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线性代数复习课 一 内容提要 二 典型例题 一 内容提要 行列式的性质 性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 性质1行列式与它的转置行列式相等 性质4对换两行 行列式值反号 性质3若行列式某一行的元素都是两数之和 则该行拆开 原行列式可以表为相应的两个行列式之和 性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去 行列式的值不变 性质5若有两行元素对应成比例 则行列式值为零 设A B为n阶矩阵 则有 AB A B 一 内容提要 Laplace 按行列展开 定理 行列式等于某一行 列 的元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 设A aij 为n阶方阵 则有 一 内容提要 伴随阵 设A为n阶方阵 Aij为 i j 元的代数余子式 记 称A 为方阵A的 转置 伴随阵 伴随阵的性质 设A 为n阶方阵A的伴随阵 则有 如果 A 0 那么 称方阵A为非奇异矩阵 逆阵计算公式 非奇异矩阵A的逆阵为 逆矩阵 如果存在矩阵B 使AB BA E那么 称方阵A为可逆的 并称B为A的逆矩阵 定理设A B为n阶方阵 若AB E 则A B可逆 且有 一 内容提要 逆矩阵的性质 设A B为n阶可逆矩阵 则有 一 内容提要 分块对角阵的性质 3 A可逆的充分必要条件是Ai i 1 s 都可逆 且有 一 内容提要 设Ai i 1 s 都是方阵 设A B都是方阵 则有 矩阵A与B行等价的充要条件是 存在可逆矩阵P 使B PA 矩阵A与B列等价的充要条件是 存在可逆矩阵Q 使B AQ 具体地有 一 内容提要 等价矩阵 如果矩阵A经过有限次初等 行 列 变换 化为矩阵B 就称矩阵A与B 行 列 等价 记为A B 行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 一 内容提要 矩阵的秩 一 内容提要 如果矩阵A的等价标准形为 那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩 记为R A 性质1等价矩阵有相等的秩 性质2 性质4 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数 性质5 矩阵的秩 一 内容提要 如果矩阵A的等价标准形为 那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩 记为R A 性质7 性质8 性质9 性质6 逆矩阵的初等变换求法 矩阵初等变换的应用 线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形 写出同解方程组 解便一目了然 矩阵方程AX B XA B的初等变换解法 一 内容提要 1 当R A b R A 时 方程组无解 2 当R A b R A n时 方程组有唯一解 3 当R A b R A n时 方程组有无穷多解 设n元线性方程组Ax b n元方程组Ax 0有非零解的充要条件是R A n AX B有解的充要条件是R A R A B 线性方程组的可解性定理 当A为方阵时 Ax 0有非零解的充要条件是 A 0 一 内容提要 齐次通解结构定理 设n元齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系为x1 xn r 其中r R A 则Ax 0的通解为 k1 kn r为任意数 非齐次通解结构定理 k1 kn r为任意数 设x h 是n元非齐次线性方程组Ax b的一个解 称特解 x1 xn r是导出组Ax 0的一个基础解系 则Ax b的通解为 一 内容提要 一 内容提要 线性组合 如果存在一组数 使 称向量b可由向量组 并 线性表示 设矩阵 则线性方程组Ax b 有一组解 等价于 线性相关性 设有向量组 如果存在一组不全为0的数 使 那么 称线性相关 否则 称线性无关 基本性质 一 内容提要 1 若向量b可由向量组a1 am线性表示 则向量组b a1 am线性相关 2 若部分组线性相关 则整个向量组也线性相关 3 若向量组线性无关 则任一部分组也线性无关 定理 线性相关性 设有向量组 如果存在一组不全为0的数 使 那么 称线性相关 否则 称线性无关 一 内容提要 向量组线性无关的充分必要条件是 a1 am线性无关 也即向量方程 只有零解 向量组的秩 设A为一向量组 A中线性无关向量组所含向量个数的最大值r 称为向量组A的秩 记为R A 向量组的最大无关组 设向量组A的秩为r 如果a1 ar为A中一个线性无关向量组 那么称a1 ar为A的一个最大无关组 最大无关组的性质 设A为一向量组 则部分组a1 ar为A的一个最大无关组的充分必要条件是 2 A中任一向量可由a1 ar线性表示 1 a1 ar线性无关 一 内容提要 化矩阵A为行最简形A0 通过观察A0 