二、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf

第二篇 数学物理方程 1 第二篇 数学物理方程部分 第二篇 数学物理方程部分 第九章 数学建模 数学物理定解问题习题及解答 第九章 数学建模 数学物理定解问题习题及解答 9 1 长为l的均匀细弦 两端固定于0 xxl 弦中的张力为 0 T 在xh 点处 以横向 力 0 F拉弦 达到稳定后放手任其自由振动 写出初始条件 答案 0 0 0 0 0 0 t F lh x xh T l u F h lx xh l T l 9 2 长为l的均匀杆两端受拉力 0 F作用而作纵振动 写出边界条件 答案 000 xxxx l YSuFYSuF 9 3 长为L的均匀杆 两端有恒定热流进入 其强度为 0 q 写出这个热传导问题的边界条 件 答案 000 xxxx L kuq kuq 9 4 一根长为L的均匀细弦 两端固定于0 xxL 用手将弦于xl 处朝横向拉开距 离h 然后放手任其振动 试写出其定解问题 答案 2 0 0 0 0 0 0 0 ttxxt ua uutL t u x h xxl l u x H LxlxL Ll 9 5 有一均匀细杆 一端固定 另一端受到纵向力 0 sinF tFt 作用 试写出其纵振动 方程与定解条件 答案 2 0 sin 0 0 0 0 0 0 0 ttxxxt t ua uutu l tFu xu x Ys 9 6 有一均匀细杆 一端固定 另一端沿杆的轴线方向被拉长 而静止 设拉长在弹性限 度内 突然放手任其振动 试推导其其纵振动方程与定解条件 答案 2 0 0 0 0 0 0 ttxxxt ua uutu l t u xx u x l 9 7 长为l的理想传输线 一端0 x 接于交流电源 其电动势为 0sin Et 另一端xl 开 路 试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件 答案 22i 00 1 0 0 t ttxxxx l aaE ei LC vvv 9 8 研究细杆导热问题 初始时刻杆的一端温度为零度 另一端温度为 0 T 杆上温度梯度 均匀 零度的一端保持温度不变 另一端与外界绝热 试写出细杆上温度的变化所满足的 方程 及其定解条件 第二篇 数学物理方程 2 答案 22 0 0 0 0 0 0 0 txxx ua uakc utu l tu xT x l xl 9 9 试推导均匀弦的微小横振动方程 答案 具有类型 2 ttxx ua uf 详细自行讨论 9 10 试推导出一维和三维热传导方程 答案 具有类型 22 txxtxxyyzz ua uf ua uuuf 详细自行讨论 9 11 试推导静电场的电势方程 答案 具有类型 xxyy uuf 详细自行讨论 9 12 推导水槽中的重力波方程 水槽长为l 截面为矩形 两端由刚性平面封闭 槽中的水 在平衡时深度为h 提示 取x沿槽的长度方向 取u为水的质点的x方向位移 答案 取x沿槽的长度方向 u为水的质点的x方向位移 则 ttxx ughu 9 11 有一长为l的均匀细弦 一端固定 另一端为弹性支撑 设弦上各点受有垂直于平衡位置 的外力 外力线密度已知 开始时 弦 1 2 处受到冲量I作用 试写出其定解问题 答 22 2 22 0 0 0 00 00 00 2 t uu af x txlt tx u l t uthu l tt x u x Il uxxxl 9 14 由一长为l的均匀细杆 侧面与外界无热交换 杆内有强度随时间连续变化的热源 设在同 一截面上具有同一热源强度及初始温度 且杆的一端保持零度 另一端绝热 试推导定解问题 答 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 uu af x txlt tx u l t utt x u xxxl 9 15 设有高为h半径为R的圆柱体 圆柱体内有稳恒热源 且上下底面温度已知 圆柱侧面绝 热 写出描述稳恒热场分布的定解问题 答 222 2222 0 11 0 0 2 0 0 zz h r R uuuu f rzrRzh rrrrz uAuB u r 第二篇 数学物理方程 3 9 16 设有定解问题 222 222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xx a yy b t tt uuu xayb t txy uu uut ux y ux yxayb 给出与其对应的物理模型 答 边界固定的矩形膜的自由振动 其初始位移于初始速度已知 本章计算机仿真编程实践 本章计算机仿真编程实践 9 18 试求试求泊松方程 22 2 3yxyxu 的一般解 并尝试用计算机仿真的方法求解 用计算机仿真的方法求解 答案 434 1 ii6 12 uf xyg xyxx yy 解 计算机仿真图形程序 可将通解写为 f x iy g x iy x 4 12 y 4 12 x 3 y 2 这里的f g可以取为相 应自变量的任意函数 不妨取为 f 1 g 1 而且解的区域取为 园域 circ ezsurf 1 1 x 4 12 y 4 12 x 3 y 2 circ shading flat view 18 28 仿真图形 第二篇 数学物理方程 4 第 10 二阶线性偏微分方程的分类习题及解答 第 10 