理论力学2虚位移原理.ppt

1 研究该平衡问题 构造 功 平衡条件 a 图示杠杆平衡 求F1与F2关系 假定系统运动了微小角度 能否研究诸力做功 而得到平衡条件 动力学分析方法 则 2 F1与F2在相应位移上的功之和 条件 a 和条件 b 是等价的 b 平衡条件 虚位移原理 a b 猜想 力在微小位移中所作的功的关系来建立 虚位移 虚功 3 什么是虚位移 由伯努利 Bornoulli 1717 提出由拉格朗日 Lagrange 1764 完善 虚位移原理是静力学的普遍原理 它给出了质点系平衡的充分和必要条件 用动力学方法建立受约束质点系平衡条件 虚位移原理 4 虚位移的概念与分析方法 一 实位移 可能位移和虚位移 真实位移 满足运动微分方程和约束方程的位移解 是真实发生的位移 称为实位移 例 固定斜面上的物体只受重力作用 求 真实位移 速度 方向 可能位移 满足约束方程但不一定满足运动微分方程的微小位移 例 斜面上的物体只受重力作用 求 可能位移方向 真实位移 速度 只有一组 可能位移 速度 有多组 5 虚位移 满足约束方程且不考虑约束随时间变化的可能微小位移 1 若约束定常 无穷小可能位移就是虚位移 无穷小真实位移 速度 也是虚位移之一 例 斜面固定 物体只受重力作用 则 可能位移 实位移均是虚位移 2 若约束非定常 例 斜面以速度v运动 物体只受重力作用 则真实位移 可能位移 虚位移是什么 这时 可能位移是物体相对斜面的位移与斜面位移的叠加 一般不会在斜面内 虚位移是假想约束在该时刻 凝固 不动时的 可能位移 虚位移也不唯一 虚位移在斜面内 6 虚位移特点 2 虚位移是假定约束不变而设定的可能微小位移 1 虚位移不是任何随便的位移 它必须为约束所允许 3 在完整 定常约束下 虚位移方向沿其可能速度方向 4 虚位移可能有多组 虚位移 几何概念 仅依赖于约束条件 7 1 几何法 用 虚速度 的方法分析虚位移 如何分析机构某点的虚位移 二 虚位移的分析方法 适用于 速度 易于分析的情况 在同一时刻 位置 各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系 例 求A B点的虚位移 并求虚位移的关系 8 2 解析法 解 选 1 2为系统的广义坐标 直角坐标原点选在固定点O 则A B坐标可表示为 则A B两点虚位移在x y方向的投影 适用于完整 定常 双面约束 例 求A和B两点的虚位移 注意 原点必须选在固定点 体系必须处于一般的位置 9 问题 体系独立的虚位移数目是多少 i 1 2 n 若体系自由度为k 则选k个广义坐标qi 任一质点的定位矢量ri可表示成k个广义坐标的函数 写成投影 用类似求微分的方法求虚位移的投影 10 一 虚功 虚功 virtualwork 作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功 理想约束 理想约束 idealconstraint 约束力在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束 虚位移原理 虚功原理 11 二 虚位移原理 virtualworkprinciple 问题 具有理想约束的质点系 在给定位置保持平衡 则所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少 平衡 0 平衡时主动力的虚功之和为零 12 平衡 假设等式成立但质点系不平衡 也为虚位移 结果与假设的条件相矛盾 所以 质点系不可能进入运动 而必定成平衡 质点开始运动 运动质点Mi有合力 产生同方向的微小实位移 完整 双面 定常约束 主动力的虚功之和为零则系统平衡 13 虚位移原理 具有双面 理想约束的质点系 在给定位置保持平衡的充要条件是 该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零 为主动力 为主动力作用处的虚位移 二者是点乘关系 虚位移原理研究一定条件下的平衡力系主动力之间的关系 14 分析主动力作用点的虚位移求主动力的虚功之和 15 解 16 例 图示椭圆规机构 连杆A B长为l 杆重和摩擦力不计 求 在图示位置平衡时主动力FA和FB之间的关系 1 几何法 2 解析法 解 17 例题 若已知 求 平衡时的位置 18 解 根据虚位移原理 19 广义力 广义坐标 20 1 明确自由度 选广义坐标 2 分析虚位移 表示成广义坐标虚位移的关系 分析思路 3 由虚位移原理列方程 4 由广义力等于零得到平衡条件 虚位移原理 21 例题 已知各长为L 重为W 求维持平衡所需力F的大小 广义力 解 取为广义坐标 由虚位移原理 广义坐标 22 例 机构如图所示 不计构件自重 