便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组 以及A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示 一 内容提要 秩与最大无关组的一个算法 例设 的秩为3 一个最大无关组为 则 且有 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 向量组的线性表示 若向量组B中的任一向量都可由向量组A中的向量线性表示 就称向量组B可由向量组A线性表示 一 内容提要 向量组B可由向量组A线性表示的充要条件是 若向量组B可由向量组A线性表示 则R B R A 等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组 称等价向量组 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是 向量空间 设Rn的非空集V满足条件 那么 称V为一个向量空间 当非空集V满足条件 1 2 时 称V对线性运算封闭 1 若a V b V 则a b V 2 若a V k R 则ka V 齐次线性方程组Ax 0的解集S是一个向量空间 子空间 设有向量空间V1及V2 若V1 V2 就称V1是V2的子空间 当V1 V2时 称V1是V2的真子空间 一 内容提要 向量空间的基和维数 称向量空间V的秩为V的维数 记为dimV 称向量空间V的任一最大无关组为V的一个基 基的性质 设V为一个向量空间 则V中向量组a1 ar为V的一个基的充分必要条件是 2 V中任一向量可由a1 ar线性表示 1 a1 ar线性无关 n元齐次线性方程组Ax 0的基础解系为解空间S的一个基 dimS n R A 一 内容提要 生成空间 设有向量组A a1 am 记 称L A 为由向量组A生成的向量空间 简称生成空间 称a1 am为生成元 向量组线性表示的等价说法 设有向量组A a1 as B b1 bt 则有 1 L A 为L B 的子空间的充分必要条件是A组可由B组线性表示 2 L A L B 的充分必要条件是A组与B组等价 一 内容提要 向量在基下的坐标 设V为一个r维向量空间 则V中任意r个线性无关向量a1 ar为V的一个基 且有 V中任一向量a可唯一地表示为 称 k1 kr 为a在基a1 ar下的坐标 一 内容提要 过度矩阵 一 内容提要 设a1 ar及b1 br是向量空间V的两个基 称此关系式为基变换公式 称矩阵P为从基a1 ar到基b1 br的过渡矩阵 过渡矩阵是可逆矩阵 则 存在r阶矩阵P 使 向量的内积 一 内容提要 设有n维向量a a1 an b b1 bn 称 a b 为向量a与b的内积 记 向量的范数 若 a b 0 则称向量a与b正交 向量的夹角 非零向量a与b的夹角为 规范正交基 一 内容提要 r维向量空间V中 任一正交单位向量组e1 er 称为V的一个规范正交基 正交矩阵 如果PTP E P 1 PT 则称方阵P为正交矩阵 P为n阶正交阵的充分必要条件是P的列 行 向量组为Rn的一个规范正交基 正交变换 若P为正交阵 则称线性变换y Px为正交变换 正交变换保持向量的内积不变 方阵的特征值 一 内容提要 称n次多项式 lE A 为A的特征多项式 称n次方程 lE A 0的根为方阵A的特征值 设l1 ln为A的所有特征值 则有 特征值的性质 2 1 A的迹 记为tr A 设f是一个多项式 若l为方阵A的一个特征值 则f l 为f A 的一个特征值 方阵的特征向量 一 内容提要 设l为方阵A的特征值 称方程组 lE A x 0的任一非零解为方阵A对应于特征值l的特征向量 对应于n阶矩阵A的特征值l有n R lE A 个线性无关的特征向量 定理设l1 lm是方阵A的m个不相同的特征值 A1 Am分别为属于l1 lm的线性无关特征向量组 则由A1 Am的并集构成的向量组线性无关 称属于l的线性无关特征向量组 定理设l1 lm是方阵A的m个不相同的特征值 p1 pm为对应的特征向量 则p1 pm线性无关 相似矩阵 一 内容提要 设A B为n阶方阵 若存在可逆矩阵P 使 那么 称B是A的相似矩阵 称P为相似变换矩阵 矩阵的相似具有反身性 对称性和传递性 定理相似矩阵有相同的特征多项式 特征值 推论若对角阵L是A的相似矩阵 则L以A的特征值为对角元素 定理 一 内容提要 n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 定理 设l是n阶矩阵A的k重特征值 则 定理 方阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每一特征值的几何重数等于代数重数 称k为特征值l的代数重数 称n R lE A 为特征值l的几何重数 1 求出n阶方阵A的所有特征值li 一 内容提要 2 求 liE A x 0的一个基础解系 3 将求出的n个特征向量排成矩阵 则 可对角化矩阵的多项式计算 当P 1AP L diag l1 ln 时 方阵相似对角化的算法 二 典型例题 