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市政工程力学教案平远县职业技术学校 张学祥第一章 静力分析的基本概念与方法【基本概念】力的概念，刚体、变形体、平衡的概念，约束的概念。【基本内容】力的运动效应与变形效应，加减平衡力系原理及应用，力的可传性及其限制，二力构件与二力平衡条件及其应用，几种典型约束及相应的约束力，取隔离体作受力图，约束力的分析与计算。重点掌握静力分析的基本方法，以及正确取隔离体作受力图。【课程精讲】一、关于力、力的平衡以及约束的概念和定义力物体间的相互机械作用。力的两种效应是使物体的运动状态或速度发生变化；二是使物体发生变形。前者称为运动效应；后者称为变形效应。对于刚体只产生运动效应；对于变形体则既可能产生运动效应又可能产生变形效应。力的可传性只要保持力的大小和方向不变，则力的作用点可以沿着力的作用线移动，而不改变力对物体的运动效应。力的可传性只对运动效应而言，即只有当物体或物体的一部分被抽象为刚体时，才是正确的。当研究力对物体的变形效应时，力的可传性便不再成立。平衡物体对于参考系保持静止或作等速直线运动。二力平衡条件作用在刚体上的两个力，其平衡条件是：两个力大小相等、方向相反并沿同一直线作用。在两个力作用下处于平衡状态的构件称为“二力构件”。不平行三力的平衡条件作用在刚体上同一平面内三个互不平行力平衡的必要与充分条件是：三力作用线汇交于一点，且力三角形封闭 。加减平衡力系原理在作用于刚体上的任意力系上，加上或减去任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的运动效应。 加减平衡力系所得到的力系与原力系互为等效力系。等效力系和加减平衡力系原理对于变形效应是不成立的。约束对构件运动形成限制的物体称为构件的约束。不同的约束，在构件上产生不同的约束力。柔性约束绳索、皮带、链条等构成的约束。柔性约束只产生沿着绳索、皮带、链条方向受拉的约束力。无摩擦刚性约束约束物与被约束的构件均为刚性，而且二者接触面的摩擦忽略不计，故又称为光滑面刚性约束。这类约束有以下几种：光滑平面或曲面约束：约束力沿着两接触面共法线方向。圆柱铰链约束：这种约束只提供一个方向不确定的约束力，这约束力也可以分解为互相垂直的两个分力。固定铰支座、中间铰都属于这种约束。 辊轴约束又称辊轴支座。其约束力方向垂直于辊子的支承面。 球铰链约束又称球铰。提供一个作用线通过球心但方向不定的约束力。这约束力也可分为三个互相垂直的分力。轴承约束向心轴承的约束力与圆柱铰链的约束力相似，即约束力通过轴心方向不定，它也可发分解为两个互相垂直的分力。向心推力轴承由于限制了轴的轴线方向运动，因而与向心轴承相比，多了一个轴向约束力。二、受力分析的基本方法受力分析的任务受力分析主要解决下列问题：确定物体上受有哪些力以及这些力的作用位置，并尽可能确定这些力的作用线和方向。确定物体受力中哪些是已知力和未知力，并建立已知力与未知力之间的关系，从而求出所需的未知力。本教学单元先解决第一个问题，这是受力分析最基本也是最重要的方面。受力分析的方法为解决上述问题，首先，要根据所讨论的问题的要求，选择合适的平衡对象，并将其从结构或系统中隔离出来；其次，要根据研究对象与周围物体的联系，由约束性质分析约束力，并应用作用与反作用定律分析隔离体上所受各力的位置、作用线及可能方向，画出隔离体的受力图；第三，建立已知力和未知力之间的关系；最后，还要验证所得结果的正确性。第二章 平面基本力系【基本概念】力矩、力偶的概念。【基本内容】平面汇交力系的简化方法：几何法和解析法；平面汇交力系的简化结果：一个力；平面汇交力系平衡的两种形式：几何形式和解析形式及其应用；力矩符号规定，力对点之矩及其计算，力偶的性质，平面力偶系的简化结果：一合力偶、平面力偶系的平衡条件及其应用。重点掌握平面汇交力系及平面力偶系的平衡条件及其应用。 【课程精讲】一 平面汇交力系（一）关于力的投影、力系简化的概念力的投影自力矢量的始端和末端分别向某一确定轴上作垂线，得到两个交点，这两个交点之间的距离，称为力在该轴上的投影。力的投影与分力不同。其一，投影不是矢量，而是代数量，其正负号由其指向而定：指向与轴正向一致者为正，反之为负。其二，力的投影只与力矢量及其与投影轴的夹角有关；而分力则与力矢量以及两个分力方向有关。力系的简化在等效的前提下，用最简单的结果（或称合力）代替原力系对刚体的作用，称为原力系的简化。（二）平面汇交力系的简化方法与简化结果平面汇交力系简化方法有两种：几何法和解析法。1、几何法按照力的平行四边形规则，将力系中的力两两合成，最后求得的合力即为力系的总合力。其矢量表达式为: 这表明：汇交力系简化结果是一个力，因此，汇交力系对刚体作用与其合力对刚体作用等效。 2、解析法 采用力的投影，先求得力系中所有力分别在x和y轴上投影的代数和，即为力系合力分别在x和y轴上的投影：据此求得合力的大小为： ，合力的方向由合力作用线与x轴正向夹角确定。角由下式计算：。工程应用中，大都采用解析法。