二阶线性偏微分方程的分类习题及解答 10 1 判断方程的类型并化简 22222 1 0 2 440 x xxyyxxyyx y ux uy ue uy u 答案 1 22 11 0 22 yx uuuu 2 22 4 0 xx yeyeuuu 10 2 判断下列方程的类型并化简 1 20 xxxyyyxy auauaubucuu 2 23260 xxxyyyxy uuuuu 3 4520 xxxyyyxy uuuuu 答案 1 1 0 cbb xyx uuuu aaa 2 3 430 xyxyuuu 3 2 0yxx uuu 10 3 判断下列常系数方程并化简 1 0 xxyyxy uuuuu 2 2 1 xxyx uuuu a 3 0 yyxy cbb uuuu aa 4 3420 xxxy uuuu 答案 1 22 22 44 xy xxyy a ue v vvv 0 2 22 4 2 2 0 xy y xx yue a v v v 3 22 4 4 2 0 bab xy a c ba yyx cb ue a v vv 4 43 10 xy xy ue vv 0 10 4 用计算机仿真的方法绘出例 10 3 1 中方程 0 22 yyxx uxuy 的特征线 解 计算机仿真程序 X Y Z peaks Z Y 2 X 2 2 第二篇 数学物理方程 5 contour X Y Z 12 title 特征线1 figure X Y Z peaks Z X 2 Y 2 2 contour X Y Z 12 title 特征线2 第 11 章综合习题 第 11 章综合习题 11 111 1 设弦的初始位移为 x 初始速度为 x 求解无限长弦的自由振动 答案 解即为答朗贝尔公式 11 d 22 x at x at u x txatxat a 第二篇 数学物理方程 6 11 2 11 2 半无限长弦的初始位移和速度都是零 端点作微小振动 0 sin x uAt 求解弦的振 动 答案 0 sin xxx utuAtt aaa 11 3 11 3 求解细圆锥形均质杆的纵振动 提示 作变换 ux v 答案 12 f xatfxat u x 11 411 4 半无限长杆的端点受到纵向力 sinF tAt 作用 求解杆的纵振动 答案 0 0 1 d 22 1 dcos 2 x at at x xatatx x tu a a aAxaA t aYSaYS 11 511 5 已知初始电压分布为cosAkx 初始电流分布为cos C Akx L 求解无线长理想传输 线上电压和电流的传播情况 答案 cos cos Ak xat iC LAk xat v 11 611 6 在GLCR 条件下求无限长传输线上的电报方程的通解 答案 11 d 22 R x att L x at exatxat a 11 711 7 已知端点通过电阻R而相接 初始电压分布为cosAkx 初始电流分布为 cosC LAkx 求解半无限长理想传输线上电报方程的解 在什么条件下端点没有反射 遮住情况叫作匹配匹配 答案 匹配的条件是 0 L R C 因此 L C 叫作特征阻抗 本章计算机仿真 本章计算机仿真 11 811 8 试用计算机仿真的方法 将 11 2 的弦振动规律以图形的分式表示出来 解 计算机仿真程序 w pi a 2 A 1 2 x 0 0 01 10 for t 1 0 5 25 u A sin pi t x a plot x u title 弦振动 xlabel x ylabel u 第二篇 数学物理方程 7 pause 0 0000001 end 11 911 9 试用计算机仿真的方法 将 11 5 中的电压分布和电流分布用图形表示出来 解 计算机仿真程序 w pi a 2 A 1 2 k 2 pi C 0 006 L 0 003 x 0 0 001 10 for t 1 0 5 25 subplot 2 1 1 v A cos k t x a plot x v title 电压动态分布 xlabel x ylabel v pause 0 0000001 第二篇 数学物理方程 8 subplot 2 1 2 i sqrt C L A cos k t x a plot x i title 电流动态分布 xlabel x ylabel i pause 0 0000001 end 第 12 章习题解答 第 12 章习题解答 12 112 1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 XxX xxx l XxX xxx l XxX xx ax b 1 第二篇 数学物理方程 9 答案 答案 2 2 2 2121 1 0 1 2 sin 22 2 0 1 2 cos 3 1 2 sin nn nn nn nn nXxx ll nn nXxx ll nn nXxxa baba L L L 12 212 2 长为l的杆 一端固定 另一端受力 0 F而伸长 求解放手杆的振动 答案 0 22 0 11 81 22 1 cossin 21 n n natnx Fl YSnll 12 312 3 长为l的的弦 两端固定 弦中张力为T 在距一端为 0 x的一点以力 0 F把弦拉开 然 后突然撤除此力 求弦的振动 答案 初始位移 00 0 F lx x lTxx 000 00 22 1 2 1 sinsincos n F x