向量复习讲义.doc

龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校向量一、 平面向量加、减、实数与向量积（一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4、向量形式的三角形不等式：-+(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（+）=+5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数与向量的积是一个向量，记，它的长度与方向规定如下：(1)=;(2)当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当=0时，=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若，则存在唯一实数对使得=xy-xy=0(其中=（x，y），=（x，y）)（二）典型例题例1、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心分析：是在BAC的平分线上，选B例2、对于任意非零向量与，求证：-+证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且-+(3)两个非零向量与共线时，与同向，则+的方向与、相同且+=.与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设|，则|+|=|-|.同理可证另一种情况也成立。（三）巩固练习1、已知A、B、C是不共线的三点，O是ABC内的一点，若+=，则O是ABC的（ ）（A）重心 （B）垂心（C）内心（D）外心2、下列5个命题中正确的是 对于实数p,q和向量,若p=q则p=q对于向量与，若|=|则=对于两个单位向量与，若|+|=2则=对于两个单位向量与，若k=，则=在ABC中，若点P满足；=则直线AP必经过ABC的内心3、已知与方向相同，且|=3，|=7，则|2|= 4、设非零向量与满足|=|=|+|，则与+的夹角是 5、求函数f(x)=的最大值答案：（1）A（2）（3）1（4） （5）二、 向量的坐标运算及应用（一）基本知识回顾1、向量的坐标概念和坐标表示法2、向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）3、线段的定比分点概念及定比分点坐标公式4、图形的平移概念及平移变换公式例3 已知点A(x,5)，B(-2,y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC|=2|BC|, 求向量按向量=(1,1)平移的向量坐标.解法1：（坐标运算法）|AC|=2|BC|，且A、B、C共线，=2，(1,1)(X,5)=2(1,1)(-2,y), x=7, y=-1; x=-5,y=3;解法2：用线段的定比分点公式法，=2点C分所成的比为2；=2点C分所成的比为2；再用定比分点坐标公式可求出点A、点B的坐标。平移后向量的坐标为(-9,-6) , (3,-2)例4 已知O为ABC内部一点，AOB=150，BOC=90，设=，=，=，且|=2，|=1，| |=3，用与表示 解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150-90),y=-2sin(150-90)，即A（1，-），也就是= , =， =-3所以-3=3+|即=33巩固练习1、 已知函数f(x)的图象沿直线y=-x向下平移2个单位得到函数y=lgx的图象，则f(x)= 2、(10)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且则点C的轨迹方程为（ D ）（A）（B）（C）（D）3、已知=（6，2）与=（-4，），直线l过点A(3,-1)且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是 4、已知=(5,4)与=(3,2)，则与23平行的单位向量为 5、已知=(-5,3)与=(-1,2)，且+与2+互相垂直，则实数的值等于 答案：1、f (x)=lg(x+2)+2; 2, D 3, 2x-3y-9=0 4, (, ) 5, 例5、（03年全国高考18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G(I)求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）(II)求点到平面AED的距离（）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（）解：巩固练习1、=（1，1，0）与=（1，1，1），若= +且，求，；2、（新课程01年高考20）以正棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-，其中OXBC，OYAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为，高为（1）求；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角的平面角，求BED的值。（理改为“求BED的值。”）3、如图：已知正三棱柱ABCABC中，AB=4，BB=3，D为AB的中点，F为AC的中点，E在BB上，且BE=BB （1）求DF与CF所成角的大小；（2）若在BB上取一点P，问直线CP与平面ABC所成角为多少时，CPDF答案：1、 =（1，1，0），=（0，0，1）2、结果 ：（1）求=；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角的平面角，求BED的值为。（理改为“求BED的值。”）3、 arccos , arctan例6、（03年新课程高考21（本小题满分14分）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.21本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得：（i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.巩固练习1、椭圆的焦点为F，F，点P为其上的动点，当FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是 2、已知抛物线，上有两点A、B，且OAOB，OMAB，求M点的轨迹方程。3、（02年新课程高考（21）（12分）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使，,成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（），记为与的夹角，求；4、已知OFQ的面积为S，且=1 若S，求与的夹角的取值范围；设|=c，S=c ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程。答案：1、（，），2、(xp) +y=p (x0), 3、点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆tan=|y| 4; 5; 三、平面向量的数量积及其应用1、数量积（点乘或内积）的概念，=|cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”2、数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；例7、下面5个命题：|=|()=()，则= =0，则|+|=|=0，则=或=，其中真命题是（ ）A B C D巩固练习1、下面5个命题中正确的有（ ）=（+）=+（）=（）A B C D 2、下列命题中，正确命题的个数为（ ）若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；若为单位向量，且则=| =| 若与共线，与共线，则与共线；若平面内四点A、B、C、D，必有+=+A 1 B 2 C 3 D 4 答案：1、D 2、A 例8、设=（1+cos, sin）,=(1-cos, sin),=(1,0)，(0, ), (,2),与的夹角为 ， 与的夹角为，且+ =，求sin的值。解：Cos=(0, ),= , + = , , sin=sin(巩固练习：1、已知=（cos,sin）与=(cos, sin) ，且x0,，求与|+|，f(x)= 4|+|的最小值答案：cosx; 2cos当且仅当cosx=1；即x=0时，f(x)取最小值为7如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）证明：BD； （II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分 12分。 （I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结。 四边形ABCD是菱形， ACBD，BC=CD。又 ， ， ， DO=OB， BD， 3分但 ACBD，AC=O， BD平面。又 平面， BD。 6分（II）当时，能使平面。证明一： ， BC=CD=，又 ，由此可推得BD=。 三棱锥C- 是正三棱锥。 9分设与相交于G。 AC，且OC=21， GO=21。又 是正三角形的BD边上的高和中线， 点G是正三角形的中心， CG平面。即 平面。 12分证明二：由（I）知，BD平面， 平面， BD。