投影与视图.doc

第九章 投影与视图一、本章线索中心投影 点光源投影物体（立体图形） 光照 平行投影 平行光源想象 光线垂直投影面主视图 由前向后看 正投影（视图）俯视图 三视图由上向下看 左视图由左向右看二、学习目标 1以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质； 2.通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。 3通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力； 4通过制作立体模型的课题学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中动手动脑理论结合实际的能力.三、基本知识（一）投影1投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 2平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).3中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影（center projection).4正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.5.正投影的性质：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.（二）三视图1视图：我们从某一角度观察一个物体时，所看到的物象叫做一个物体的视图.2三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.其中，把从正面内得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图，由水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图. 三个视图合起来简称为三视图 3三视图中三个视图之间的位置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方.4. 三视图中三个视图之间的大小关系为：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等.这里的长、宽、高分别对应三视图所示物体的左右之间、前后之间、上下之间的长度.四、学习要点 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际问题联系得非常紧密.之前，我们已经数次接触过“从不同方向看物体”等内容，对投影和视图的知识已有初步的了解，只是还没有明确地接触过一些基本名词术语，对有关基本规律还缺乏归纳总结，所以对这部分知识的学习和掌握正是从感性认识上升为理性认识的过程。投影与视图是既相互独立又相互联系的两个内容 （一）投影1.投影 投影的概念是在影子的基础上再一般化、抽象化而形成的.形成一个物体的影子的因素除这个物体外，还需要有照射光线和形成影子的地方，这就是投影线和投影面. 客观世界中一般的物体形状都是三维的立体图形，而它们的影子则一般是二维平面图形，由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程. “投影”以画图和相关的计算为特征，研究光线下实物与其影子的对应关系如我国古代的“日晷”就是利用日影计时的仪器，再如皮影戏也是利用灯光的照射，把影子反映在银幕上（投影面）的表演艺术。例1某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图9-1所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（）（）（）（）（）图9-1【思路点拨】我们将木棒抽象为线段，将图9-1中平面内两个影子的远端点分别与两根直立木棒的上端点连成直线，两条直线的交点，就是光源，连接光源与第三根木棒的上端点，找到与所在平面的交点，此交点与第三根木棒的下端点连结的线段处就是所求的第三根木棒的影子。【解答示范】选（）【归纳点评】由已知条件我们画出的投影线知道此题属于中心投影。投影现象与我们的生活密切相关，要善于观察生活，理解数学源于生活、应用与生活的数学价值。2 平行投影一般说，投影线是一束射线，其中各条射线的位置关系可以分为两种情形：平行和相交于同一点.因投影线的不同位置关系，一般地可以将投影分为两类：平行投影和中心投影. 我们后面讨论视图时主要用到平行投影，这里所说的“平行”是空间直线的平行， 与平面几何中的平行线不同，空间中一组平行线不全在同一个平面内，但是其中任意两条直线共面.例2.下列四幅图形中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是 （ ）（2006年常州市中考试题）【思路点拨】在平行投影中，物体的影子应该在同一个方向，排除了（B）、（C），且同一时刻、同一地点、不同物体的影子的长度与它们的长度成正比，即高的物体的投影也应较长.【解答示范】选（A）【归纳点评】投影现象在我们的生活中无处不在，要多留心观察. 例3. 