lxlTxxl Fln xn xn at u x t Tnlll 12 412 4 一个长宽各为a的方形膜 边界固定 膜的振动方程为 222 222 0 0 0 uuu xaya txy 3 0 0 4 t u xxxl 第二篇 数学物理方程 10 解 解 用分离变量法解 令 5 u x tT t X x 并将 5 代入 2 得固有值问题 0 6 0 0 7 XxX x XX l 及 2 8 T taT t 定义单位方形区域 b squareb3 左右零边界条件 顶底零导数边界条件 c 1 a 0 f 0 d 1 l 10 A 2 p e t initmesh squareg x p 1 注意坐标向量都是列向量 y p 2 u0 A sin 5 pi l x ut0 0 n 31 tlist linspace 0 5 n 在0 5之间产生n个均匀的时间点 u1 hyperbolic u0 ut0 tlist b p e t c a f d delta 1 0 1 1 uxy tn a2 a3 tri2grid p t u1 1 delta delta gp tn a2 a3 newplot 建立新的坐标系 newplot M moviein n umax max max u1 umin min min u1 第二篇 数学物理方程 30 for i 1 n 注意 符号不可省略 if rem i 10 0 当n是10的整数倍时 在命令窗口打印出相应的数字 fprintf d i end pdeplot p e t xydata u1 i zdata u1 i zstyle continuous mesh on xygrid on gridparam gp colorbar off axis 1 1 1 1 umin umax caxis umin umax M i getframe if i n fprintf done n end end nfps 2 movie M 10 nfps 12 2612 26 试计算机仿真求解习题 12 6 并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来 解 计算机仿真程序 第二篇 数学物理方程 31 g squareg 定义单位方形区域 b squareb3 左右零边界条件 顶底零导数边界条件 c 1 a 0 f 0 d 1 l 10 h 2 p e t initmesh squareg x p 1 注意坐标向量都是列向量 y p 2 u0 4 h l 2 x l x ut0 0 n 31 tlist linspace 0 5 n 在0 5之间产生n个均匀的时间点 u1 hyperbolic u0 ut0 tlist b p e t c a f d delta 1 0 1 1 uxy tn a2 a3 tri2grid p t u1 1 delta delta gp tn a2 a3 newplot 建立新的坐标系 newplot M moviein n umax max max u1 umin min min u1 for i 1 n 注意 符号不可省略 if rem i 10 0 当n是10的整数倍时 在命令窗口打印出相应的数字 fprintf d i end pdeplot p e t xydata u1 i zdata u1 i zstyle continuous mesh on xygrid on gridparam gp colorbar off axis 1 1 1 1 umin umax caxis umin umax M i getframe if i n fprintf done n end end nfps 2 movie M 10 nfps 读者也可以直接利用本题的答案 编出仿真图形结果 答案 33 0 32 21 21 cossin 21 n hnatnx u x t nll 12 2712 27 试计算机仿真求解习题 12 17 并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来 第二篇 数学物理方程 32 解 计算机仿真程序 g squareg 定义单位方形区域 b squareb3 左右零边界条件 顶底零导数边界条件 c 1 a 0 f 0 d 1 l 10 v0 12 p e t initmesh squareg x p 1 注意坐标向量都是列向量 y p 2 u0 v0 ut0 0 n 31 tlist linspace 0 5 n 在0 5之间产生n个均匀的时间点 u1 hyperbolic u0 ut0 tlist b p e t c a f d delta 1 0 1 1 uxy tn a2 a3 tri2grid p t u1 1 delta delta gp tn a2 a3 newplot 建立新的坐标系 newplot M moviein n umax max max u1 umin min min u1 for i 1 n 注意 符号不可省略 if rem i 10 0 当n是10的整数倍时 在命令窗口打印出相应的数字 fprintf d i end pdeplot p e t xydata u1 i zdata u1 i zstyle continuous mesh on xygrid on gridparam gp