（三）平面汇交力系的平衡条件与平衡方程汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。平衡条件的几何形式平衡力系中所有力组成封闭的力多边形。平衡条件的解析形式平衡方程，即X=0，Y=0。即力系中所有力在直角坐标系中x和y轴上投影的代数和分别等于零。（四）求解汇交力系平衡问题的一般方法与注意事项1、求解平面汇交力系的平衡问题，与求解其它平衡问题相类似，大致包含三个方面：首先，必须根据问题的要求，选择合适的平衡对象，并取出其隔离体。其次，根据平衡对象与周围物体的联系，确定约束力的性质，并根据约束性质分析约束力，应用作用与反作用定律，分析隔离体所受力的可能方向和作用线，画出隔离体的受力图。第三，应用平衡方程，建立已知力与未知力之间的关系，求解未知力。2、解题过程中要注意以下问题：要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使一个平衡方程中只出现一个未知力。建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，任何一个力都不能遗漏。要正确确定每一个力在坐标轴上投影的大小和正负号，特别要注意正负号。当未知约束力的方向不能确定时（一般情形下均如此），可以先假定方向（一般假定约束力的正方向与坐标轴正向一致）。然后，根据所得结果的正负号，判断未知约束力的实际方向；若所得结果为正，则实际方向与所设方向一致；若为负，则实际约束力的方向与所设方向相反。当未知约束力的作用线不能确定时，可先假设未知约束力在两个坐标轴上投影的方向（且一般设为正向）。然后建立平衡方程，这时，约束力的投影方向为已知，投影大小为未知。由平衡方程求得约束力投影的大小，即可求得相应的约束力。二 平面力偶系（一）力对点之矩的概念及力矩的计算力对刚体的运动效应包括两种：移动和转动。力对点之矩是度量力使物体绕该点转动效应的量，它由下式确定：m0(F)=h，其中0为“矩心”，h 为“力臂”，它是矩心至力作用线的垂直距离。在平面问题中，力矩为代数量，其正负由力使刚体转动方向而定，通常规定：使刚体绕矩心逆时针转动的力矩为正；顺时针转动者为负。合力矩定理合力之矩等于各分力以同一点之矩的代数和。当一个力对某点之矩不易确定时，可以将其分解为分力，然后利用合力之矩定理，求得合力对该点之矩。（二）力偶的概念与力偶的性质力偶与力偶矩 大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力组成的力系称为“力偶”。 力偶对刚体只产生转动效应而不产生移动效应。力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量。力偶矩由下式确定：m=m(F,F)=h，其中F和F为组成力偶的两个力，h为两力作用线之间的垂直距离，称为“力偶臂”。力偶矩的正负与力偶使刚体转动的方向有关；刚体逆时针转动时，力偶矩为正；刚体顺时转动时，力偶矩为负。力偶的性质力偶作为一种特殊力系，具有下列特性： 力偶不能简化为一个力，即力偶不能与一个力等效； 力偶对任意点之矩都等于力偶矩；作用在同一平面内的两个力偶，若二者的力偶矩大小相等且转向相同（同为正或同为负），则这两个力偶对刚体的作用等效。因此，只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的作用效应。同理，只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变m=h 中力的大小和力臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效应。（三）平面力偶系的简化结果与平衡条件平面力偶系的简化结果应用力偶的性质，可对平面力偶系加以简化，简化结果得到一合力偶，其力偶矩等于力偶系中所有力偶之力偶矩的代数和： 平面力偶系的平衡条件力偶系中所有力偶的力偶矩之代数和等于零。即：。 第三章 平面一般力系【基本概念】主矢，主矩，静摩擦系数。【基本内容】力向一点平移，平面一般力系的简化结果，主矢和主矩的确定，合力矩定理，平面一般力系的平衡条件，平衡条件的三种形式及其应用，固定端约束与相应的约束力，刚体系统的平衡问题，刚体系统静定性质的判断，研究对象的选择，刚体系统受力分析的特点。重点掌握平面一般力系的平衡条件及其应用。【一般了解内容】考虑摩擦时的平衡问题。【课程精讲】一 平面一般力系的简化结果与平衡条件（一）平面一般力系的定义平面一般力系力系中所有的力作用线都位于同一平面内，这力系称为“平面一般力系”。（二）力向一点平移的概念力向一点平移作用在刚体上的力可以向任意点平移。平移后，除了这个力之外，还产生一附加力偶，其力偶矩等于原来的力对平移点的力矩。或者说：平移前的一个力与平移后的一个力和一个力偶等效。 需要注意的是：力向一点平移的概念只是将研究对象作为刚体才是正确的。亦即只有在研究力系的简化和平衡以及研究物体的运动规律时才是可用的；当研究物体在力的作用下发生的变形规律时，力向一点平移的概念则是不成立的。