【红对勾】高中数学 单元综合测试三 新人教A版选修21(1).doc

单元综合测试三时间：120分钟分值：150分 第卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1直三棱柱abca1b1c1，若a，b，c，则()aabc babccabc dabc解析：结合图形，得cababc，故选d.答案：d2已知a(5,6,1)，b(6,5,0)，则a与b()a垂直 b不垂直也不平行c平行且同向 d平行且反向答案：a3已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x等于()a4 b4c. d6解析：ab(2,1,3x)，由(ab)c，(ab)c0.2x2(3x)0，得x4.答案：b4若a(1，2)，b(2，1,2)，且a，b的夹角的余弦值为，则等于()a2 b2c2或 d2或解析：ab2463.解得2或.答案：c5已知空间四边形abcd每条边和对角线长都等于a，点e、f、g分别是ab、ad、dc的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果()a2 b2c2 d2解析：2a2，a错；2a2，b错；2a2，d错；只有c对答案：c6若a(x,5x,2x1)，b(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()a19 bc. d.解析：(1x,2x3，3x3)，则|，故当x时，|取最小值，故选c.答案：c7已知abcd，abef是边长为1的正方形，fa平面abcd，则异面直线ac与ef所成的角为()a30 b45c60 d90解析：如图1，由于efab且bac45，所以异面直线ac与ef所成的角为45，故选b.答案：b图1图28如图2所示，正方体abcdabcd中，m是ab的中点，则sin，的值为()a. b.c. d.解析：以da，dc，dd所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系oxyz，设正方体棱长为1，则d(0,0,0)，b(1,1,1)，c(0,1,0)，m，则(1,1,1)，cos，则sin，.答案：b图39如图3，abacbd1，ab面m，ac面m，bdab，bd与面m成30角，则c、d间的距离为()a1 b2c. d.解析：|2|2|2|2|222211100211cos1202.|.答案：c10在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点o和不共线的三点a、b、c，若22，则p、a、b、c四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.a2 b3c4 d5解析：错，应为充分不必要条件错，应强调b0.错，2211.错，由数量积的运算性质判别答案：c11在三棱锥pabc中，abc为等边三角形，pa平面abc，且paab，则二面角apbc的平面角的正切值为()a. b.c. d.解析：设paab2，建立空间直角坐标系，平面pab的一个法向量是m(1,0,0)，平面pbc的一个法向量是n(，1,1)则cosm，n.正切值tanm，n.答案：a图412(2011辽宁高考)如图4，四棱锥sabcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是()aacsbbab平面scdcsa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角dab与sc所成的角等于dc与sa所成的角解析：四边形abcd是正方形，acbd.又sd底面abcd，sdac.其中sdbdd，ac面sdb，从而acsb.故a正确；易知b正确；设ac与db交于o点，连结so.则sa与平面sbd所成的角为aso，sc与平面sbd所成的角为cso，又oaoc，sasc，asocso.故c正确；由排除法可知选d.答案：d第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13已知直线l的方向向量为v(1，1，2)，平面的法向量u(2，1,1)，则l与的夹角为_解析：cosv，u，v，u60.l与的夹角为30.答案：3014如图5所示，在空间四边形abcd中，ac和bd为对角线，g为abc的重心，e是bd上一点，be3ed，以，为基底，则_.解析：()()，故.答案： 15如图6所示，在三棱锥pabc中，papbpcbc，且bac90，则pa与底面abc所成的角为_解析：由于papbpc，故p在底面abc上的射影为abc外心，由于abc为直角三角形，不妨设oboc，所以op面abc，pao为所求角，不妨设bc1，则oa，cospao，所以pao60.答案：6016(2011全国高考)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于_图7解析：延长fe、cb相交于点g，连结ag，设正方体的棱长为3，则gbbc3，作bhag于h，连结eh，则ehb为所求二面角的平面角bh，eb1，tanehb.答案：三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点a(3，1,4)，b(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线ab上，是否存在一点e，使得b？