14分）（2013茂名一模）已知椭圆过点且它的离心率为（1）求椭圆c1的方程；（2）设椭圆c1的左焦点为f1，右焦点为f2，直线l1过点f1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点p，线段pf2的垂直平分线交l2于点m，求点m的轨迹c2的方程；（3）已知动直线l过点q（4，0），交轨迹c2于r、s两点是否存在垂直于x轴的直线m被以rq为直径的圆o1所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆所过点a可求得b值，再由离心率及a2=b2+c2即可求得a值，（2）由题意可知|mp|=|mf2|，即动点m到定直线l1：x=1的距离等于它到定点f2（1，0）的距离，从而可判断动点m的轨迹为抛物线，进而可求得其方程；（3）设r（x1，y1），假设存在直线m：x=t满足题意，可表示出圆o1的方程，过o1作直线x=t的垂线，垂足为e，设直线m与圆o1的一个交点为g利用勾股定理可用t，x1表示出|eg|2，根据表达式可求得t值满足条件解答：解：（1）因为椭圆（ab0）过点，所以，b2=2，又因为椭圆c1的离心率，所以，解得a2=3所以椭圆c1的方程是；（2）因为线段pf2的垂直平分线交l2于点m，所以|mp|=|mf2|，即动点m到定直线l1：x=1的距离等于它到定点f2（1，0）的距离，所以动点m的轨迹c2是以l1为准线，f2为焦点的抛物线，所以点m的轨迹c2的方