（三）平面一般力系的简化方法与简化结果1、平面一般力系的简化方法应用力向一点平移的概念，将力系中所有的力分别向所选择的简化中心平移，得到两个平面基本力系：平面汇交力系和平面力偶系。其中平面汇交力系的各个力与原力系中相应的力，大小相等、作用线互相平行；平面力偶的各力偶的力偶矩分别等于原力系中对应的力对于简化中心之矩。简化后所得到的平面汇交力系和平面力偶系又可以进一步简化，分别得到一个力和一个力偶。分别称为“主矢”和“主矩”： 主矢写成投影形式则有：因此，平面一般力系向作用平面内任意一点简化后，得到一力和一力偶。力的作用线通过简化中心，力的大小和方向决定于力的主矢；力偶的力偶矩决定于该力系对于简化中心的主矩。2、平面一般力系的合力平面一般力系向任意简化中心的简化结果，还可以通过将力向一点平移，得到进一步简化，最后可以用一个力代替原力对刚体的作用。这个力称为平面一般力系的合力。合力R的大小与主矢大小相等，即作用线与主矢作用线平行；合力作用线到简化中心的垂直距离为：h=L0/R=L0/R作用线位于简化中心的哪一侧由主矩的转向确定。当向任意一点简化结果所得之主矢为零而主矩不为零时，平面一般力系便合成为一力偶。3、合力矩定理平面一般力系的合力对平面内任意一点之矩等于该力系中各个力对同一点之矩的代数和。（四）固定端约束当约束物的刚性比较大，而且与被约束物体又联结得比较牢固时，约束物不允许被约束物体在约束处有任何相对运动包括移动和转动。这便是“固定端约束”，简称为“固定端”或“插入端”。 在平面一般力系作用下，固定端约束处的约束力为平面一般力系，在研究对被约束构件的平衡和变形时，可以应用平面一般力系简化结果，将其简化为一个力R和一个力偶 。由于约束力R的方向一般为未知，故可将其分解为两互相垂直的分量X和Y。约束力的方向也是未知的，故可预先设定为正方向（逆时针方向），若求得为正时，表示实际方向与假设方向相同；若为负，则实际方向与所设方向相反。（五）平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩同时等于零。即：R=0,L0=0 根据这一平面条件，可以得到三种不同形式的平衡方程，一并列于下表中。平衡方程应用条件第一种形式X=OY=Om0=OO为xy平面内的任意一点第二种形式X=O(或Y=O)mA=O mB=OA、B两点的连线不垂直于x轴(或y轴)第三种形式mA=O mB=O mC=OA、B、C三点不在同一直线上二 刚体系统的平衡问题 （一） 刚体系统的平衡问题1、刚体系统及其特点由两个或两个以上刚体所组成的系统，称为“刚体系统”，称称为“刚体系”。在刚体系统中，一方面刚体数目不止一个；另一方面约束和受力都比较复杂。因此，一般情形下，如果只考虑整个刚体系统（简称“整体”）的平衡，或者只考虑某个局部、某个刚体（简称“局部”）的平衡，都不能解出全部未知力。但是，如果所讨论的刚体系统是静定的和平衡的，则通过研究整体的和局部的平衡，就可以解出全部未知力。2、刚体系统静定与静不定性质判断在很多刚体系统中，如果只考虑整个系统的平衡，其未知约束力的个数多于3个（平面一般力系只能提供3个独立的平衡方程，但是，若将系统“拆开”后，依次考虑各个刚体的平衡，则未知约束力数目与平衡方程数目相等，这种刚体系统便是静定的）。当然，还有一些刚体系统，在系统“拆开”之后，未知约束力个数仍然多于平衡方程的数目，因而无法求解全部未知力，这种刚体系统便是静不定的。求解刚体系统的平衡问题之前，应先判断刚体系统的静定与静不定的性质。只有是静定的，才能用静力平衡方程求解。判断刚体系统静定与静不定性质的方法是：先将刚体系统中各刚体连接处拆开，根据约束性质分析各连接处未知约束力的个数，总数计为k。然后，依次以每个刚体为研究对象，根据这些刚体的受力性质（是平面基本力系，还是平面一般力系）确定可以提供的独立的平衡方程的数目，总计为m。若k=m，则刚体系统是静定的、可解的；否则是静不定的。如果刚体系统中，有n1 个二力构件； n2 个承受汇交力系的刚体；有n3 个承受平面一般力系的刚体；因为它们分别提供1个、2个和3个独立的平衡方程，故刚体系统的独立平衡方程总数:m=n1+n2+n3 需要指出的是，刚体系统是不是静不定的，完全取决于未知约束力的个数与独立平衡方程的数目，而与研究对象被使用的次数无关。初学者常常会出现这样的错觉，以为在考虑了一个刚体的平衡之后，再考虑一次总体平衡，就可以多出几个平衡方程。实际上，如果刚体系统中的每个刚体都是平衡的，则刚体系统必然是平衡的。因此，整体平衡方程已经包含各个刚体平衡方程之中，即整体平衡方程与各个刚体的平衡方程是相依的，而不是独立的。3、求解刚体系统平衡问题的基本方法求解刚体系统平衡问题的基本方法与分析单个刚体平衡问题的方法大体相似，但也有一些差异。根据刚体系统平衡问题的特点，求解刚体系统平衡问题，一般可按下列步骤进行：首先判断刚体系统的静定与静不定性质，只有肯定了所给的刚体系统是静定的，才着手求解。先考虑整体平衡，求得某些未知约束力，然后根据要求的未知量，选择合适的局部或单个刚体作为研究对象，根据约束性质及作用与反作用定律，区分施力体与受力体，区分内力与外力，画出研究对象的受力图。