高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 曲线与方程课件 理.ppt

9 7曲线与方程 高考理数 考点曲线与方程1 曲线的方程 与 方程的曲线 在直角坐标系中 如果某曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做 曲线的方程 这条曲线叫做 方程的曲线 事实上 曲线可以看作一个点集c 以二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集f 上述定义中 c f 知识清单 2 求动点的轨迹方程的步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点p x y 3 列式 列出动点p的坐标所满足的关系式 4 代换 依条件的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于x y的方程式 并化简 5 证明 证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程 知识拓展 1 求轨迹方程时 要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的关系 若不是 则应对方程加上一定的限制条件 检验可以从以下两个方面进行 一是方程的化简是否为同解变形 二是是否符合题目的实际意 义 2 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求 求轨迹时 应先求轨迹方程 然后根据方程说明轨迹的形状 位置 大小等 3 在求轨迹问题时常用的数学思想 1 函数与方程的思想 求平面曲线的轨迹方程是将几何条件 性质 表示为动点坐标x y的方程及函数关系 2 数形结合的思想 由曲线的几何性质求曲线方程是 数 与 形 的有机结合 3 等价转化的思想 通过坐标系使 数 与 形 相互结合 在解决问题时又需要相互转化 1 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 我们只需把这种关系 翻译 成含x y的等式 就得到轨迹方程 由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤 也不需要特殊的技巧 所以称之为直接法 2 待定系数法 若曲线的形状和方程的形式确定 则只需解方程 组 即可 称之为待定系数法 3 定义法 根据解析几何中一些常用定义 例如 圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 从定义出发直接写出轨迹方程 或从定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 求轨迹方程的方法 方法技巧 定义法求轨迹方程的一般步骤 1 判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义 2 设标准方程 求方程中的基本量 3 求轨迹方程 4 代入法 相关点法 有些问题中 动点满足的条件不便用等式列出 但动点是随着另一动点 称之为相关点 的运动而运动的 如果相关点的坐标所满足的条件是明显的 或是可分析的 那么我们可以用动点坐标表示相关点坐标 根据相关点的坐标所满足的方程即可求得动点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做代入法 又叫相关点法或坐标代换法 相关点法求轨迹方程的一般步骤 1 分析题目 与动点m x y 相关的点p x0 y0 在已知曲线上运动 2 寻求关系式x0 f x y y0 g x y 3 将x0 y0代入已知曲线方程 4 整理关于x y的关系式得m的轨迹方程 5 参数法 有时动点应满足的几何条件不易得出 也无明显的相关点 但却较易发现 或经分析可发现 这个动点的运动常常受到另一个变量 角度 斜率 比值 截距或时间等 的制约 即动点坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可称这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 这种方法叫参数法 如果需要得到轨迹的普通方程 只要消去参数即可 在选择参数时 选用的参变量可以具有某种物理或几何性质 如时间 速度 距离 角度 有向线段的数量 直线的斜率 点的横 纵坐标等 也可以没有具体的意义 选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 6 交轨法 求两条动曲线 含直线 的交点的轨迹方程时 可引入参数t 用t分别表示两条动曲线的方程 联立它们消去t便得交点的轨迹方程 此方法称为交轨法 例1 2017广东七校联考 10 已知圆的方程为x2 y2 4 若抛物线过定点a 0 1 b 0 1 且以该圆的切线为准线 则抛物线焦点的轨迹方程是 c a 1 y 0 b 1 y 0 c 1 x 0 d 1 x 0 解析过点a b o o为坐标原点 分别向抛物线的准线作垂线 垂足分别为a1 b1 o1 设抛物线的焦点为f x y 则 fa aa1 fb bb1 fa fb aa1 bb1 o为ab的中点 aa1 bb1 2 oo1 4 fa fb 4 2 ab 故点f的轨迹是以a b为焦点的椭圆 可知其方程为 1 又点f不能在y轴上 故所求轨迹方程为 1 x 0 故选c 例2如图 p是圆x2 y2 4上的动点 p点在x轴上的射影是d 点m满足 1 求动点m的轨迹c的方程 并说明轨迹是什么图形 2 过点n 3 0 的直线l与动点m的轨迹c交于不同的两点a b 求以oa ob为邻边的平行四边形oaeb的顶点e的轨迹方程 解题导引 解析 1 设m x y 则d x 0 由 知p x 2y 点p在圆x2 y2 4上 x2 4y2 4 故动点m的轨迹c的方程为 y2 1 且轨迹c为椭圆 2 设e x y 由题意知l的斜率存在 设l y k x 3 代入 y2 1 得 1 4k2 x2 24k2x 36k2 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 y1 y2 k x1 3 k x2 3 k x1 x2 6k 6k 四边形oaeb为平行四边形 x1 x2 y1 y2 又 x y 消去k得 x2 4y2 6x 0 由 24k2 2 4 1 4k2 36k2 4 0得 k