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第二部分题型研究 题型二二次函数性质综合题 类型二二次项系数不确定型 考向1开口方向不确定型 杭州 2016 22 2013 20 2012 22 例2 2017杭州模拟 设抛物线y mx2 2mx 3 m 0 与x轴交于点a a 0 和b b 0 1 若a 1 求m b的值 思维教练 a确定 则点a坐标确定 将点a 1 0 代入抛物线表达式即可求得m b的值 1 解 当a 1时 把 1 0 代入y mx2 2mx 3 解得m 1 抛物线的解析式为y x2 2x 3 将y 0代入y x2 2x 3得 x 1或x 3 b 3 2 若2m n 3 求证 抛物线的顶点在直线y mx n上 思维教练 要证明抛物线的顶点在直线y mx n上 可先根据抛物线的顶点坐标公式求得其顶点坐标 再结合已知条件2m n 3进行验证 证明 抛物线的对称轴为x 1 把x 1代入y mx2 2mx 3 y 3 m 抛物线的顶点坐标为 1 3 m 把x 1代入y mx n 2m n 3 n 3 2m y m n m 3 2m 3 m 顶点在直线y mx n上 3 抛物线上有两点p x1 p 和q x2 q 若x1 1 x2 且x1 x2 2 试比较p与q的大小 思维教练 要比较p q的大小 需判断x1 x2距离对称轴的远近及抛物线的开口方向 由 2 可知抛物线的对称轴为x 1 问题转化为判断 x1 1 与 x2 1 的大小 利用已知条件x1 1 x2 x1 x2 2 进行相关计算即可 x1 x2 2 x2 1 1 x1 x1 1 x2 x2 1 x1 1 p离对称轴较近 当m 0时 p q 当m 0时 p q 考向2函数类型不确定型 杭州 2015 20 2014 23 2012 18 例3已知函数y k 1 x2 2x 1 k k为实数 1 该函数图象一定与x轴有交点吗 请判断并说明理由 思维教练 要判断此函数的类型 需要对k进行分析 当此函数是二次函数时 k 1 0 当此函数是一次函数时 k 1 0 分别在每种情况下判断对应函数的函数值能否为0即可 例3解 1 当k 1时 y 2x 2为一次函数 此时函数交x轴于点 1 0 当k 1时 y k 1 x2 2x 1 k为二次函数 4 4 k 1 1 k 4 4 k2 1 4k2 0 该函数图象一定与x轴有交点 2 若k 1 那么 当x 0时 y随x的增大而减小 请判断这个命题的真假并说明理由 思维教练 可根据二次项系数的正负及对称轴判定其增减性 它一定经过哪个点 请说明理由 思维教练 取特殊值 如x 1或x 1 然后代入表达式中求出y值 即可确定函数经过的定点 2 假命题 k 1 k 1 0 抛物线开口向上 对称轴 对称轴在y轴左侧 当x 0时 y有可能随x的增大而增大 也可能随x的
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