分别考虑不同的研究对象的平衡，建立平衡方程，求解未知量。（二）考虑摩擦时的平衡问题 1、关于摩擦力的基本概念 互相接触的物体，当 有相对运动或运动趋势时，在接触面上便会产生阻碍运动或运动趋势的力，这力称为“摩擦力”。摩擦力的方向总是与运动方向或运动趋势方向相反。在外力作用下，接触物体开始产生运动趋势。当外力增加时，摩擦力随之增加；当外力从静止到开始进入运动状态时，摩擦力达到以最大值。最大摩擦力Fmax 与接触表面的正压力成正比，即:Fmax =fN。f为比例常数，称为“静摩擦系数”。上式在临界运动状态成立。在临界运动之间的静止状态，摩擦力均小于其最大值，即：:FfN。将二者合而为一，则可以写成：FFmax =fN。2、摩擦平衡问题的特点及解题方法（1）摩擦平衡问题具有以下特点：在静上状态和运动的临界状态，作用在物体上的所有力，包括主动力、约束力和摩擦力，必须满足平衡条件。滑动摩擦力除满足平衡条件外，还需满足物理条件FFmax =fN，其方向与滑动趋势方向相反。除临界状态外，由于静止状态下的物理条件FfN 是一个不等式，因此，所求得平衡问题的解答为在一定范围内的值。（2）求解摩擦平衡问题时，除了与一般平衡问题一样，需要根据约束性质分析约束力；选择合适的研究对象，画隔离体受力图外，还要考虑以下几点：在隔离体上要加上摩擦力，并注意其方向总与运动趋势方向相反；建立平衡方程时，必须考虑摩擦力。除平衡方程外，还需区分静止状态与临界状态，建立物理方程FfN或 Fmax =fN。将平衡方程与物理方程联立求得问题的解答。第四章 空间力系【基本概念】重心，形心。【基本内容】力对轴之矩，力对轴之矩与力对点之矩的关系，重心与形心的确定。【一般了解内容】空间力系向一点简化的结果，传动轴的受力分析与平衡问题，空间力系平衡方程。【课程精讲】一、力在空间坐标轴上的投影与力对轴之矩力在空间上的投影计算力在空间坐标轴上的投影有两种方法：直接投影法和二次投影法。 如果能够确定力与三个坐标的夹角、，则力在三个坐标轴上的投影分别为：X=Fcos、Y=Fcos、Z=Fcos 如果只能确定力的作用线与某个坐标平面的夹角以及力在这一平面上的投影与某一坐标轴的夹角则采用二次投影法。 为求力在空间坐标轴上的投影，一般需先建立坐标系；然后确定力的作用线与三坐标轴的夹角。如果力的作用线不通过坐标原点，可以以力作用点为坐标原点，建立空间坐标系，使各坐标轴分别平行于指定的坐标轴。从而比较容易确定力的作用线与坐标轴的夹角，或与坐标平面的夹角。力对轴之矩力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面内的分力对轴与该平面交点之矩。为计算力对轴之矩，可先将力沿三个坐标方向分解为三个分力，其中与轴平行或相交的分力对该轴之矩等于零。力对轴之矩等于三个分力对同一轴之矩的代数和。力对轴之矩为代数量，其正负号由右手定则确定。二、力对点之矩与力对轴之矩之间的关系在空间力系中，为了描述力使物体转动的方位，力对点之矩必须表示成矢量的形式。这矢量在三个空间坐标轴上的投影便等于这个力对三个坐标轴之矩。即：其中O为坐标原点，x、y、z为坐标轴。因此，在空间力系中，力对点之矩为矢量，力对轴之矩为代数量。三、力对点之矩与力对轴之矩之间的关系利用力向一点平移的概念和方法，得到空间力系的主矢和主矩分别为： 前者为空间力系中各力的矢量和；后者为各力对简化中心之矩的矢量和。写成投影的形式为：根据上述简化结果，物体在空间力系作用下平衡的必要和充分条件是，力系的主矢和主矩同时等于零。即：R=0，L0=0。根据这一条件，投影形式的平衡方程为：X=0，Y=0，Z=0，mx=0,my=0,mz=0四、物体的重心和图形的形心重心：物体分布重力的合力作用点，称为“重心”。 平面图形的形心：平面图形的中心称为“形心”。五、求解空间力系平衡问题时应注意的几个问题与平面一般力系相似，空间力系平衡方程也有不同的形式。例如，可以利用力对于建立在不同点的坐标轴之矩的平衡方程，代替部分力的投影平衡方程。但是，必须保证六个平衡方程是互相独立的。在很多情形下，空间力系的六个平衡方程中，有几个是自然满足的。这些方程无助于求解未知力，因而无需写出。建立力矩平衡方程时，所选择的坐标轴应尽量与某些未知力作用线相交或平行。这样，在一个力矩平衡方程中出现的未知力就比较少，从而使计算简化。第五章 杆件的轴向拉伸与压缩【基本概念】内力，轴力，正应力，弹性变形，正应变，位移，强度，刚度，塑性变形，小变形概念，弹性模量，泊松比，抗拉（压）刚度，工作应力，许用应力，危险应力，安全系数，多余约束。【基本内容】轴向拉伸（压缩）大外力及变形特点。求轴力的截面法，轴力符号的规定，作轴力图，拉（压）杆横截面上的应力分布特点及正应力计算，正应力公式应用条件，拉（压）杆的纵向变形，胡克定律及其表达式和应用条件，拉（压）杆的受力、横截面形状与应力、变形的关系。材料拉伸时的力学性能，两种典型材料拉伸时的应力应变曲线与应力特征值，强度指标与塑性指标，材料压缩时的力学性能，拉（压）破坏形式比较及破坏原因。 拉（压）杆的强度条件，三类强度问题，刚度条件。 静不定问题的判断，一次静不定问题的求解。 