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英译汉论文翻译 专业班级：机制0804 姓名：孟祥宇 学号：03 指导老师：郭宝良粘滑振动的振动模式Jaeyoung Kang, Charles M.Krousgrill, FarshidSadeghiA：美国普渡大学西拉法叶校区，机械工程学院，普渡大学585购物中心，编号47907 2088B：机械和汽车工程,大学工程,国立公州大学,Cheonan-Si 韩国文章信息历史条:2008年8月10收到文件。2009年5月1日收到修订后的形式。2009年5月14日文件被公认。关键词:粘滑摩擦耦合量子谐振子耦合模式振荡模式文摘本文通过摩擦的非线性的平滑的曲线研究了粘滑振荡离散系统的能量来源。通过数值的时间，整合和分析的方法研究了粘滑的一个单自由度的模型的极限环振荡。相同的方法也可应用到模型的摩擦振荡器耦合中。特别是,我们不难发现的稳态响应的耦合。根据两种模式的频率间隔，振荡器可分为两种不同形式的(合并振荡模式和分离振荡模式)振荡。稳态响应的振荡模式取决于系统参数，如谐因素，能源的速度，正常的接触载荷。1、 介绍摩擦产生的振动将对各种应用系统产生严重的问题,如从事摩擦的刹车、离合器、机床等。由于摩擦而经常进行自我维持的不稳定的振动。这样的自激振荡在文献1中进行了广泛的研究 ,在那里的研究中使用了摩擦所致的振动的离散模型。一个弹簧-块单自由度模型解释了粘滑振荡2-5的行为。在该模型中,不稳定摩擦振动导致了极限环的形成。2采用了指数和多项式函数，并使用摩擦速度曲线研究了导致极限环振荡的条件。类似的，粘滑振荡所提供的不连续摩擦模型控制方程，在设定静态和动态两个不同的摩擦机理3、4中，使用了不同的摩擦模型如平滑和交换的方法。平稳的摩擦曲线平滑方法取代连续系统，并允许一个解决一个单一的光滑微分方程。相比之下,交换方法评估了不同组方程的防滑和过渡模式。考虑到定性方式, Denny 5,使用了一个光滑摩擦曲线的平滑法很好地使系统行为从不连续阶段过渡到连续的滑动阶段。然而,单自由度只有在摩擦所致的适当振荡中不与其耦合。为了更好地描述摩擦耦合振荡的两种方式(或两个块),我们对这两个自由度的弹簧-块作了介绍。例如,可能有两个块在一维空间移动,这被称为火车模型6、7。这种模式一直被视为自我持续的混乱振动。另外一个模型可能会有一个块在两维空间8,9中振荡。该模型在两种摩擦耦合模式之间产生,这导致了不稳定模式的耦合8 - 10条,第13条。模型中有一个无限的自由度的颤动系统可以使用Galerkin研究的近似原方程的方法来研究。这种连续系统可以进一步简化为降阶模型使系统响应由颤动的模式为主。例如, Kang 等，通过9,10采用模态扩展了一对盘式制动器的余弦和正弦模式。他们的分析表明:两个自由度模型可以采用正交使弹簧和移动表面等效为线性降阶盘式制动器。此外,耦合模式的作用通过非线性的圆盘模式显示，以确定波型(一个漫游或者驻波)在圆盘表面的平面振动11。然而,相应的频率模式尚未解决。在本文中我们关注的焦点是在动态模式中某些弹簧-块的稳态振动,采用平滑方法描述粘滞滑动的行为。图1 弹簧块模型的描述：（a）单一程度的自由模式及（b）耦合振荡器9。通过分歧定理12和数值积分法分析了极限环的周期性振荡。此分析方法不包含在其中的平均法,因为它在6、8中。特别是振荡模式中表明耦合量子的谐振子的合并模式和分离模式(跳动现象)的极限环振荡。本文分析研究了极限环的一个单一的粘滑振荡器的自由度(图1 a) 与通过摩擦定律的负斜率的能量来源的交互 (图2)。随后,调查侧重于动态不稳定和粘滑机制正交约束的耦合量子振荡器(图。1 b)。值得注意的是,耦合振动受到摩擦耦合的影响和负面耦合摩擦13的影响。2、粘滑振荡的一个自由度模型在考虑弹簧质量和弹簧系数按一个正常的负荷,在一个固定的表面移动的时候的速度V(0)(图1)。则运动方程表示为：， （1）利用无量纲时间、和坐标变换,则无量纲的运动方程为 ， （2）在点的地方对分化,然后有 ， （3）sgn：无量纲的摩擦力。 （4） ， （5） ， （6） ， （7）这里s和k是与控制参数相关的静摩擦系数和动能。h和d确定负斜率滑动的状态和无限接近正斜率的附近的相对速度。要注意从光滑的摩擦曲线14质量假定进行负摩擦力斜率的初始状态。后来的数值计算使用下列值的参数:。(2)式在空间状态中被改写为 （8） （9）平衡点来源于,这就是所谓的稳定滑动平衡。附近的稳定滑动平衡,可以确定雅可比矩阵 A , 使得 （10）其中h.o.t。表示高阶项, （11）如果稳定滑动的平衡将不会稳定。同时,围绕平衡状态的轨迹向量是跟踪发散的: （12）极限环的分歧数量存在的必要条件12,必须有符号的变化。因此，摩擦的稳定性至关重要的是曲线的斜率和形成稳定的滑动平衡的极限环。极限环振荡数值的估计如图3a。由于滑动速度接近零，摩擦力符号从负斜率转换成正斜率并限制循环形成(图。3 b)。同时， 正斜率的在微量附近保持平衡，这里形成一个近似粘滞的阶段(图3 c)。它应该注意的是运动的形成取决于极限环在控制参数曲线5和 Denny的摩擦式(6)，相图的粘滑振荡由不同的控制参数的摩擦曲线证明。振荡期间和收敛区间用数值模拟的方法计算了周期。图4表明该粘滞相位测量时间的连续摩擦的历史阶段。图5显示周期振荡和坚持的时间间隔在一段时期内成正比的正常负荷，但是它们的速度V会在移动表面降低或增加。 图3 粘滑振荡时， =1，= 2：（a）极限环的时间轨迹，（b）摩擦力斜率的改变标志， （c）解释粘滞相位变化相相位平面。图4 粘滞和滑动的相位超过摩擦力历史的周期间隔。3、耦合振子机制双自由度模式(图 1 b)将在本节用来研究说明耦合摩擦机制的振荡器。考虑一个质量为m的两个正交系弹簧和两个正交接触的弹簧,当这些弹簧受到正常负荷为的力拉(或压缩)时产生一个常数行驶速度V的表面不存在。这个耦合谐振子的摩擦运动方程(图。1 b)为 （13） （14）通过让和则相应的无量纲运动方程的形式为 (15) (16)无量纲的时间 就是分化点的地方,在这里有 (17) (18)图5。粘滑振荡：（a）振荡周期和参数的影响（b）一段时期内的粘滞相位; 失谐因素， （19） ：在x方向的无量纲摩擦力 （20） ：在y方向的无量纲摩擦力 （21） （22） （23） (24) (25) (26)这里通过()的转变 ,是为了使稳定滑动平衡的起点为零。从上面的,他是假定两个最初接触的质量进行负摩擦力斜率稳定滑动的状态。公式(15)和(16)可以用来描述两种不同的源动力失稳的自激振荡。耦合摩擦和负斜率的影响。首先,简述稳定耦合量子谐振子的泰勒展开式,研究了线性摩擦法。公式(22)和(23)。接着,对非线性远离平衡状态的振动进行了研究。3.1 线性稳定性 方程在解决稳定的稳定滑动的线性摩擦曲线上，这样的运动在平衡状态（15）和（16）下可以通过泰勒展开研究 （27） （28） 图6 特征值与F *轨迹：和因为图7 耦合振子稳态响应时，：（a）合并模式下的振荡周期有= 0.2（二）分离模式下的振荡周期有= 0.8。因此，平衡附近的线性方程组有 （29）其中是摩擦曲线的斜率的振幅其定义为 （30） （31） ， （32）对称的负阻尼矩阵C由负摩擦曲线的斜率组成。非对称刚度矩阵B因为系统在非对角线位置的不稳定的摩擦耦合所以具有在非保守工作的性质。通过 x =将相应的特征运动方程线性化则(29)变成 ， （33）对于封闭形式的特征解，假设这两个模态的负斜率大致相近，像这样 ， （34）在这里有 ， （35） ， （36） （37）之后,阻尼模态下的数值进行分开计算研究。以上的根系特征方程可以写成 ， （38）图8 粘滞滑动在限制周期为的合并模式振荡下，的相平面和摩擦曲线图：（a）在X轴，（b）在y轴及（c）模态摩擦和正常负荷的历史。如果系统阻尼系数远小于线性系统频率(例如,尖叫噪声问题),也就是说, ,特征值近似为 （39）或等价为 （40）和 ， （41）其中是一个无阻尼振荡的特征值当（D = 0时）定义 ， （42）在这里,分裂成正和负的两个分支机构(图。