反比例函数图像性质及应用.doc

教师备课讲义 反比例函数图像性质应用知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k是常数，且k不为零；（2）中分母x的指数为1，如不是反比例函数。（3）自变量x的取值范围是一切实数.（4）自变量y的取值范围是一切实数。知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。知识点2 反比例函数的性质的变形形式为（常数）所以：（1）其图象的位置是：当时，x、y同号，图象在第一、三象限；当时，x、y异号，图象在第二、四象限。（2）若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。（3）当时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大；知识点3. 反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为：（）； 根据已知条件，列出含k的方程；解出待定系数k的值；把k值代入函数关系式中。知识点4. 用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。知识点5.反比例函数综合综观全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。”中考反比例函数复习策略：（抓实双基，掌握常见题型；重视函数的开放性试题）一、反比例函数的图象和性质【例1】(台州市)反比例函数图象上有三个点，其中，则，的大小关系是( ) A B C D【思路感悟】解决此类问题，一方面应当熟悉反比例函数的性质，同时必须能够熟练的画出双曲线，利用数形结合的思想解决问题。【迁移训练】（哈尔滨市）反比例函数y的图象，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） （A）k3 （B）k3 （C）k3 （D）k3二、用待定系数法确定反比例函数的解析式图1【例2】（兰州市）如图1，P1是反比例函数在第一象限图象上的一点，A1 的坐标为(2，0) （1）当点P1的横坐标逐渐增大时，P1O A1的面积将如何变化？ （2）若P1O A1与P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的 解析式及A2点的坐标【迁移训练】（郴州市）已知：如图2，双曲线y=的图象经 图2过A（1，2）、 B（2，b）两点.（1）求双曲线的解析式；（2）试比较b与2的大小. 三、反比例函数中的面积问题【例3】（眉山市）如图3，已知双曲线经过直角 三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（，4），则AOC的面积为（ ）A12 B9 C6 D4【思路感悟】过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为，相应对角线所分成的两个三角形的面积均为。【迁移训练】（泉州南安市）如图4 ，已知点A在双曲线y=上，且 OA=4，过A作ACx轴于C，OA的垂直平分线交OC于B（1）则AOC的面积= ，（2）ABC的周长为 图4四、反比例函数的综合应用与探究【例4】（成都市）如图5，已知反比例函数与一次函数 的图象在第一象限相交于点（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围【例5】（济宁市)如图6，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；图6（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.【思路感悟】在解决函数与几何综合题目时，不仅需要清楚函数知识，而且还需要掌握好几何知识，画出图形，利用数形结合的思想解题。【迁移训练】（河北省）如图7，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；xMNyDABCEO图7（3）若反比例函数（x0）的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围自主练习、如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB轴于B且SABO=（1）求这两个函数的解析式（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求AOC的面积。OyxBAC、如图，已知反比例函数y = 的图象经过点A（1，- 3），一次函数y = kx + b的图象经过点A与点C（0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点B.试确定这两个函数的表达式；、（09广东肇庆）如图 7，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数 （k为常数，）的图象相交于点 A（1，3） （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；