高考数学总复习 33导数的实际应用基础巩固强化练习 新人教A版.doc

3-3导数的实际应用基础巩固强化1.(文)正三棱柱体积为v，则其表面积最小时，底面边长为()a.b. c.d2答案c解析设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积va2h，h，表面积sa23aha2，由sa0，得a，故选c.(理)在内接于半径为r的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()a.和rb.r和rc.r和r d以上都不对答案b解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xr)，l2，令l0，解得xr.当0xr时，l0；当rxr时，l0.所以当xr时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为r，r.2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()a13万件 b11万件c9万件 d7万件答案c解析yx381x234，yx281(x0)令y0得x9，令y9，令y0得0x，则满足2f(x)x1的x的集合为()ax|1x1 bx|x1cx|x1 dx|x1答案b解析令g(x)2f(x)x1，f (x)，g(x)2f (x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)x1，故选b.7(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x2)，故体积为v2x26x39x2，v18x218x，令v0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高3.221.2，容积v11.51.21.8.8(文)(2011北京模拟)若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)0在(0，)内有实数解即1ax22x在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a1.(理)(20112012黄冈市期末)对于三次函数yax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f (x)是函数yf(x)的导数，f (x)是f (x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，求：(1)函数f(x)x3x23x的对称中心为_；(2)计算f()f()f()f()f()_.答案(1)(，1)(2)2013解析(1)f (x)x2x3，f(x)2x1，由2x10得x，f()()3()231，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(，1)(2)f()f(1)f()f()2(k1，2，1007)，f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()2100612013.9有一个容积v一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？分析桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小问题转化为v一定求总造价y的最小值，选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题解析设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y3mr2m(r22rh)由于vr2h，得h，所以y4mr2(r0)所以，y8mr.令y0，得r，此时，h4.该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在，当r时，y有最小值，即hr4时，总造价最小10(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为vx2h(d2hh3)，0h0，cos，选d.点评若f(x)为三次函数，f(x)在r上有极值，则f (x)0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)x3，f (x)x20有实根x0，但f(x)在r上单调增，无极值即导数为0是函数有极值的必要不充分条件12如图，过函数yxsinxcosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若kg(x)，则函数kg(x)的图象大致为()答案a解析ysinxxcosxsinxxcosx，kg(x)xcosx，易知其图象为a.13函数f(x)2x3x2x1的图象与x轴交点个数为_个答案1解析f (x)6x2x1(3x1)(2x1)，当x0，当x时，f (x)时，f (x)0，f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，当x时，f(x)取到极大值，当x时，f(x)取到极小值，故f(x)的图象与x轴只有一个交点14将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_答案解析设dex，则梯形的周长为：3x，梯形的面积为：(x1)(1x)(1x2)，s，x(0,1)，设h(x)，h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值8.15(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本p(元)关于速度v(km/h)的函数关系是pv4v315v.(1)求全程运输成本q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为q6000(0v100)(2)q5v，令q0得，v80，当v80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元(理)(2011江苏)请你设计一个包装盒如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，v0)(2)va2h(h0)，v.所以当0h0.所以v(h)在(0,1上为增函数当h1时，v0，所以v(h)在1，)上为减函数故h1为函数v(h)的唯一极大值点也是最大值点，vmax.答：当高h1m时，容积取最大值m3.(理)如图，有一矩形钢板abcd缺损了一角(如图所示)，边缘线om上每一点到点d的距离都等于它到边ab的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若ab1m，ad0.5m，问如何画切割线ef可使剩余部分五边形abcef的面积最大？解析由题知，边缘线om是以点d为焦点，直线ab为准线的抛物线的一部分以o点为原点，ad所在直线为y轴建立直角坐标系，则d(0，)，m(，)所以边缘线om所在抛物线的方程为yx2(0x)要使如图的五边形abcef面积最大，则必有ef所在直线与抛物线相切，设切点为p(t，t2)则直线ef的方程为y2t(xt)t2，即y2txt2，由此可求得点e，f的坐标分别为e(，)，f(0，t2)所以sdefs(t)(t2)，t(0，所以s(t)，显然函数s(t)在(0，上是减函数，在(，上是增函数所以当t时，sdef取得最小值，相应地，五边形abcef的面积最大此时点e、f的坐标分别为e(，)，f(0，)此时沿直线ef划线可使五边形abcef的面积最大1函数f(x)的定义域为r，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)()a无极大值点、有四个极小值点b有三个极大值点、两个极小值点c有两个极大值点、两个极小值点d有四个极大值点、无极小值点答案c解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f (x)0，x8.因为当0x8时，y0；当x8时，y0，所以当x8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省5(2011陕西文)设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解析f(x)lnx，f (x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0.(1，)是g(x)的单调增区间，因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)h(1)0，即g(x)g()，当x(1，)时，h(x)h(1)0，即g(x)g()；当x1时，g(x)g()；当x(1，)时，g(x)g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)0成立等价于g(a)1，即lna1，解得0axln2对任意x0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围解析(1)f(t)100%(t为学习时间)，且f(2)60%，则100%60%，解得a4.f(t)100%100%(t0)，f(0)100%37.5%，f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数y，则y(t0)，现研究函数g(t)t的单调性，由于g(t)1(t0)，又已知2xxln2对任意x0恒成立，即2ttln20，则g(t)0恒成立，g(t)在(0，)上为增函数，且g(t)为正数y(t0)在(0，)上为减函数，而y|t1，y|t2，即y(，)，故所求学习效率指数的取值范围是(，)7(2012延边州质检)已知函数f(x)x2axlnx，ar.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析(1)当a1时，由f (x)2x1，函数f(x)x2xlnx的定义域为(0，)，当x(0，时，f (x)0，当x，)时，f (x)0，所以函数f(x)x2xlnx的单调递减区间为(0，单调递增区间为，)(2)f (x)2xa0在1,2上恒成立，令h(x)2x2ax1，有得，得a.(3)假设存在实数a，使g(x)axlnx(x(0，e)有最小值3，g(x)a.当a0时，g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)，g(x)无最小值当0e时，g(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，g(x)ming()1lna3，ae2，满足条件当e时，g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)，f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值3.8(2012山东苍山县模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每