6 b)两个分支在合并(图 6 a)。由于合并的保障模式正的存在,与U相关的不稳定性就是所谓的耦合模式的不稳定8 - 10条,第13条。耦合模式不稳定的主要影响因素摩擦耦合项的方程为（42）。对于的正数非零（本文研究受颤振失稳所限制）或，在临界值无阻尼的情况下变成。应当指出，摩擦的临界值是在合并模式的定义域内。(38)中的另一个不稳定的因素是负值D这是由于摩擦力的斜率为负。负值D的不稳定系统是通过简单地增加公式(39)中的。公式(39)中的两个负摩擦力的斜率和耦合模式效果会促进不稳定同时加强系统失稳。因为负斜率是成反比的移动，其表面速度V,如图2所示,整体轨迹沿着实际的基点正方向移动,减少了速度v,值得一提的是,基点和的两种模式存在进一步的分离图6。这种分离效果在13中描述。现在的重点是转移到稳态响应的振动格局上。无阻尼耦合模式由于振荡器，预计将有相同的两种模式的频率，因为最初的平衡状态合并为两个模态的响应频率的时间是不断变化的。在这里，可能会出现问题：如果平衡状态摩擦的频率振荡是分开的，他们是仍然分离在极限环上（如果可能）？还是平衡展出在分开的两种模式稳态响应的合并行为？答案需要从时间域非线性方程（15）和（16）从时间方面整合解决。解决方案，图 7表明，有两种稳定的滑动振荡模式：合并模式和分隔模式的振荡。它意味着模式合并后的振动的过渡取决的两种振动模式，可能会出现系统参数。在图7A显示常数振幅和两种模式的阶段，图 7B显示分隔模式振动经历的变化幅度和时间。在下一节中，极限环振动的耦合模式提供分歧的分析方法。3.2、耦合模式极限振动的周期分析耦合式振荡器公式（15）和（16），不是一个单自由度振荡，可能会失去与振荡的联系。如果接触表面上的正常负荷变为零，块会失去它的任何接触力。这不是当前论文讨论的范围。相反，非零接触条件的耦合振荡器在接触载荷为的简单形式为被执行为： ， （43） ， （44）在非零的接触条件下,必要的条件存在可以得到了耦合量子谐振子的极限环。公式(15)和(16)在状态空间重写成这样的形式 ， （45）这里有 ， （46） ， （47） （48） ， （49） (50)在这里状态向量U，W，V，Z在原点有一个独立的抗滑稳定的平衡。这里发散的状态向量以以下简单的形式写出 （51）由于初始条件摩擦斜率为负摩擦曲线方程（22）（23），可以定义为 这里 （52） 这里 （53）在非零接触公式（43）和（44）所述条件下，只有当（51）式中的分歧变化极限周期才可能存在。也就是，和（或）有变化迹象。为了明确形成极限环振荡两个自由度的耦合振子，与摩擦经过对应的模态相图由合并模式（= 0.2）所示。它表明，摩擦力斜率的变化标志着存在极限环振荡。图 8a和b。此外，图 8C说明在两个模态之间的相位差的接触力是不变的。这是合并模式后的极限环的特点。正如在第3.1节和图7所提到的，线性和非线性的合并模式的振荡可能是无效的，如果模态分离强制受到了一定的系统参数的变化。 图9 粘滞滑动在：，的模式振荡响应：（一）在u模式下的相平面及（b）模态摩擦和正常负载轨迹。图9描绘的是模式合并后的极限环振荡，图8当失谐因素由0.2增加至0.8时转换成非周期的分隔模式振动的响应。在分离模式振动下，正常接触的负载进行幅度和相位的变化。同时，摩擦力在粘滞阶段上出现一个周期时时间历史会有剧变，但是剧变在其他周期消失。在这里，应该有临界值以确定控制参数的非线形的振荡模式（合并模式的极限环和分离模式振动）。参数的边界值在非线性制度下不一定对应于那些抗滑稳定的平衡状态。集成的解决方案需要确定两个非线性振荡模式的分歧与控制参数的数值。图10。合并模式极限周期和分离模式振动稳态响应之间的分歧：（a）时间演变期间的及（b）两种振动模式与系统参数的边界， ，一个无阻尼运动振荡器的线性即将移动（）。3.3 、合并模式极限周期和分离模式振荡的分歧对于无阻尼非线性（= 0）即将发生的稳定滑动的平衡状态，耦合振动的方程（15）和（16）可分为两种制度，如合并模式和分离模式制度方面的参数控制。