重点掌握拉（压）杆横截面上的应力分布及计算公式，拉（压）杆的强度条件及其应用，拉（压）杆的变形计算，胡克定律及其应用。【一般了解内容】拉（压）杆横截面上正应力公式的推导过程。【课程精讲】一 轴力和轴力图（一）轴力和轴力图关于内力、轴力和轴力图的概念内力在外力作用下，由于变形而在杆件内部部分之间所产生的相互作用的附加内力。根据连续性的假设，内力为连续分布力系，通常用其合力表示杆件的内力。轴力沿杆轴线的内力称为轴力，并用N表示。轴向拉伸(压缩)时，因其外力的合力沿杆轴线，所以横截面上的内力作用线也必然沿杆轴线方向。轴力的正负号规定使杆件产生轴向伸长变形的轴力为拉力，用正号表示。产生轴向压缩变形的轴力为压力，用负号表示。以规定是以杆件产生变形趋势而定的，即“拉为正，压为负”。轴力图表示轴力沿杆轴线变形的图形。当作用于轴线上的外力多于两个时，各横截面上的轴力不尽相同，必须在外力作用面处分段计算各段的轴力，并用轴刀图表示。轴力图的画法：取N-x直角坐标，使x轴平行于轴线。表示横截面的位置；以N轴表示轴力的大小，拉力为正，压力取负，按一定比例画出轴力沿轴线变化的图形。因为在等截面杆中，最大轴力作用截面最容易发生失效，所以轴力图在强度计算中占有重要的地位，因而需要熟练、正确地画出轴力图。（二）确定内力的截面法截面法是求内力的基本方法（见下图）。其方法要点归纳为截开、代替、平衡。杆件两端沿轴线作用一对外力，求杆件内力的方法为：截开用假想截面在要求内力的截面处将杆截为两段。代替将截开的杆件，保留任一段 作为研究对象，并用内力N代替另一段对它的作用并设N为拉力。平衡考虑保留段的平衡条件，由平衡方程确定内力的大小和方向。计算结果中，若内力N为正值，则轴力为拉力；N值为负值，则轴力为压力。二 拉压杆横截面上的正应力（一）应力的概念应力截面上分布内力的集度。截面上的内力是一个连续分布力系。为了描述分布内力在各点的强弱程度，需要应力的概念。当分布内力均匀分布时，截面上的平均应力即为截面上的应力，用m、m 表示，即m=N/A，m=T/A当分布内力非均匀分布时，应力是，当面积A0时，平均应力的极限值。其中 垂直于截面，称为“正应力”； 平行于截面，称为“剪应力”。（二）拉、压杆横截面上正应力公式及其应用条件1、拉、压杆截面上的正应力由式计算：=N/A式中N为横截面上的轴力，单位用N或kN；A为横截面面积，力的单位用N时，A有单位用mm2，力的单位用kN时，A的单位用m2； 横截面上的正应力单位：MPa=N/mm2上式表明：（1）拉、压杆横截面的应力只有正应力。（2）正应力 与轴力N有相同的符号，即当N为拉力时，为拉应力；当N为压力时，为正应力。（3）正应力 垂直于横截面并沿截面均匀分布。2、正应力公式应用条件（1）=N/A公式只适用于拉、压杆。即外力的合力沿杆轴线方向。（2）若在杆的全长范围内，外力发生变化或截面发生变化，则应分段应用应力公式，分别计算各段杆横截面上的正应力。这时要求截面上只有一个轴力(作用截面形心上并沿截面法线方向。三 拉、压杆的强度计算 （一）拉、压杆的强度计算准则为保证拉压杆安全可靠地工作，杆横截面上的最大正应力必须满足max。此为拉、压杆强度计算准则，又称强度条件。其中不等号左边的max 为杆件中最大工作应力，其值取决于外力引起的轴力和杆件的横截面面积。对于等直杆：max=Nmax/A对于阶梯杆：max=N/Amax不等号的右边为杆件的许用应力。即0/n 0为材料的极限应力（或危险应力）。由材料的拉伸（或压缩）试验测定。n为安全系数。可由有关的手册和规范中查到。在一般的计算题中是给定的。应该注意的是：有些材料的拉伸许用应力与压缩许用应力不等，即+-，此时应对拉、压杆分别应用强度条件，即+max+max（二）强度计算准则的应用根据强度条件，可以解决工程中三种类型的强度问题。强度校核已知杆件材料的许用应力 和杆件横截面尺寸以及杆件所承受的外载荷，校核杆件是否满足强度条件：maxN/Amax确定许可载荷已知材料的许用应力 和杆件的横截面面积，根据强度条件。由N*A即先确定杆件所容许的最大轴力，然后再确定结构的许可载荷P。设计截面尺寸已知杆件的材料和承受的载荷，根据强度条件，选择合理的截面面积，并用下式：进行计算ANmax/, 然后由截面形状确定其尺寸。（三）强度计算的步骤拉、压杆强度计算的一般步骤是：1、受力分析判别杆件是否满足轴向拉伸或压缩的条件，确定作用在杆件上的外力大小。2、内力分析用截面法求轴力，画出轴力图，确定最大轴力Nmax 作用截面的位置截面3、应力计算根据=N/A，先确定产生最大应力的杆件或截面，即危险杆或危险截面。4、强度计算使危险杆件、危险截面上的应力满足强度准则(条件)即。即max。根据此式，解决三类型的强度问题。四 拉压杆的变形计算 （一）纵向变形与横向变形拉压杆的变形 等直均匀杆件受沿轴线方向外力合力的作用时，杆件的纵向尺寸和横向尺寸同时发生变化（如下图及动画）。若杆件受轴向拉力时，沿纵向尺寸增加，沿横向尺寸减少；若杆件受轴向压力时，则沿纵向尺寸减小而沿横向尺寸增大。杆件这种尺寸和形状的变化称为拉、压杆的变形。