高考数学必考点解题方法秘籍 二次函数1 理(1).doc

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：二次函数1对称轴 例1.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） a.x=1 b.x=-2 c.x=3 d.x=-32.若抛物线的对称轴是则（ ） a.2 b. c.4 d.函数图像1.如图1所示二次函数的图象，则有（ ） 图-1 图-2 a.a+b+c0 d.a+b+c的符号不定2.如图2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ） a.a0，b0，b24ac b.a0，c0，b24ac c.a0，c0，b24ac d.a0，b0，c4ac练习1抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 .2.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性质说得全对的是（ ）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交3.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为（ ） a. b. c. d.二次函数单调性例函数是单调函数的充要条件是 （ ） 分析：对称轴，函数是单调函数，对称轴在区间的左边，即，得变式 1已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）（a） (b) (c) (d) 2已知函数y是单调递增函数, 则实数a的取值范围是 ( )a. b. c. d. 韦达定理一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么，(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q 例 求的两个根的（1）倒数和（2）平方和。评注：两根倒数和，平方和与两根的和与积之间的关系。拓广：常见变换：x12+x22=(x1+x2)2+=x13+ x23=(x1+x2)3-3 x1x2 (x1+x2)(x1+1) (x2+1)= x1x2+(x1+x2)+1| x1- x2|=变式1已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 2若关于x的方程(m22)x2(m2)x10的两个根互为倒数，则m 变式 设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)+ 变式.已知二次函数和的图象都经过x轴上两上不同的点m，n，求a，b的值.二次函数恒大于（小于）零例、不等式对一切恒成立，则a的取值范围是_例.不论x为值何，函数（a0）的值永远小于0的条件是（ ） a.a0，0 b.a0,0 ca0 d.a0,0例 已知f（x）ax2bxc的图象过点（1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式xf（x）对一切实数x都成立？解：f（x）的图象过点（1，0）， ab+c=0 xf（x）对一切xr均成立，当x=1时也成立，即1a+b+c1.故有abc1. 由得b=，c=a. f（x）ax2xa.故xax2xa对一切xr成立， 也即恒成立解得a=.c=a=.存在一组常数a=，b=，c=，使不等式xf（x）对一切实数x均成立.评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法. 变式 二次函数的图像的顶点在x轴上，且a,b,c为的三边长，则为 (a)锐角三角形 (b)直角三角形 (c)钝角三角形 (d)等腰三角形小结 二次函数的图象是抛物线, 以直线为对称轴, 顶点为它与轴交点的横坐标是方程的根. 当且时, 有恒成立;当且时, 恒成立.二次函数常用的另两种表达形式为:顶点式: 其中为抛物线顶点双根式: 其中、为方程的两根.二次函数最值问题：二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况设，求在上的最大值与最小值分析：将配方，得对称轴方程当时，抛物线开口向上若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时当时 典型例题一、求二次函数在闭区间上的值域（一）正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动1轴定区间定例1已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值解析：时， 所以时，时，2轴定区间动例2求函数在区间上的最小值解析：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，3轴动区间定例3求函数在上的最大值解析：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3）时；由图可知；即4轴动区间动例4已知，求的最小值解析：将代入u中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值例5已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值解析：（1）若，不合题意（2）若则由，得；（3）若时，则由，得综上知或例6已知函数在区间上的值域是，求m，n的值解析：方法一：讨论对称轴中1与的位置关系若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，方法二：由，知，则，f(x)在上递增所以解得评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了例7已知函数的最大值为，求的值 解析：令，问题就转二次函数的区间最值问题令，对称轴为，当，即时，得或（舍去）当，即时，函数在单调递增，由，得当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或一元二次方程、一元二次不等式解的情况：的图象（）方程的解，无解的解或的解一元二次方程（）根的分布：根的分布图象充要条件或或或根的分布两根有且仅有一根在内图象充要条件或或一元二次方程根的基本分布零分布 一元二次方程（）的两个实数根为、，则 、均为正0，0，0； 、均为负0，0，0；、一正一负0。例关于的一元二次方程有两个负数根，求实数取值范围。解：设两个实数根为、，依题意有 一元二次方程实根的非零分布分布问题1：什么条件下，二次方程两个实数根、一个比大，另一个比小（是给定的常数）？ 上面问题等价于：什么条件下，二次函数图像与轴两个交点分布在点两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。tx2x1tx2x1 显然，当时，； 当时，。 问题4：什么条件下，二次方程两个实数根、满足，（其中、为给定常数且）？构造二次函数，结合图形，x2tsx1tsx2x1 当时，；当时，。 例：为实数，关于的二次方程有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求的取值范围。 解：构造二次函数，结合图形，有，201 例：已知为整数，且方程两根都大于且小于，求值。解：显然，。构造二次函数，则其图像与轴两个交点均介于、之间（不包括两个端点）。如图，则有 （,0）(,0)例 已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.解：设，（1）当0时方程的根为1，不满足条件.（2）当0有且只有一根在区间（0,1）内又10有两种可能情形得2或者得不存在综上所得，2例 已知二次函数：若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；例8(1)方程的两根均大于，求实数的范围(2)方程的两根一者大于，一者小于求实数的范围(3)方程的两根一者在内，一者在（6，8）内，求实数的范围解析：令（1）由或 得：；（2）由或得：；（3）由得：例9关于的方程有实根，求实数的取值范围解析：令（），原方程有实根等价于方程有正根令，则恒过点方法一：得：方法二：要使方程有正根，则方程的较大根大于即可；故由得：例10关于的方程至少有一个负根，求实数的取值范围解析：令，恒过点方法一：时， 成立时，得：；时，恒成立；综上可知：方法二：时， 成立时，要使方程至少有一个负根等价于方程的较小根小于即可故或得；综上可知：例11已知函数与非负轴至少有一个交点，求实数的取值范围解析：方法一：方程有一个实根是，则得：；方程有两个正根，则得：；方程有一个正根一个负根，则得：；综上可知：方法二：考虑命题的对立面：方程没有实根或两个负根；方程没有实根，则得：；方程有两个负根，则得；故或因此函数与非负轴至少有一个交点实数的取值范围是：例12关于的方程只有较小的根在内，求实数的取值范围解析：时，此时方程为，两根，不成立；由得；综上可知：例13 关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围解析：令，端点：；得：；在开区间上（i）在上仅有一个实根，则得： ；（ii）在上有两个相等的实根，则得：；（iii）在上有两个不等的实根，则得：；综上可知：练习1.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值