小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）. （A）上午12时 （B） 上午10时 （C）上午9时30分 （D） 上午8时【思路点拨】一天中阳光下的影子是发生变化的，太阳东升西落，在上午，随着太阳位置的升高，向日葵的影子的长度会逐渐变短.【解答示范】（D）【归纳点评】由于太阳的东升西落，我们不仅能判断影子的长短，还能判断影子的方向.反过来，也可由影子的方向判断是上午还是下午.3. 利用平行投影的特点进行简单计算太阳光线照射下的投影是平行投影的典型代表.在平行投影下，相同时刻、相同地点、不同物体的影子的长度与它们的长度成正比.根据阳光下物体影子的大小、位置的变化可以判断一天中不同的时间先后；另外，利用平行投影的特点进行简单计算的题目，要注意与相似三角形和三角函数等知识的整合.图9-2例4.在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度.在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1米.（）请你在图9-2中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF.（）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度（精 确到0.1米）.（2007年湖南益阳中考试题）【思路点拨】由于是平行投影，根据连接人头顶C与影子顶端A的直线确定阳光照射的角度，过E点作AC的平行线，便可做出教学楼的影子.利用平行线的性质，可得出所形成的两个三角形是相似的，可以计算出教学楼的高.图9-3【解答示范】 解：（）如图9-3，注意AC与EF平行；（）ACEFABCFDE ，解得：DE18.1518.2（米）. 即教学楼DE的高度为18.2米.【归纳点评】利用平行投影的特点进行简单计算的题目，要注意与相似三角形等知识的结合.例5：如图9-4，某数学兴趣小组，利用树影测量树高已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30夹角 （）求出树高AB；（）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度图9-4（计算结果精确到0.1米，参考数据：1.414， 1.732） （2006江苏宿迁中考试题）【思路点拨】由于题目给出了太阳光线与地面成一定角度，可以考虑转化为解直角三角形的问题来解决.求树影的最大长度时，考虑在树AB倒下的过程中树顶的运动轨迹，哪一个位置遮住的光线最多.【解答示范】 图9-5 解：（）在RtA BC中，BAC90，C30tanC ABACtanC 9 5.2（米） （）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DEAD交AC于E点，（如图9-5） 在RtADE中，ADE90，E30，AE2AD 25.210.4（米） 答：树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米【归纳点评】本题以平行投影的性质作为解决问题的前提，重点考查学生将分散的已知条件集中到一个直角三角形之中及解直角三角形的能力，是需要我们重点训练的内容.第二问与圆的切线知识进行了整合，很有趣味. 4.中心投影 中心投影与位似变换相关.例如当一个三角板平行于投影面时，三角板的中心投影就是三角板在位似变换下的图象，它与三角板是相似图形.中心投影下物体和影子的对应的连线经过投影中心（点光源），物体投影的大小与点光源、物体以及投影面之间的距离有关.例6. 下列那种光线形成的投影不是中心投影（ ）（A） 手电筒 （B）吸顶灯 （C）太阳 （D）路灯 【思路点拨】根据投影线发出的各条射线的位置关系是平行的还是源于同一点的来区分是平行投影还是中心投影.因为太阳光是平行投影，所以它不是中心投影.另外三种发出的光线都是中心投影.【解答示范】 选（C）【归纳点评】 善于感受生活中的各种投影现象，并与数学概念相互联系着去理解，培养我们感悟知识的能力.例7. 楼房、旗杆在路灯下的影子如图9-6所示.试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子.（不写作法，保留作图痕迹）图9-6图9-7【思路点拨】先根据已知条件确定光源的位置再确定小树的影子.【解答示范】如图9-7，A点即为光源位置，线段BC就是小树在路灯下的影子.【归纳点评】中心投影的投影（光）线是有公共端点的射线，这个端点就是点光源。5.利用中心投影的特点进行简单计算时也要注意与相似三角形和三角函数等知识的整合例8如图9-8，直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CDx轴，D为垂足，C(3，1)，则CD在x轴上的影长为_，点C的影子的坐标为_.图9-8【思路点拨】如图，通过DECOEA从而求出DE的长度，即CD在x轴上的影长进而求出E点的坐标，即C点影子的坐标.【解答示范】0.75 (3.75,0)【归纳点评】中心投影与图形变换中讨论过的位似变换相关.6.正投影正投影是与三视图有关的一种投影.正投影的特征是每条投影线都垂直于投影面.这里的投影面是平面，投影线是一组平行线. 自然影子与一般所说的正投影不同，是一片阴影，分不出某些侧棱的投影，我们所说的正投影突出了轮廓线（各条棱）的投影.