高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明课件 北师大版选修12 (2).ppt

3 2数学证明 一 演绎推理 二 三段论 名师点拨1 演绎推理的特点 1 演绎推理的前提是一般性原理 演绎推理的结论是蕴涵于前提之中的个别特殊事实 2 在演绎推理中 前提和结论之间存在必然的联系 只要前提是真实的 推理形式是正确的 结论必定是正确的 2 对三段论的理解 1 三段论推理的依据 用集合观点来讲 就是 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的子集 则s中所有元素也都具有性质p 2 应用 三段论 进行推理的过程中 大前提 小前提或推理形式之一错误 都可能导致结论错误 3 应用三段论解决问题时 首先应该明确什么是大前提和小前提 但为了叙述简洁 如果大前提是人们熟知的 那么可以省略不写 做一做 1 因为我们是共青团员 所以我们要在学习和工作中起带头作用 它的大前提是 a 我们是共青团员b 我们在学习和工作中起带头作用c 共青团员应在学习和工作中起带头作用d 以上都不是 2 用三段论证明命题 任何实数的平方大于0 因为a是实数 所以a2 0 你认为这个推理 a 大前提错误b 小前提错误c 推理形式错误d 是正确的 解析 1 通过三段论的形式可以看出 本题的大前提已经省略 小前提为 我们是共青团员 结论为 我们要在学习和工作中起带头作用 故大前提应为 共青团员应在学习和工作中起带头作用 2 这个三段论推理的大前提是 任何实数的平方大于0 小前提是 a是实数 结论是 a2 0 显然这是个错误的推理 究其原因 是大前提错误 尽管推理形式是正确的 但是结论是错误的 答案 1 c 2 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 演绎推理的结论一定正确 2 演绎推理的一般模式是 三段论 形式 3 三段论中 大前提正确 小前提正确 推理过程正确 则结论正确 4 演绎推理得到的结论的正确性与大前提 小前提和推理形式有关 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对三段论的理解 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式 1 等腰三角形的两底角相等 a b是等腰三角形的底角 则 a b 2 通项公式为an 2n 3的数列 an 为等差数列 思路分析 分清楚三段论中的大前提 小前提 结论是解题的关键 为此要抓住它们的含义 即大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 等腰三角形的两底角相等 大前提 a b是等腰三角形的底角 小前提 a b 结论 2 数列 an 中 若当n 2时 an an 1为常数 则 an 为等差数列 大前提 当通项公式为an 2n 3时 an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 常数 小前提 通项公式为an 2n 3的数列 an 为等差数列 结论 反思感悟1 用三段论写演绎推理的过程 关键是明确大前提 小前提 大前提提供了一个一般性的原理 在演绎推理的过程中往往省略 而小前提指出了大前提下的一个特殊情况 只有将二者结合起来才能得到完整的三段论 2 在寻找大前提时 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1用三段论的形式写出下列演绎推理 1 菱形的对角线相互垂直 正方形是菱形 所以正方形的对角线相互垂直 2 若两角是对顶角 则此两角相等 所以若两角不相等 则此两角不是对顶角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 演绎推理在几何证明中的应用 例2 如图 正三棱柱abc a1b1c1的棱长均为a d e分别为c1c与ab的中点 a1b交ab1于点g 求证 1 a1b ad 2 ce 平面ab1d 思路分析 1 为了证明a1b ad 可证a1b 平面ab1d 连接dg 显然a1b ab1 所以只需证明a1b dg 可利用 a1db是等腰三角形以及g是a1b中点得证 2 要证ce 平面ab1d 只需证ce与平面ab1d内的一条直线 dg 平行即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 1 连接a1d dg bd 如图所示 三棱柱abc a1b1c1是棱长均为a的正三棱柱 四边形a1abb1为正方形 a1b ab1 d是c1c的中点 a1c1d bcd a1d bd g为a1b的中点 a1b dg 又 dg ab1 g a1b 平面ab1d 又 ad 平面ab1d a1b ad 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 连接ge 则eg a1a ge 平面abc dc 平面abc ge dc ge dc a 四边形gecd为平行四边形 ec gd 又 ec 平面ab1d dg 平面ab1d ec 平面ab1d 反思感悟1 三段论是最重要且最常用的推理表现形式 我们以前学过的平面几何与立体几何的证明 都运用了这种推理 只不过在利用该推理时 往往省略了大前提 2 几何证明问题中 每一步都包含着一般性原理 都可以分析出大前提和小前提 将一般性原理应用于特殊情况 就能得出相应结论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图 d e f分别是bc ca ab上的点 bfd a de ba 求证 ed af 证明 因为同位角相等 两直线平行 bfd与 a是同位角 且 bfd a 所以fd ae 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 de ba 且fd ae 所以四边形afde是平行四边形 因为平行四边形的对边相等 ed和af是平行四边形afde的对边 所以ed af 探究一 探究二 探究三 思维辨析 演绎推理在代数证明中的应用 例3 已知定义域为 0 1 的函数f x 同时满足以下三个条件 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若 当x1 0 x2 0且x1 x2 1时 有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称f x 为 友谊函数 1 若已知f x 为 友谊函数 求f 0 的值 2 函数g x 2x 1在区间 0 1 上是否为 友谊函数 并给出理由 3 已知f x 为 友谊函数 且0 x1 x2 1 求证 f x1 f x2 思路分析 第 1 问已知f x 为友谊函数 求f 0 可用赋值法求解 第 2 问给出g x 解析式和定义区间 判断g x 是否为友谊函数 需紧扣定义验证g x 是否满足三个条件 第 3 问要证f x1 f x2 需依据条件 进行变换 注意条件 在变形中的应用 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理 即一连串的三段论 解决这类问题关键是找到每一步推理的依据 大前提 小前提 注意前一推理的结论往往会作为下一个三段论的前提 2 在代数证明问题中 首先找出与物体相关的一般性原理 如基本不等式 函数的性质等 这是大前提 然后利用 三段论 进行推理 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因推理中大 小 前提错误致误 典例 如图 在 abc中 ac bc cd是ab边上的高 求证 acd bcd 易错分析 本题的证明 可以正确运用大前提 即在同一个三角形中 大边对大角 但易忽略ad与bd并不是在同一个三角形内的两条边 即小前提不成立 致使推理过程错误 证明 因为cd ab 所以 adc bdc 90 所以 a acd b bcd 90 所以 a b bcd acd 在 abc中 因为ac bc 所以 b a 即 a b bcd 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得利用三段论推理时 1 大前提必须是真命题 2 小前提是大前提的特殊情形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 跟踪训练已知在梯形abcd中 如图 dc da ad bc 求证 ac平分 bcd 用三段论证明 3 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此f x sin x2 1 是奇函数 以上推理 a 结论正确b 大前提不正确c 小前提不正确d 全不正确解析 函数f x sin