如果杆件的原长为l，横向尺寸为b，受力变形后，长度变为l1，横向尺寸变为b1。则有： 纵向变形l=l1-l、 横向变形b=b1-b，变形的正、负号规定是伸长为正；缩短为负。正应变或纵向应变，用 表示，它表示杆件的变形程度，当杆各部分变形均匀时，纵向正应变ll、 横向正应变 bb，正应变的正负号的规定是：伸长变形时的正应变为正；缩短变形时的正应变为负。（二）胡克定律的两种形式当拉、压杆件在弹性范围内加载时，杆的轴向变形量lNL/（EA），这是轴力与变形量之间的线性关系，即胡克定律。同样，在弹性范围内加载时，正应力和正应变存在如下关系：E，反映了正应力与正应变之间的线性关系，是胡克定律又一种形式。（三）纵向变形与横向变形间的关系在弹性范围内加载时，横向变形和纵向变形之间存在下列关系：， 称为泊松比。式中“-”号表示 与 反号。（四）应用lNL/（EA）计算变形时应注意的问题必须在弹性范围内加载，否则力和变形、正应力和正应变之间都不存在线性关系，公式 lNL/（EA）和E 均不适用。lNL/（EA）只适用于两端加载的情形。当杆上有几个外力作用时，应先分段计算轴力并画出轴力图，然后分段采用上述公式计算各段变形，求其代数和得到杆的总变形。五 材料的力学性能（一）低碳钢拉伸时的力学性能试验条件标准试件在常温静载（即缓慢地加载）条件下进行拉伸试验试验结果获得应力应变图，即-曲线。由图中可以得出材料的若干力学性能；弹性变形试件在拉伸过程中，如果将试件卸载（即将载荷逐渐减小至零）则加载中所产生的变形将全部消失，这种可以消失的变形称为弹性变形。塑性变形卸载后不能消失的变形称为塑性变形，或残余变形。冷作硬化试件加载到强化段任一点C处卸载，应力-应变曲线将沿着与OA线近似平行的直线回到 O1点，然后再重新加载直至断裂。其结果：比例极限提高(PP）而断裂后塑性变形减小。这种现象称为冷作硬化或加工硬化。由- 曲线可以看出，对于加载到C点后卸载，再加载直至拉断为止。四个阶段三个特性点（二）低碳钢压缩时的力学性能六 拉、压杆的静不定问题（一）静定结构与静不定结构的概念当未知力个数与独立的平衡方程数目相等时，由平衡条件可以求得全部未知力，这种结构称为“静定结构”。当未知力个数多于独立的平衡方程数目时，仅仅由平衡条件无法求得全部未知力，这种结构称为“静不定结构”。未知力个数与平衡方程数目之差称为“静不定次数”。（二）求解静不定问题的基本方法求解静不定问题需综合应用平衡、变形协调和物理三方面的条件：首先，根据约束力性质分析时，取研究对象画受力图，写出全部平衡方程。其次，根据结构变形前的位置和变形后的可能位置，分析各构件变形（或一构件各部分变形）之间的关系，建立变形协调方程。这是求解静不定问题的难点。第三，根据胡克定律写出各构件（或各部）的力与变形之间的关系式，即物理方程。最后，求解联立方程即可求得所需要的未知力。（三）静不定结构的特性静不定结构中由于存在多余约束，使各构件的变形互相牵制，因而与静定结构相比具有下列特性：一是各构件的内力分配与其刚度比有关；二是由于温度变化将会引起“温度应力”；三是当某一构件产生制造误差，装配后将产生“装配应力”。第六章 圆轴扭转【基本概念】外力偶矩，扭矩，扭转角，剪应力互等定理，纯剪应力状态，剪切弹性模量，极惯性矩，抗扭截面系数，抗扭刚度，剪应变和剪应力，许用剪应力，许用相对扭转角。【基本内容】圆轴扭转的外力及变形特点，用截面法求扭矩，扭矩的符号规定，作扭矩图，剪切胡克定律及其应用条件，圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律及最大剪应力发生的位置，剪应力计算公式及其应用，圆截面和空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数，相对扭转角计算公式及其应用。 塑性材料轴与脆性材料轴扭转实验结果，强度指标及破坏形式和原因。 重点掌握圆轴扭转时的强度与刚度条件，并正确进行强度及刚度计算。【一般了解内容】圆轴扭转时横截面上的剪应力公式的推导过程，相对扭转角公式的推导过程，非圆截面杆和开口薄壁一 受扭圆轴的外力、内力、应力和变形(一）【课程精讲】一 受扭圆轴的外力、内力、应力和变形（一）关于扭矩、剪应力与剪应变以及相对扭转角等概念扭转直杆的两端，在垂直杆轴 线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶，使杆件各横截面发生绕轴线相对转动。这种变形形式称为扭转。轴以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。横截面为圆形的轴称为圆轴。扭矩在外力偶作用下，应用截面法，圆轴横截面上的分布内力组成一合力偶与外力偶平衡，这一内力合力偶的力偶矩称为扭矩，用T表示。剪应力互等定理由受扭圆轴上扭截取的微六面体（微元），在两个互相垂直的截面上的剪应力数值相等，其方向同时指向或背离该交线。此关系称为剪应力互等定理 。纯剪状态微元的四个侧面上只有剪应力而无正应力，则该微元的受力状态称为纯剪状态。剪应变剪应力作用下，微元的直角改变量称为剪应变（或切应变）。