我们从线、面、体三个角度来看正投影的成像规律： 图9-9如图9-9：（）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1 （）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为ABA2B2 （）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3图9-10如图9-10：（）当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样（）当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变化，面积变小了（）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段图9-11如图9-11：()当正方体在图（1）的位置时，正方体的一个面ABCD与及其相对的另一面投影面平行，这时，正方体的正投影为正方形ABCD，它与正方体的一个面是全等关系()当正方体在如图（2）的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，因此，正方体的正投影为矩形FGCD，线段AB把矩形一分为二例9. 在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）.A)B CD【思路点拨】 想想两条平行的木条的平行投影可以是怎样的，可以是两个点，可以是两条或短或长的平行线，也可以让两条平行的影子重合为一条.注意结合实物模型，自己做做实验也是很好的方法.【解答示范】选（A）【归纳点评】 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，但是平行直线的投影一定平行或是在一条直线上.把两维的问题转化为一维的问题是我们考虑问题的一种方法. （二）三视图1视图”以“视”的基础上的“对应”为特征，建立起三维的基本几何体及简单物体与二维（平面）图形表示方法间的对应关系。 例10.投影线的方向如箭头所示，画出图9-12中圆台的正投影.图9-12【思路点拨】 要注意图中所示箭头的方向。【解答示范】 如图9-13【归纳点评】 图9-13画正投影的过程体现了立体图形与平面图形之间的转化与联系的过程。例11. 在下列几何体中,主视图是圆的是( ). （A） （B） （C） （D）【思路点拨】分析物体主视图的形状时，就是判断从正面看到的这个物体的正投影，可以从物体中哪些部分平行于投影面入手考虑. 当一个几何图形平行于投影面时，它的正投影是与它全等的平面几何图形. 选项图圆锥的正投影是一个三角形，图圆柱的正投影是矩形，图圆台的正投影是梯形，只有图球的正投影是圆。【解答示范】选（D）【归纳点评】三视图是由同一物体在三个不同投影面上的正投影组成的。对物体的三视图的讨论，首先是确定它的形状，其次是考虑它的大小.本题只涉及了形状的确定。 2.三视图三视图是主视图、俯视图和左视图的统称，它是从三个方向分别表示物体形状的一种常用视图. 三视图是由同一物体在三个不同投影面上的正投影组成的. 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图对这三个投影面的相对位置有特殊要求，即三个平面中任何两个平面都互相垂直， 一般地，对于许多物体，通过反映其正面、上面和左面的形状和大小，就可以了解其整体的形状和大小.通过一些的典型实例，就可以理解这种关系在现实生活中的应用。 例12. 下面的三视图所对应的物体是（ ）（A） （B） （C） （D）【思路点拨】由三视图想出物体形状，这是由平面图形得到立体图形的过程，反映了平面图形与立体图形之间的联系. 本题还提示我们，对于三视图的问题不仅要考虑物体与图形的形状，还要考虑大小。【解答示范】选（A）【归纳点评】 三视图反映了立体图形和平面图形之间的联系与转化，这对培养我们的空间想象能力有很直接的帮助. 画三种视图的方法在学习中注意想像和抽象，即把实物抽象成相应的几何体，在此基础上再画其视图.画三种视图时，主视图涉及的是这个立体图形的长和高，左视图涉及的是这个立体图形的宽和高，俯视图涉及的是这个立体图形的长和宽，所以，主、俯视图的长是相等的，主、左视图的高是相等的，左视图的长与俯视图的高是相等的更严格地说，应是“长对正，高平齐，宽相等”看得见部分的轮廊线通常画成实线，看不见部分的轮廊线通常画成虚线. 画三视图是将一个物体从三个方面观察，分别表现这三个方面的“分解”过程；由三视图想出物体的立体形状，则是把物体的三个方面形状“综合”起来的过程.这两个过程是相反的，也是互相联系的.图9-14 例13. 画出下面实物的三视图（图9-14）.【思路点拨】主视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的高度和宽度，所以画某物体的三种视图时，一定要注意：主视图与俯视图要一样长；主视图与左视图要一样高；俯视图与左视图要一样宽。另外还要注意，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线 图9-15【解答示范】 如图9-15：【归纳点评】 画好虚线部分需要具备一定的空间想象能力。 ：例14：如图9-17是图9-16所示的几何体的三种视图，其中是否有错误？若有错误，请指出其错在哪里,并画出正确的三种