colorbar off axis 1 1 1 1 umin umax caxis umin umax M i getframe if i n fprintf done n end end nfps 2 movie M 10 nfps 第二篇 数学物理方程 33 12 2812 28 试计算机仿真求解习题 12 18 并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来 解 计算机仿真程序 a 1 4 b 2 A 1 8 B 0 6 X Y meshgrid 0 0 1 10 v0 0 for n 0 500 v sinh 2 n 1 pi a X b 1 2 n 1 3 sinh 2 n 1 pi a b sin 2 n 1 pi Y b v0 v0 v end u B sinh pi b Y a sinh pi b a sin pi X a 8 A b 2 pi 3 v0 meshz X Y u title u的分布 xlabel x ylabel y 第二篇 数学物理方程 34 zlabel u 第 13 章 幂级数解法 本征值问题习题及解答 第 13 章 幂级数解法 本征值问题习题及解答 13 113 1 将下列二阶线性常微分方程化成施 刘型方程的形式 1 超几何级数微分方程 高斯方程 1 1 0 x xyxyy 2 汇合超几何级数微分方程 0 xyx yy 答案答案 11 1 1 1 1 0 2 0 xx ddy xxxxy dxdx ddy x exey dxdx 第二篇 数学物理方程 35 13 2 13 2 求解下列本征值问题 并证明各题中不同的本征函数相互正交 并求出模的平方 0 0 1 2 0 0 0 XxX xXxX x X aX bX aX lhX l 答案答案 1 本征函数 sin 1 2 n n Xxxan b a L模 2 2 n Nba 21 本征函数 sin 1 2 n nn x x Xxnx l L为方程0 xctgx 的根 l h 模 2 1 1sin2 22 nn n l Nx x 计算机仿真实践 计算机仿真实践 13 313 3 利用计算机仿真验证习题 13 213 2 的本征函数的正交性 并求出其模 解 计算机仿真程序 主要讨论和验证 1 对于 2 方法是类似的 验证正交性质 syms n k x a 0 b 12 for n 1 100 for k 1 100 if n k y sin n pi b a x a sin k pi b a x a w int y x 12 12 end end end 求模 syms n k x a 0 b 12 for n 1 100 y sin n pi x a b a m0 sqrt int y 2 x 12 12 end 第 14 章 格林函数法习题及解答 第 14 章 格林函数法习题及解答 14 1 14 1 在圆R 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 第二篇 数学物理方程 36 2 0 xxyya uuua ug 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 20 0 0 xxyyy uuuyuf x 答案答案 0 0 22 0 f xy u x ydx xxy 14 314 3 在圆形域a 上 分别求解方程 2 0u 使满足边界条件 cos a uA 答案 cos A u a 14 414 4 在圆形域a 上 分别求解方程 2 0u 使满足边界条件 sin a uAB 答案答案 sin B uA a 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 14 5 14 5 在圆 a 内 利用计算机仿真的方法求解拉普拉斯方程的第一边值问题 2 0 1 xxyya uuuau 内 利用计算机仿真的方法求解拉普拉斯方程的第一边值问题 20 0 0 10 xxyyy uuuyu 用图形把结果表示出来 答案答案 0 22 0 10 y u x ydx xxy 解 计算机仿真程序 clf x 4 0 5 4 y x syms x0 Z int 10 y pi x x0 2 y 2 x0 inf inf 第 15 章综合习题 第 15 章综合习题 第二篇 数学物理方程 37 用傅氏变换法求解下列 15 1 15 2 15 3 题 用拉氏变换法求解下列 15 4 15 5 15 6 题 15 1 15 1 二维波动 初始速度为零 初始位移在圆1 以内为 1 在圆外为零 试求 0 u 答案 答案 0 2 2 1 1 1 1 1 ta uat ta a t 15 2 15 2 半无界杆 杆端0 x 有谐变热流sinBt 进入 求长时间以后的杆上温度分布 u x t 答案 答案 2 2 2 sin 24 xa aB etx ak 15 3 15 3 研究半无限长细杆导热问题 杆端0 x 温度保持为零 初始温度分布为 1 x B e 答案 22 22 22 2222 atxx Batxatxx eeerfce erfcBerf a ta ta t 15 4 15 4 求解一维无界空间中的扩散问题即 2 0 0 txxt ua uux 答案答案 2 2 4 1 d 2 x a t u x te a t 15 515 