剪切胡克定律在弹性范围内，剪应力与剪应变成正比，即=G,式中G是剪切弹性模量，与拉、压杆的弹性模量E相似，表示材料的弹性常数，随材料而异，由实验测定。单位为MPa。扭转角轴在受扭时，两横截面间绕轴线相对转动的角度，称为相对扭转角，用表示，用来表示轴的扭转变形。（二）扭矩计算、扭转剪应力与变形分析1、外力偶矩的计算作用在轴上的外力是外力偶，其力偶矩用m表示。工程中的传动轴通常是给定轴的转速n和所传递的功率Np ，则可用下表中的公式计算外力偶矩。m=9549Nkw/n N.m(牛顿.米)， Np 的单位kW(千瓦)或m=7022Nhp/n N.m(牛顿.米)， Np 的单位HP(马力)，转速n的单位r/min(转/分钟)2、扭矩和扭矩图求扭矩仍用截面法。其要点仍然是：“截开，代替，平衡”。计算扭矩时，一般先将扭矩设为正向，若结果为负值，表示实际扭矩的方向与所设相反。 确定扭矩正负的方法是：将扭矩用矢量表示，按右手螺旋法则，用四指表示扭矩旋转的方向，大拇指便为矢量的指向。当矢量的方向与截面的外法向线方向一致时，扭矩为正；反之为负。 将扭矩沿轴线方向变化用 坐标中的图形表示，则为扭矩图。扭矩图的画法与轴力图画法相似。3、应力和变形公式扭转剪应力和相对扭转角公式分别为：(r)=Tr/Ip,max=T/Wp,d(T/GIp)dx对于长度为l 的圆轴当T、G、Ip，均为常数时，两端横截面间的相对扭转角为: Tl/GIp(rad)单位长度扭转角为：=T/GIp(rad/m), 或=T*180/GIp(/m)式中单位：T的单位用Nm，G的单位为Mpa， 的单位用Mpa，l 的单位用m，Ip 的单位用 m4，Wp 的单位用 m3，计算时应注意单位的一致性。4、应力和变形公式的适用范围 上述应力、变形公式只适用于： 在弹性范围内加载，材料服从剪切胡克定律;圆截面轴二 圆轴扭转时的强度计算与刚度计算（一）圆轴扭转时的强度计算准则为保证受扭圆轴安全可靠地工作，圆轴横截面上的最大剪应力max 不得超过许应用力 ，即满足强度计算准则或强度条件：max，对于等截面圆轴maxTmax/Wp、 对于阶梯轴 T/Wp剪应力最大的截面称为危险截面；危险截面上剪应力最大的点称为危险点。（二）圆轴扭转时的刚度计算准则为保证受扭圆轴具有足够的刚度，要求全轴上最大单位长度扭转角max 不得超过许用扭转角 ，即满足刚度计算准则或刚度条件：max。对于等截面圆轴，最大单位长度扭转角max发生在扭矩最大的截面处，即max=Tmax/GIp；对于阶梯轴，应综合考虑扭矩、截面的影响，即max=T/GIpmax。应用上述强度条件和刚度条件，可以解决受扭的实心或空心圆轴的三类强度、刚度问题。（三）强度和刚度计算时应注意的问题注意判断危险状态。max和max是指整个轴长范围而言，而不是指某一截面或某一段的最大值。计算时应根据扭矩图中的扭矩值，轴的截面几何尺寸以及材料性能综合判断危险段，危险截面和危险点。如果轴上有几个部件可能是危险部位时，应分别计算，并加以比较后再确定。 计算时注意等号两侧单位一致第七章 梁的弯曲强度【基本概念】剪力，弯矩，平面弯曲，纯弯曲，中性轴，斜弯曲，抗弯强度，抗弯截面系数，惯性矩，形心轴。【基本内容】剪力、弯矩的符号规定，用截面法求剪力、弯矩，建立剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图。平面弯曲时梁横截面上的正应力分布规律及正应力公式，横截面具有双对称轴（如矩形、圆形等）及单对称轴（T字形及槽钢等）时其横截面上的正应力分布特点，弯曲正应力公式及应用，最大弯曲正应力所在位置，最大弯曲正应力公式及应用，中性轴位置的确定。矩形、圆形、空心圆截面的惯性矩公式及抗弯截面系数公式，求组合截面惯性矩的组合公式和平行移轴定理及其应用，提高梁强度的主要措施。斜弯曲时危险截面及危险点的确定，横截面上正应力分布及正应力计算公式，最大正应力的计算公式，强度条件及其应用。弯拉（压）组合、偏心拉（压）时危险截面及危险点的确定，横截面上正应力分布及正应力计算公式，强度条件及其应用。重点掌握剪力方程和弯矩方程的建立，剪力图和弯矩图的绘制，弯曲正应力强度条件及其应用。【一般了解内容】剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用，弯曲正应力公式及变形公式的推导，弯曲剪应力公式的推导及应用，薄壁截面梁弯曲中心的形象概念【课程精讲】一 梁的内力（一）关于平面弯曲、弯曲内力的概念与定义弯曲构件受到垂直于轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用，其轴线从直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。梁承受弯曲的构件称为梁。通常可分为简支梁、悬臂梁和外伸梁三类基本梁。平面弯曲梁具有纵向对称面，所有外力均作用在该对称面内。梁变形后，其轴线在该对称面内弯曲或一条平面曲线，这是弯曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式。