(o为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点e，使得b，此时e点坐标为e(，)图818(12分)如图8，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，点d是ab的中点求证：(1)acbc1；(2)ac1平面cdb1.图9证明：直三棱柱abca1b1c1底面三边长ac3，bc4，ab5，且c1c垂直底面ac、bc、c1c两两垂直如图9，以c为坐标原点，直线ca，cb，cc1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则c(0,0,0)，a(3,0,0)，c1(0,0,4)，b(0,4,0)，b1(0,4,4)，d(，2,0)(1)(3,0,0)，(0，4,4)，0，acbc1.(2)设cb1与c1b的交点为e，连接de，则e(0,2,2)，(，0,2)，(3,0,4)，.deac1.de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1.19(12分)已知m为长方体ac1的棱bc的中点，点p在长方体ac1的面cc1d1d内，且pmbb1d1d，试探讨点p的确切位置图10解：以da、dc、dd1为x、y、z轴，如图10建立空间直角坐标系，设daa，dcb，dd1c.根据题意可设a(a,0,0)，b(a，b,0)，d1(0,0，c)，p(0，y，z)，则m(a，b,0)又pmbb1d1d，根据空间向量基本定理，必存在实数对(m，n)，使得mn，即(a，by，z)(ma，mb，nc)，等价于则点p(0，nc)点p在面dcc1d1的dc的中垂线ef上20(12分)在正棱锥pabc中，三条侧棱两两互相垂直，g是pab的重心，e，f分别是bc，pb上的点，且beecpffb12.求证：(1)平面gef平面pbc；(2)egpg，egbc.图11证明：(1)以三棱锥的顶点p为原点，以pa、pb、pc所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系令papbpc3，则a(3,0,0)，b(0,3,0)，c(0,0,3)，e(0,2,1)，f(0,1,0)，g(1,1,0)，p(0,0,0)于是(3,0,0)，(1,0,0)故3.pafg.又pa平面pbc，fg平面pbc.又fg平面efg，平面efg平面pbc.(2)(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)110，330.egpg，egbc.图1221(12分)(2011天津高考)如图12，在三棱柱abca1b1c1中，h是正方形aa1bb1的中心，aa12，c1h平面aa1b1b，且c1h.(1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；(2)求二面角aa1c1b1的正弦值；(3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn平面a1b1c1，求线段bm的长图13解：如图13所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点依题意得a(2，0,0)，b(0,0,0)，c(，2，)，a1(2，2，0)，b1(0,2，0)，c1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)，于是cos，.所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，)设平面aa1c1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)，同样地，设平面a1b1c1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角aa1c1b1的正弦值为.(3)由n为棱b1c1的中点，得n(，)设m(a，b,0)，则(a，b，)由mn平面a1b1c1，得即解得故m(，0)因此(，0)，所以线段bm的长|.图1422(12分)如图14，在矩形abcd中，点e，f分别在线段ab，ad上，aeebaffd4.沿直线ef将aef翻折成aef，使平面aef平面bef.(1)求二面角afdc的余弦值；(2)点m，n分别在线段fd，bc上，若沿直线mn将四边形mncd向上翻折，使c与a重合，求线段fm的长解：法一：(1)取线段ef的中点h，连结ah.因为aeaf及h是ef的中点，所以ahef.又因为平面aef平面bef，及ah平面aef，所以ah平面bef.如图15建立空间直角坐标系axyz，图15则a(2,2,2)，c(10,8,0)，f(4,0,0)，d(10,0,0)，故(2,2,2)，(6,0,0)设n(x，y，z)为平面afd的一个法向量，所以取z，则n(0，2，)又平面bef的一个法向量m(0,0,1)故cosn，m.所以二面角的余弦值为.(2)设fmx，则m(4x,0,0)，因为翻折后，c与a重合，所以cmam，故(6x)28202(2x)222(2)2，得x，经检验，此时点n在线段bc上，所以fm.法二：(1)取线段ef的中点h，af的中点g，连结ag，ah，gh.图16因为aeaf及h是ef的中点，所以ahef，又因为平面aef平面bef，所以a