例1设a1 a2 a3 b均为3维列向量 矩阵A a1 a2 a3 解 B 3a1 2a2 b 且已知行列式detA 2 detB 6 计算det 3A B 和det 3A B 解 例2设 计算 知识点 例3计算矩阵A2n的行列式 其中 解 例4设 且A2 AB A E 求A9和B 解 证明 例5设A满足方程A2 2A E O 证明A与A 3E都可逆 并求它们的逆阵 由A2 2A E O 得 因此A可逆 且有 因此A 3E可逆 且有 解 例6 由AB B A 得 例7设 求An 解 则有 令 知识点 问a取什么值时 1 b可由a1 a2 a3线性表示 且表示式唯一 2 b可由a1 a2 a3线性表示 但表示式不唯一 3 b不可由a1 a2 a3线性表示 解对 A b a1 a2 a3 b 施行初等行变换 1 当a 2时 R A b R A 3 b可由a1 a2 a3线性表示 且表示式唯一 因a1 a2 a3线性无关 2 当a 2时 R A b R A 2 b可由a1 a2 a3线性表示 但表示式不唯一 因a1 a2 a3线性相关 3 当a 2时 R A b R A b不可由a1 a2 a3线性表示 例8设 例9设矩阵A a1 a2 a3 a4 其中a3 a4线性无关 a3 2a1 a2 a4 3a1 2a2 向量b a1 a2 a3 a4 求方程组Ax b的通解 解 知识点 由a3 2a1 a2 a4 3a1 2a2知x1 2 1 1 0 T x2 3 2 0 1 T 为方程组Ax 0的两个解 又因a3 a4线性无关 所以a3 a4为a1 a2 a3 a4的一个最大无关组 秩R A 2 易知R x1 x2 2 4 R A 因此x1 x2为方程组 Ax 0的一个基础解系 由b a1 a2 a3 a4知h 1 1 1 1 T为方程组Ax b的一个特解 因此 方程组Ax b的通解为 且有 解 且有 例10设 1 求A的列向量组a1 a2 a3 a4的秩和一个最大无关组 并把其余向量用此最大无关组线性表示 2 求Ax 0的通解 1 化A为行最简形 a1 a2 a3 a4的秩为2 一个最大无关组为a1 a2 知识点 2 Ax 0的同解方程组为 其中k1 k2为任意数 令自由未知元x3 k1 x4 k2 得Ax 0的通解为 证1 因Axi 0 i 1 n r 上式两边左乘A得 设存在一组数x x1 xn r 使 即 1 而x1 xn r线性无关 因Ah 0 所以 代入 1 得 所以 所以h h x1 h xn r线性无关 2 由 2 得x 0 例11设x1 xn r是Ax 0的一个基础解系 而h不 是Ax 0的解 证明h h x1 h xn r线性无关 知识点 而x1 xn r线性无关 所以h h x1 h xn r线性无关 因x1 xn r的线性组合也是Ax 0的解 h不可由x1 xn r线性表示 证2 由定理知 h x1 xn r线性无关 从而 易知h h x1 h xn r 与h x1 xn r等价 因此 所以 例11设x1 xn r是Ax 0的一个基础解系 而h不 是Ax 0的解 证明h h x1 h xn r线性无关 知识点 证1 例12设m n矩阵A的秩R A n 证明 于是存在m阶可逆矩阵P 使A PF 因此 因R A n 可知A的等价标准形为 也是行最简形 知识点 证2 若x满足Bx 0 则有A Bx 0 即 AB x 0 若x满足 AB x 0 则有A Bx 0 因为R A n 综上可知 AB x 0与Bx 0同解 所以Bx 0 设解空间为S 则有 n元方程组Ax 0有非零解的充要条件是R A n n元齐次线性方程组Ax 0的基础解系为解空间S的一个基 dimS n R A 例12设m n矩阵A的秩R A n 证明 解 例13设 1 求 2 说明a1 a2和a3 a4为V的两个基 并求从基a1 a2到基a3 a4的过渡矩阵 易知 故a1 a2和a3 a4都是V的基 从基a1 a2到基a3 a4的过渡矩阵为 知识点 证明 例14设a b为n维 列 向量 证明 并说明其几何意义 以 b代换b 得 因此 其几何意义是 平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和 解 方阵A的特征多项式为 例15求方阵 的特征值和特征向量 方阵A的特征值为 解 例15求方阵 的特征值和特征向量 当l1 3时 解方程组 由 得基础解系 方阵A对应于l1 3的全部特征向量为 解 例15求方阵 的特征值和特征向量 当l2 l3 l4 1时 解方程组 由 得基础解系 方阵A对应于l2 l3 l4 1的全部特征向量为 k2 k3 k4不同时为零 解 例16设矩阵A与B相似 其中 1 因A与对角阵B相似 知A的特征值为2 2 b 由特征值的性质得 求得 知识点 1 求常数a b 2 求可逆矩阵P 使P 1AP B 3 求An 解 例16设矩阵A与B相似 其中 1 求常数a b 2 求可逆矩阵P 使P 1AP B 3 求An 2 当l 2时 解方程组 2E A x 0 得基础解系 当l 6时 解方程组 6E A x 0 得基础解系 取可逆矩阵 则有P 1AP B