纯弯曲梁横截面上只有弯矩一种内力 。剪力在梁在某横截面上，与外力主矢量平衡的内力分量，它与横截面平行，记作Q。弯矩 在梁的某横截面上，与外力主矩平衡的内力，其矢量垂直于梁的轴线，记作M。剪力方程与弯矩方程表示剪力、弯矩沿梁轴线变化规律的函数式。剪力图与弯矩图表示剪力与弯矩沿梁轴线变化的图形。（二）剪力、弯矩的正负号规定 剪力、弯矩正负号的规定使梁横截面两侧的剪力、弯矩有相同的正负号。为此，剪力、弯矩的正负号是由它们引起梁的变形情况来决定的。在梁上截取微段，其横截面上的剪力、弯矩的正负号规定“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。（三）剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程的方法与求指定截面上的剪力、弯矩的方法基本相同，差别在于，建立剪力、弯矩方程时所要求的是梁任意截面上的剪力和弯矩。此外，要注意外力突变对剪力、弯矩方程的影响。凡是集中力、集中力偶作用的截面及分布载荷不连续的截面均是控制面，控制面是建立剪力、弯矩方程的分段点。（四）剪力图、弯矩图的画法及检验1、剪力图与弯矩图的画法建立剪力、弯矩方程后，用横坐标 表示截面的位置；用纵坐标分别表示截面上的剪力、弯矩。作出剪力、弯矩方程的图形，即为剪力图和弯矩图。遇有需分段的情形，也要注意按各段的剪力、弯矩方程作各段的剪力、弯矩图，剪力、弯矩图形画好后，应标上正负号，并注明控制面上的剪力、弯矩值及极值。2、剪力图与弯矩图的检验利用剪力、弯矩、载荷集度间微分关系可以检验剪力、弯矩图的正确性。（五）建立Q 、M方程及画Q 、M图时应注意的问题确定“控制面”上的弯矩和剪力时，要应用截面法，用假想截面从所考察的截面处将梁截开，与求拉伸和扭转时的内力一样，切不可将截面附近处作用的外力当作截面上的弯矩和剪力，特别是对于初学者这一点显得列加重要。对截面法较熟悉后，可以不必在纸面上画出截开后的图形，但一定要有截开的概念。求约束力及截开后求剪力、弯矩时，可应用静力学中力的简化方法进行计算，但在截开之前，不能将梁上的外力简化，并用静力等效的梁替代原梁求剪力、弯矩。其中原因将在最后一小节中讨论。弯矩、剪力的正负号不仅关系到所画的弯矩图和剪力图是否正确。而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响，因上要特别注意避免发生正负号的错误。因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后按弯矩、剪力的符号规定来确定它们的符号。一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定，假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡方程计算截面上的弯矩、剪力。若结果为正，则说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、剪力均为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实际方向相反，即为负。这样，由平衡方程所得到的弯矩、剪力的正负号与它们的实际情况是一致的。二 梁的应力（一）关于平面假设、中性轴、惯性矩和抗弯刚度的概念与定义平面假设梁弯曲变形后，其横截面仍保持平面，并仍与梁轴 线垂直，只是绕截面上某一轴转过一个角度。中性层与中性轴在梁弯曲变形后，梁中既不伸长也不缩短的纵向层，称为梁的中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，在平面弯曲时，中性轴过截面形心且与横截面对称轴垂直。惯性矩Iz=y2dA，是对指定的z轴而言的，此时Iz是仅与截面形状、尺寸有关的几何量，其值恒为正值，量纲是长度4。抗弯刚度EIz，综合反映了构件抗弯曲变形的能力。（二）弯曲正应力公式的应用弯曲正应力公式应用与圆轴扭转时剪应力的推导方法基本相同，即综合考虑了几何、物理和静力学三个方面。应用正应力公式 =My/Iz时要注意，该公式是对某个截面上某点而言的，即首先应明确是求哪个截面上哪一点的应力；其次利用截面法求该截面上的弯矩M，并确定该截面对其中性轴的惯性矩 ；最后由正应力公式求出该点的正应力。（三）确定截面对中性轴的惯性矩弯曲正应力公式中，Iz是指截面对其中性轴z 的惯性矩，因此，应首先确定中性轴。在平面弯曲时，中性轴过截面形心且垂直于截面对称轴，即为截面的形心对称轴。若截面具有一对相互垂直的对称轴，当外力沿某一对称轴作用，另一对称轴即为中性轴；若截面只有一根对称轴，那么当外力沿该对称轴作用时，过截面形心且与该对称轴垂直的轴即为中性轴。矩形、圆形、空心圆等简单图形截面，可直接应用公式其惯性矩：Iz=bh3/12( Iy=hb3/12)、Iz=d4/64、Iz=(D4-d4)/64。对于工字钢等型钢，可查型钢表得其惯性矩，查表时要注意对哪根轴的惯性矩。求简单组合截面惯性矩时，应灵活应用组合公式及平行移轴定理。应用组