已知AB BC l BD BE b 弹簧刚度为k 当AC a时 弹簧无变形 设在滑块上作用一水平力F 求该机构处于平衡时 A和C间的距离 x 内力虚功 外力虚功 解 体系自由度 选广义坐标 23 24 虚位移 满足约束方程且认为约束不变的可能位移 若约束双面 完整 定常 则可能位移 包括实位移 就是虚位移 虚位移原理 1 定义 2 分析方法 几何法 虚速度法 虚位移方向即为真实速度方向 条件 约束双面 完整 定常 解析法 建立坐标系 用广义坐标表达各点位移 用类似求微分的方法求虚位移的投影 25 给出了做功的力之间关系 虚位移原理 为任何做功的力 第二类问题 求平衡位置 第一类问题 求主动力之间关系 可解决的问题 机构 26 任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系 称为对应于广义坐标的广义力 广义力及以广义力表示的质系平衡条件 虚位移原理 广义力 令 27 由于广义坐标是独立的 因此也是独立的 对应于广义坐标的广义力 若系统有k个自由度 虚位移原理可表示为 因此有 广义力表示的平衡条件 虚功 虚位移原理 问题 用虚位移原理建立的独立平衡条件有几个 具有k个自由度的平衡系统来说 可以建立k个独立的平衡方程 即 独立平衡方程的数目与系统的自由度数相等 28 如何计算广义力 广义力表示的平衡条件 虚位移原理 广义力 1 给出所有广义坐标方向上的正向虚位移 计算虚功 前面的系数就是 解析法 几何法 29 1 给出所有广义坐标方向上的虚位移 计算虚功 前面的系数就是 解析法 几何法 2 取一组特定虚位移 除不为零 正向虚位移 其余广义坐标虚位移均为零 计算虚功 则 例 求对应于的广义力 注意 给定正向虚位移 30 例 OB BC L CD DE 在该处系统平衡 此时三根杆相互垂直 E处弹簧的刚度系数为k1 O处螺线弹簧刚度系数为k2 受力如图所示 求平衡时水平弹簧的变形l和螺线弹簧的变形f 机构平衡时主动力关系 解 自由度数本题解决 取广义坐标 1 令一个广义坐标方向的虚位移为零 可由虚位移原理 虚位移关系如图 得到对应的广义力 31 2 令另外一个方向的虚位移为零虚位移关系如图可由虚位移原理 得到对应的广义力 注意如何求两个或多个自由度问题的广义力 弹簧为压缩状态 压缩量 如何求分布力的虚功 32 虚位移原理 第二类问题 求平衡位置 第一类问题 求主动力之间关系 可解决的问题 机构 第三类问题 求静定结构的约束力 33 例 结构及其受力如图所示 求A端的约束力 1 求A端的约束力偶 34 1 求A端的约束力偶 解 将固定端A变成固定铰链将约束力偶变为主动力偶给出虚位移 如图所示 根据虚位移原理 求y向约束力怎样处理A端约束 35 A B C D D 将固定端A变成图示铰链将竖直约束力变为主动力给出虚位移 如图所示 根据虚位移原理 2 求A端的y向约束力 36 A B C D D 将固定端A变成图示铰链将水平约束力变为主动力给出虚位移 如图所示 根据虚位移原理 3 求A端的x向约束力 37 例 图示桁架 各杆长度均为l 求 FDE FBC内力 38 解 几何法 先求FDE 对具有转动中心的刚体 可用力对转动中心的矩所做的虚功来代替力的虚功 39 再求FBC 10kN 15kN A C D E B 40 例 一屋架尺寸及受荷如图所示 求DK杆的内力 解 将DK杆截开 成为4个相互运动的刚体 刚片ACK 刚片DHG 杆CD 杆KH K D 分析虚位移 杆KH 刚片DHG 瞬心在G点 杆CD 瞬心在D点 41 K D 由虚位移原理 得 要点 截断杆后 本题为多个刚体相互运动 要分析每个刚体虚位移关系 基点法或瞬心法 42 例 拱架结构 F1 2kN F2 1kN 求 支架D C处反力 43 解 1 求FDy 44 2 求FDx 45 3 求FCy 46 一 有势力场中的平衡条件 势力场中质点系平衡条件及平衡稳定性 广义力表示的平衡条件 若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式 有势力的虚功 由虚位移原理 虚位移原理 47 质点系在势力场中的平衡条件 由虚位移原理 由广义坐标的独立性 广义力 48 取 0为系统的零势能位置 平衡位置 例 系统如图所示 滑块的质量为m 杆长为L 不计质量 弹簧刚度系数分别为 当杆铅垂时 弹簧无变形 求系统的平衡位置 解 有势系统 1自由度 选广义坐标q 势函数在该位置有可能取得极值 势力场中质系平衡时 势能具有驻值 求得的广义坐标值为驻点 对应的势函数值为驻值 49 二 质点系在有势力场中平衡的稳定性 观察下面三个质点平衡状态 平衡的稳定性 stabilityofequilibrium 质点系处于某一平衡位置 若受到微小干