高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第五节 定积分与微积分基本定理课件 理.ppt

理数课标版 第五节定积分与微积分基本定理 1 定积分的定义如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式f i x f i 当n 时 上述和式无限接近于某个常数 教材研读 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 f x dx 即f x dx f i 这里a和b分别叫做积分下限和积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做积分变量 f x dx叫做被积式 2 定积分的运算性质 1 kf x dx kf x dx k为常数 2 f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx 3 f x dx f x dx f x dx a c b 3 微积分基本定理一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么f x dx f b f a 这个结论叫做微积分基本定理 又叫牛顿 莱布尼茨公式 可以把f b f a 记为f x 即f x dx f x f b f a 4 定积分的几何意义如图 设阴影部分的面积为s 则 1 s f x dx 2 s f x dx 3 s f x dx f x dx 4 s f x dx g x dx f x g x dx 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 设函数y f x 在区间 a b 上连续 则f x dx f t dt 2 定积分一定是曲边梯形的面积 3 若f x dx 0 那么由y f x 的图象 直线x a 直线x b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方 4 若f x 是偶函数 则f x dx 2f x dx 1 2014陕西 3 5分 定积分 2x ex dx的值为 a e 2b e 1c ed e 1 答案c 2x ex dx x2 ex 1 e1 1 e 故选c 2 若dx 3 ln2 a 1 则a的值是 答案2解析由dx x2 lnx a2 lna 12 ln1 a2 lna 1 3 ln2 a 1 得a2 lna 4 ln2 所以a 2 3 e x dx的值为 答案2e 2解析 e x ex e0 e e e0 1 e e 1 2e 2 4 若 答案 2解析 1 1 2 考点一定积分的计算典例1计算下列定积分 1 dx 2 cosxdx 3 dx 4 dx 5 3x3 4sinx dx 解析 1 因为 lnx 所以dx 2dx 2lnx 2 ln2 ln1 2ln2 2 因为 sinx cosx 所以cosxdx sinx sin sin0 0 3 因为 x2 2x 所以dx 2xdx dx x2 考点突破 4 根据定积分的几何意义 可知dx表示的是如图所示的阴影部分的面积 即圆 x 1 2 y2 1的面积的 故dx 5 易知y 3x3 4sinx是r上的奇函数 所以 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 所以 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 0 方法技巧求定积分的常用方法1 利用定积分的几何意义 求定积分f x dx时 若被积函数的原函数不易求 而被积函数的图象与直线x a x b y 0所围成的曲边梯形的面积易求 则用定积分的几何意义求定积分 2 利用函数图象的对称性 设函数f x 在闭区间 a a 上连续 则由定积分的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得 1 若f x 是偶函数 则f x dx 2f x dx 2 若f x 是奇函数 则f x dx 0 1 1计算定积分 3 2x dx 答案 解析因为 3 2x 所以 3 2x dx 3 2x dx 2x 3 dx 3x x2 x2 3x 1 2设函数f x ax2 c a 0 若f x dx f x0 0 x0 1 则x0的值为 答案解析由已知可得a c a c 又 0 x0 1 x0 考点二定积分几何意义的应用典例2 1 2016唐山统一考试 过点 1 0 的直线l与曲线y 相切 则曲线y 与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为 2 2015陕西 16 5分 如图 一横截面为等腰梯形的水渠 因泥沙沉积 导致水渠截面边界呈抛物线型 图中虚线所示 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 答案 1 2 1 2解析 1 因为y 的导数为y 设切点为p x0 y0 则切线的斜率为 解得x0 1 即切线的斜率为 所以直线l的方程为y x 1 所以所围成的封闭图形的面积为dx 1 2 建立直角坐标系 如图 过b作be x轴于点e bae 45 be 2 ae 2 又oe 5 a 3 0 b 5 2 设抛物线的方程为x2 2py p 0 将点b的坐标代入 得p 故抛物线的方程为y x2 从而曲边三角形oeb的面积为x2dx 又s abe 2 2 2 故曲边三角形oab的面积为 从而图中阴影部分的面积为 又易知等腰梯形abcd的面积为 2 16 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1 2 方法技巧利用定积分求平面图形面积的一般步骤 1 画出草图 2 分析围成平面图形的各曲线与直线 求出交点坐标 确定积分的上 下限 及被积函数 3 将平面图形的面积表示成一个定积分或若干个定积分的和 4 计算定积分 写出答案 2 1曲线y x2与直线y kx k 0 所围成的曲边图形的面积为 则k 答案2 解析由得或则曲线y x2与直线y kx k 0 所围成的曲边梯形的面积为 kx x2 dx k3 即k3 8 所以k 2 2 2若函数f x asin a 0 0 的图象如图所示 则图中的阴影部分的面积为 答案1 解析由图象可知a 1 所以 1 则f x sin f x 的图象与x轴交点的横坐标为 所以图中的阴影部分的面积为dx cos 1 考点三定积分在物理中的应用典例3一辆汽车在高速公路上行驶 由于遇到紧急情况而刹车 以速度v t 7 3t t的单位 s v的单位 m s 行驶至停止 在此期间汽车行驶的路程 单位 m 是 a 1 25ln5b 8 25lnc 4 25ln5d 4 50ln2答案c解析由v t 0得t 4 故所求路程为s v t dt dt 4 25ln5 m 方法技巧定积分在物理中的两个应用 1 求变速直线运动的路程 如果变速直线运动物体的速度为v v t 那么从时刻t a到t b所经过的路程s v t dt 2 变力做功 一物体在变力f x 的作用下