5 求解一维无界空间的有源输运问题 2 0 0 txxt ua uf x t u 答案 答案 2 2 4 1 d d 2 x t at u x tef at 15 615 6 求解无界弦的受迫振动 2 00 ttxxttt ua uf x t ux ux 答案答案 0 111 dd d 222 x attx a t x atx a t xatxatf aa 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 15 7 15 7 利用计算机仿真方法 Matlab 中的傅里叶变换法 对习题 15 1 进行求解 解 计算机仿真图形显示 Assume a 2 仿真求解由读者思考 下面仅仅给出仿真显示 a 12 0 t 0 1 0 01 2 if t 1 0 a u 1 a t sqrt a t 2 1 end plot t u 图形 第二篇 数学物理方程 38 15 815 8 利用计算机仿真 Matlab 等 拉普拉氏变换法对习题 15 6 进行求解 解 计算机仿真程序 任意假设 f x t A 2 56 fai x x pusi x B 6 7 仿真求解由读者思考 下面仅仅给出仿真显示 可以推出此情况下的解为u x t x B t A 2 t 2 仿真显示为 A 2 56 B 6 7 x t meshgrid 0 0 1 12 u x B t A 2 t 2 mesh u 第二篇 数学物理方程 39 第 16 章综合习题 第 16 章综合习题 16 116 1 求解一半径维a的无限长导体圆柱壳内的电场分布 设柱面上的电势为 1 2 0 2 u u ux 答案 1 1212 222 2 tan 2 uuuuay u axy 16 216 2 试求垂直于z平面 并与z平面交于圆 1z 及 1 5 2z 的两个圆柱之间的静 电场 设两柱面之间的电势差为 1 答案 1 4 1 ln ln24 z u z 计算机仿真实践 计算机仿真实践 16 316 3 计算机仿真方法求解例 16 2 1 解 计算机仿真程序 例 16 2 1 解 计算机仿真程序 u0 50 a 100 0 X Y meshgrid 2 5 0 1 2 5 u u0 pi atan 2 a Y X 2 Y 2 a 2 mesh u 第二篇 数学物理方程 40 16 4 16 4 计算机仿真方法求解例 16 2 3 解 计算机仿真程序 例 16 2 3 解 计算机仿真程序 v1 5 v2 13 a 56 0 X Y meshgrid 0 0 1 5 u v1 v2 2 v1 v2 pi atan 2 a X sin X X 2 Y 2 mesh u 16 5 16 5 计算机仿真求方法解习题 16 1 解 计算机仿真程序 习题 16 1 解 计算机仿真程序 v1 8 v2 6 a 26 0 第二篇 数学物理方程 41 X Y meshgrid 0 0 1 12 u v1 v2 2 v1 v2 pi atan 2 a Y a 2 X 2 Y 2 mesh u 16 6 16 6 计算机仿真方法求解习题 16 2 解 参考计算机仿真程序 习题 16 2 解 参考计算机仿真程序 X Y meshgrid 1 0 2 3 u 1 0 2 0 log 2 log X 1 4 0 2 Y 2 X 4 0 2 Y 2 mesh u 第 17 章 综合习题 第 17 章 综合习题 17 117 1 在什么样的曲线上 以下泛函取得极值 2 2 1 2 d 1 0 2 1 J y xyxyx yy 答案 2 1 6 x y xx 17 217 2 求下列泛函满足边界条件的极值曲线 3 1 3 d 9 1 1 3 2 J y xxy y x yy 答案 解出 3 2yx 但不满足边界条件 故所求变分问题无解 17 317 3 求下列泛函的极值曲线 第二篇 数学物理方程 42 2 22 0 2 22 0 1 23 0 1 d 0 1 2 1 2 2 d 1 1 2 0 3 d 0 1 1 4 J y xyyx yy J y xyyyyx yy J y xxyxyy 答案 1 22 33 sinh 2 cossin 2 3 1 31 sinh1 x xCxyxyyx 17 417 4 求连接一平面上两定点间的曲线段中最短的曲线 答案 12 yc xc 即为直线 计算机仿真实践 计算机仿真实践 17 517 5 计算机仿真求解 例 17 2 1例 17 2 1 并把结果用图形表示出来 解 计算机仿真程序 取值 c1 c2如下 严格的值应该根据初始条件得出 c1 1 2 c2 15 78 t 0 2 pi 99 pi x c1 2 0 t sin t c2 y c1 2 0 1 cos t plot x y 17 617 6 计算机仿真求解 例 17 2 2例 17 2 2 并把结果用图形表示出来 解 计算机仿真程序 由例题 17 2 2容易得到极值函数为 for n 1 5 x 0 0 1 10 yn sqrt 2 sin n pi x plot x yn end 第二篇 数学物理方程 43 由例题 17 2 2容易得到所求泛函的极值为 n pi 2 17 717 7 计算机仿真求解 例 17 3 1 例 17 3 1 并把结果用图形表示出来 解 计算机仿真程序 x 0 0 1 10 y x 1 x 2 6 plot x y 17 81