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云南省陇川县高一数学1.3.2球的体积和表面积教案 新人教版必修2这节内容主要讲叙的是球的体积与表面积公式,课本中没有给予证明。教学中可以采用教科书的方法直接给出公式也可以采用课本第30页探究与发现的中介绍的原理推导出公式二、教学目的通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割求和化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。三、教学重点、难点重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。四、 教学过程1、 创设情景,引入新课:提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。设疑引课:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。二、探究新知:1探究球的体积公式回顾祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见p32页)球的体积公式: 2. 探究球的表面积公式:设球的半径为,我们把球面任意分割为一些“小球面片”,它们的面积分别用表示,则球的表面积:以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积,这些“小锥体”可近似地看成棱锥,“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积,球的半径近似地等于小棱锥的高,因此,第个小棱锥的体积,当“小锥体”的底面非常小时,“小锥体”的底面几乎是“平的”,于是球的体积:,又,且可得,又,即为球的表面积公式三、例题示范,巩固新知:例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且,求球的表面积解:设截面圆心为,连结,设球半径为,则,在中,例2半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为,求球的表面积和体积解:作轴截面如图所示,设球半径为,则 ,例3表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积解:设球半径为,正四棱柱底面边长为,则作轴截面如图,又,例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1) 球的体积等于圆柱体积的;(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。证明:(1) 设球的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.因为 所以,(2) 因为 ,所以,. 四 小结归纳 :球的表面积公式的推导及应用;球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法,是一种重要的数学思想方法极限思想,它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用;球的体积公式和表面积公式要熟练掌握五、目标检测1三个球的半径之比为,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍; 2.若球的大圆面积扩大为原来的倍,则球的体积比原来增加 倍;3.把半径分别为3,4,5的三个铁
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