(电大复习)微积分初步（专）

1 微积分初步期末复习资料 一、单项选择题 1. 函数 1 ln4yxx的定义域为（ D ） A. 0x B. 4x C. 0x 且 1x D. 0x 且 4x 2. 函数 lnf x x 在点 xe 处的切线方程是（ C ） . A. 1 1yxeB. 1 1yxeC. 1yxeD. 1 1y x ee 3. 下列等式中正确的是（ D ） A. s i n c o sxd x d x B. 1ln xdx dx C. xxa dx d a D. 1 2d x d xx 4. 下列等式成立的是（ A ） A. d f x d x f xdx B. f x d x f x C. d f x d x f x D. df x f x 5. 下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ） A. dy xydxB. dy xy ydxC. s indy xy xdx D. dy x y xdx 6. 下列函数为奇函数的是（ D ） A. sinxx B. lnx C. 2xx D. 2ln 1xx 7. 当 k （ C ）时，函数 1 , 0, 0xexfxkx 在 0x 处连续 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 1e 8. 函数 2 1yx在区间 2,2 是（ B ） A. 单调下降 B. 先单调下降再单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 9. 在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点 1,4 的曲线为（ A ） A. 2 3yx B. 2 4yx C. 2 2yx D. 2 1yx 10. 微分方程 yy ， 01y 的特解为（ C ） A. 20.5yx B. xye C. xye D. 1xye 11. 设函数 siny x x ，则该函数是（ B ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 2 12. 当 k （ A ）时，函数 2 1 , 0, 0xxfxkx 在 0x 处连续 . A. 1 B. 2 C. 1 D. 0 13. 满足方程 0fx 的点一定是函数 fx的（ C ） A. 极值点 B. 最值点 C. 驻点 D. 间断点 14. 设 fx是连续的奇函数，则定积分 aa f x dx （ D ） A. 02a f x dxB. 0a f x dxC. 0a f x dx D. 0 15. 微分方程 1yy的通解是（ B ） A. 1Cxye B. 1xy Ce C. y x C D. 212y x C16. 设 211f x x ，则 fx （ C ） A. 1xx B. 2x C. 2xx D. 21xx 17. 若函数 fx在点0x处可导，则（ B ）是错误的 . A. 函数 fx在点0x处有定义 B. 0limxxf x A ，但 0A f xC. 函数 fx在点0x处连续 D. 函数 fx在点0x处可微 18. 函数 21yx 在区间 2,2 是 （ D ） A. 单调增加 B. 单调减少 C. 先单调增加后单调减少 D. 先单调减少后单调增加 19. xf x dx （ A ） A. xf x f x c B. xf x c C. 212 x f x c D. 1x f x c 20. 下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ） A. dy xydxB. dy xy ydxC. s indy xy xdx D. dy x y xdx 21. 函数 222xxfx 的图形关于（ C ）对称 A. yx B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 22. s in 1xfxx当（ D ）时， fx为无穷小量。 A. x B. x C. 0x D. 1x 23. 下列函数在指定区间 , 上单调增加的是（ B ） 3 A. sinx B. 2x C. 2x D. 52x 24. 若 10 22x k d x，则 k （ A ） A. 1 B. 1 C. 0 D. 1225. 微分方程中 yy 的通解是（ C ）。 A. cxye B. xy ce C. xy ce D. xy e c 26. 函数 ln 1xfx x 的定义域是（ C ） A. 2, B . 1, C . 2 , 1 1, U D. 1, 0 0 , U 27. 当 k （ B ）时，函 数 2 1 , 0,0xxfxkx 在 0x 处连续。 A. 0 B . 1 C . 2 D. -1 28. 下列结论中（ D ）不正确。 A. 若 fx在 ,ab 内恒有 0fx ，则 fx在 ,ab 内单调下降 B. 若 fx在0xx处不连续，则一定在0xx处不可导 C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D. 若 fx在0xx处连续，则一定在0xx处可导 29. 下列等式成立的是（ A ） A. d f x d x f xdx B. f x d x f x C. d f x d x f x D. df x f x 30. 下列微分方程中为可分离变量的是（ C ） A. dy xydxB. dy x y xdx C. dy xy ydxD. s indy xy xdx 二、填空题 1. 函数 22 4 5f x x x ，则 fx （ ） 2 1x 2. 若函数 2s i n , 01 , 0x k xfx xx ，在 0x 处连续，则 k （ ） 1 3. 曲线 1xf x e在 0,2 点的斜率是（ ） 1 4 4. 1 31 5 3 2x x d x （ ） 4 5. 微分方程 2 4 0x y y y 的阶数是（ ） 3 6. 函数 ln 2xfx x 的定义域是（ ） 2, 3 3, U 7 sinlim2x xx （ ） 0 8. 已知 3 3 xf x x，则 3f （ ） 27 1 ln3 9. 若 2xde （ ） 2xeC 10. 微分方程 3 4 74 s i ny x y y x 的阶数为（ ） 4 11. 函数 214fx x 的定义域是（ ） 2,2 12. 若0sin 4lim 2xxkx ，则 k （ ） 2 13. 已知 lnf x x ，则 fx （ ） 21x 14. 若 sin xdx （ ） cosxC 15. 微分方程 4 xyxy y e 的阶数是（ ） 3 16. 函数 21 4l n 2f x xx 的定义域是（ ） 2 , 1 1, 2 U 17. 函数 3s i n 1 , 0, 0xxfx xkx 在 0x 处连续，则 k （ ） 1 18. 函数 yx 在点 1,1 处的切线方程是（ ） 1122yx19. sin x dx （ ） sinxC 20. 