例如，合并模式图 6A中的点（）是两种制度之间的分歧。随着时间演变之后的线性即将移动，然而，频率分离模式的非线性耦合振荡可能会改变。为了确定合并模式极限环的周期和分离模式振动之间的分歧，在这期间分开两种模式对其稳态振动进行跟踪。由于模态的周期可能是时间变化的，它们在时间方面是数值计算的，是通过测量一个高峰和相邻时间间隔之间的稳态模态响应峰值。图10 a说明稳态模式振荡期间分离的模式被分为合并模式和分离模式（部分分离或完全分离）。合并模式的极限环和分开模式振动之间的分岔点取决于表面的移动速度V，失谐因素，和长期的正常负荷如图 10b。通过数值试验得出以下结论。合并模式的极限环的状态可以通过减少和V，和通过增加进行保持。它强调线性即将发生运动的频率模式是不相同的稳态振荡如图10b所示。图11 为单自由度自由振荡器的功率谱分析：（一）（ - - ）：FFT随着时间的推移0,100，（ - ）：超过图的极限环振荡的FFT在图 3a和（二）光谱图上的极限环振荡。4 、功率谱分析在本节中，进行频谱分析研究正常负载在接触面上的移动产生的效果所形成合并模式的极限环。对于从事摩擦的非线性系统，通过对时域信号的FFT（快速傅立叶变换）得到系统的稳态的响应频率。图11A说明在瞬态和稳态的单自由度振荡器下的振荡光谱制度。谐波振荡瞬时转移到周期性粘滞滑动振荡的制度。据观察，基本上的周期振荡的极限环的频率从谐波固有频率瞬态制度下下降。这由于极限环振荡的停滞阶段的时间如图 4。时间松弛的程度依赖于正常负荷，可以用光谱图在方面15（图11b）清楚的说明。在单自由振荡器中每一个谐波频谱周期振荡随而增加。用类似的方式，进行稳态耦合振荡的频谱分析。合并模式振荡在两个周期之间的相同的谐波的模态响应在图 12a中可以看出。然而，由于失谐因素增加，在稳态振荡的两种模式之间的频率可以分开。两种模式的基本频率的分离产生时间变化与振幅周期性的缓慢的变化，这是稳态随时间变化而跳动的现象（图12b）。峰值幅度通过跳动频率而重复，其中。因此，由于基本频率的分离渐近变为零，则跳动期最终趋于无穷并且稳态振荡变成周期性的。图13a表明缓和时间内的粘滞滑动的极限环振荡的耦合振子的正常负荷。通过降低合并模式的趋势，极限环振荡可能会被转换成分隔模式振荡的。图 13 b和图14展示，两者之间的分歧振荡模式存在控制参数（和）的变化。 图12。耦合振荡器的功率谱分析，-模式（-），V-模式（-）：V =1，= 3，= 0.5：（a）合并的模式粘滞滑动极限环振荡，= 0.2（b）分隔模式稳态振荡，= 0.8。图13。正常负荷的稳态振荡拼谱图，= 1的，= 0.5：（a）合并模式粘滞滑动极限环的耦合振荡器（-模式），= 0.2，（b）耦合振子的分歧光谱（-模式），=0.6。图14。关于分歧光谱耦合振荡器（U-模式）移动表面的速度，= 0.6， =6，= 0.5。5 、结论与讨论单自由度振荡器是用于提供粘滞滑动的分析观点。平滑曲线法适用于极限环振荡的粘滞阶段。分歧和数值方法验证了光滑摩擦曲线产生粘滞滑动的振荡。这个可以进一步研究耦合振荡器的摩擦曲线。由于这两种模式，使其下的动态耦合关系振荡模式变得更为复杂了:两个模态的周期震荡可能是完全相同的或是不同的,这取决于系统参数。从数值模拟和分析调查粘滞滑动振荡器的特性已得到解决。首先,常规振动型态,有两种相同周期的粘滞滑动的极限环模式,这被称为合并模式振荡。这种趋势增加了两个频率相近的耦合模式。此外,正常负荷的增加和在表面上移动速度的减少增强了两种模式合并后的极限环。另一方面,有另一个两种模式不合并的振荡模式的稳态响应。周期随时间变化产生相对不规则的模式振动，这两个模态振动的基本频率是分开的。此称为分离模式节拍振动现象。功率谱分析动用了研究粘滞滑动振荡的频域的特点。两种模式在合并模式振荡下，共享相同的谐波，相反，分隔模式振荡下的两种模式的基本频率是分离的。时间联系和两个稳态振荡模式的分歧显示在频谱图中。参考文献1 R.A. 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