高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教版.ppt

6 2等差数列及其前n项和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 一般地 如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 1 等差数列的定义 知识梳理 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 2 等差数列的通项公式 从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一 个常数 公差 d an a1 n 1 d 由三个数a a b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 a叫做a与b的 3 等差中项 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 等差数列的常用性质 等差中项 n m d ak al am an 2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为的等差数列 6 数列sm s2m sm s3m s2m 构成等差数列 5 等差数列的前n项和公式 md na1 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系 7 等差数列的前n项和的最值 在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在最值 大 小 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 4 已知等差数列 an 的通项公式an 3 2n 则它的公差为 2 1 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6等于a 1b 0c 1d 6 考点自测 答案 解析 2 2016 全国乙卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100等于a 100b 99c 98d 97 答案 解析 3 设数列 an 是等差数列 若a3 a4 a5 12 则a1 a2 a7等于a 14b 21c 28d 35 答案 解析 4 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且s10 10 s20 30 则s30 答案 解析 60 s10 s20 s10 s30 s20成等差数列 且s10 10 s20 30 s20 s10 20 s30 30 10 2 10 30 s30 60 5 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 答案 解析 8 题型分类深度剖析 题型一等差数列基本量的运算 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n n 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 答案 解析 2 2016 北京 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 答案 解析 6 思维升华 等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想解决问题 跟踪训练1 1 设sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则s7等于a 13b 35c 49d 63 答案 解析 2 2016 江苏 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 3 s5 10 则a9的值是 答案 解析 20 题型二等差数列的判定与证明 证明 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解答 引申探究 解答 思维升华 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 答案 解析 2 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 证明 求 an 的通项公式 解答 题型三等差数列性质的应用 命题点1等差数列项的性质 例3 1 2015 广东 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 答案 解析 10 2 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 答案 解析 21 命题点2等差数列前n项和的性质 例4 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 12 s9 45 则s12 答案 解析 114 答案 解析 思维升华 跟踪训练3 1 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和s11等于a 58b 88c 143d 176 答案 解析 答案 解析 典例1 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和s10等于a 45b 60c 75d 90 答案 解析 公差不为0的等差数列 求其前n项和与最值在高考中时常出现 题型有小题 也有大题 难度不大 等差数列的前n项和及其最值 高频小考点6 考点分析 2 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 答案 解析 110 典例2在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 规范解答 课时作业 1 2016 重庆一诊 在数列 an 中 an 1 an 2 a2 5 则 an 的前4项和为a 9b 22c 24d 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 九章算术 是我国古代的数学名著 书中有如下问题 今有五人分五钱 令上二人所得与下三人等 问各得几何 其意思为 已知甲 乙 丙 丁 戊五人分5钱 甲 乙两人所得与丙 丁 戊三人所得相同 且甲 乙 丙 丁 戊所得依次成等差数列 问五人各得多少钱 钱 是古代的一种重量单位 这个问题中 甲所得为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2017 佛山调研 已知等差数列 an 满足a2 3 sn sn 3 51 n 3 sn 100 则n的值为a 8b 9c 10d 11 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 在等差数列 an 中 a9 a12 6 则数列 an 的前11项和s11等于a 24b 48c 66d 132 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知数列 an 满足an 1 an 且a1 5 设 an 的前n项和为sn 则使得sn取得最大值的序号n的值为a 7b 8c 7或8d 8或9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 设数列 an 的前n项和为sn 若为常数 则称数列 an 为 吉祥数列 已知等差数列 bn 的首项为1 公差不为0 若数列 bn 为 吉祥数列 则数列 bn 的通项公式为a bn n 1b bn 2n 1c bn n 1d bn 2n 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等差数列 bn 的公差为d d 0 即2 n 1 d 4k 2k 2n 1 d 整理得 4k 1 dn 2k 1 2 d 0 因为对任意的正整数n上式均成立 所以 4k 1 d 0 2k 1 2 d 0 所以数列 bn 的通项公式为bn 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2015 安徽 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 则数列 an 的前9项和等于 答案 解析 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 13 解得k 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 在等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等差数列 an 的公差为d 则a2 a1 d a3 a1 2d 12 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 1 求等差数列 an 的通项公式 解答 所以由等差数列通项公式可得an 2 3 n 1 3n 5或an 4 3 n 1 3n 7 故an 3n 5或an 3n 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前n项和 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当an 3n 5时 a2 a3 a1分别为 1 4 2 不成等比数列 当an 3n 7时 a2 a3 a1分别为 1 2 4 成等比数列 满足条件 记数列 an 的前n项和为sn 当n 1时 s1 a1 4 当n 2时 s2 a1 a2 5 当n 3时 sn s2 a3 a4 an 5 3 3 7 3 4 7 3n 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当n 2时 满足此式 当n 1时 不满足此式 1 2 3 4 5 6 7 8 9