微分方程 3 54 s i ny x y y x 的阶数是（ ） 3 21. 函数 21 2 5f x x x ，则 fx （ ） 2 6x 22. 1s i n , 01 , 0x k xfx xx 在 0x 处 连续，则 k （ ） 1 5 23. 曲线 1yx在点 1,2 处的切线方程是（ ） 1224. 若 lnf x d x x x C ，则 fx （ ） 1x25.微分方程 3 4 52s i ny y x y x 的阶数为（ ） 4 26. 若 21 2 2f x x x ，则 fx 2 1x 27. 0sin 2limxxx 2 28. 曲线 12yx 在 1,1 处的切线方程是 1322yx 29. sin x dx sinxC 30. 微分方程 4 s i n xyx y y x e 的阶数是 3 三、计算题 1.计算极限 22323lim 9xxxx 解： 22323lim 9xxxx 3313 1 3 1 2l i m l i m3 3 3 3 3 3xxxx xx x x 2. 设 1 1xyex，求 y 解： 1 1 1221 1 1 1121x x xy e e x ex x xx 3. 计算不定 积分 121 xe dxx 解： 1 1 1211x x xe d x e d e Cxx 4. 计算定积分 20 cosx xdx 解： 2 2 2200 0 0c o s s i n s i n | s i nx x d x x d x x x x d x 20c o s | 122x 5. 计算极限 22232lim 6xxxxx 6 解： 22232lim 6xxxxx 2212 1 2 1 1l i m l i m2 3 3 2 3 5xxxx xx x x 6. 设 12 xy x e ，求 y 解： 1 1 1 12 2 2 12x x x xy x e x e x e x ex 1 1 1 1 12 212 2 2 1x x x x xx e x e x e e x ex 7. 计算不定积分 1021x dx 解： 10 1 0 1 1112 1 2 1 2 1 2 12 2 2x d x x d x x C 8. 计算定积分 10 xxe dx解： 10 xxe dx 11 110000 | | 1 1x x x xx d e x e e d x e e e e 9. 计算极限 22232lim 4xxxx 解： 22232lim 4xxxx 2212 1 2 1 1l i m l i m2 2 2 2 2 4xxxx xx x x 10. 设 3s i n 5 c o sy x x，求 y 解： 32s i n 5 c o s 5 c o s 5 3 c o s c o sy x x x x x 25 c o s 5 3 c o s s i nx x x 11. 计算不定积分 21 x dxx 解： 2 231 22 1 1 13x d x x d x x Cx 或者 21 1 2 12 2 2x xxd x d x x d xx x x 32142 2 4 4 3x d x x x x Cx 7 12. 计算定积分0 sin2x xdx 解： 00 0 011s i n c o s c o s | c o s2 2 2x x d x x d x x x x d x 01 s i n |22x 13. 求极限 2239lim 23xxxx 解：原式 = 3333 33l i m l i m1 3 1 2xxxx xx x x 14. 已知函数 1ln s inyxx，求 dy 解：21 1 1c o sy x x x ，21c o s1 xd y y d x d xxx 15. 计算不定积分21cosxdxx解：21c o s1 1 1c o s s i nx d x d Cx x x x 16. 计算定积分1 lne x xdx 解： 22 2 2 21111 1 1 1 1 1 1l n l n |2 2 2 4 4 4 4ee e xx x d x x x d x e e ex 17. 计算极限 22468lim 54xxx 解： 22468lim 54xxx 4442 2 4 2 2l i m l i m4 1 1 4 1 3xxxx xx x x 18. 设 2 sin 3xyx ，求 dy 解： 2 s i n 3 2 l n 2 3 c o s 3xxy x x 2 l n 2 3 c o s 3xd y y d x x d x 19. 计算不定积分 cosx xdx 8 解： c o s s i n s i n s i n s i n c o sx x d x x d x x x x d x x x x c 20. 计算定积分11 5 lne x dxx 解： 1111 5 l n 1 11 5 l n 1 5 l n 1 5 l n |5 1 0ee ex d x x d x xx 221 1 71 5 l n 1 5 l n 11 0 1 0 2e 四、应用题 1. 欲做一个底为正方形， 容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为 x ，则高2108h x 表面积 2 2 221 0 8 4 3 244y x x h x x xxx 所以24322yxx 令 0y 得 6x （唯一驻点） 由 实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为 6，高为 3 时用料最省。 2. 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为 x ，则高232h x 表面积 2 2 223 2 1 2 844y x x h x x xxx 所以21282yxx 令 0y 得 4x （唯一驻点） 由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为 4，高为 2 时用料最省。 3. 用钢板焊接一个容积为 4 3m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低费用是多少？ 解：设水箱底边的边长为 x ，则高24h x 表面积 2 2 224 1 644y x x h x x xxx 所以2162yxx 令 0y 得 2x （唯一驻点） 由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为 2x ，高为 1h 时表 9 面积最小。此时的费用为 2 1 0 4 0 1 6 0y 元。 4.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边长为 x ，另一边长为 216x，则共用材料 2 1 6 4 3 23 2 3y x xxx 所以24323y x 令 0y 得 12x （舍）， 12x （唯一驻点