高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程课件 理 北师大版.ppt

9 8曲线与方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 曲线与方程的定义一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立如下的对应关系 知识梳理 那么 这个方程叫做 这条曲线叫做 曲线的方程 方程的曲线 这个方程的解 曲线上的点 2 求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x y 所求方程 1 曲线c是方程f x y 0的曲线 是 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 的充分不必要条件 2 曲线的交点与方程组的关系 1 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解 即两个曲线方程组成的方程组的实数解 2 方程组有几组解 两条曲线就有几个交点 方程组无解 两条曲线就没有交点 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 y0 0是点p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 2 方程x2 xy x的曲线是一个点和一条直线 3 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2 y2 4 方程y 与x y2表示同一曲线 5 y kx与x y表示同一直线 考点自测 1 教材改编 已知点f 0 直线l 点b是l上的动点 若过点b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m 则点m的轨迹是 答案 解析 a 双曲线b 椭圆c 圆d 抛物线 几何画板展示 a 两条直线b 两条射线c 两条线段d 一条直线和一条射线 解析 答案 3 2016 南昌模拟 已知a 2 0 b 1 0 两点 动点p不在x轴上 且满足 apo bpo 其中o为原点 则p点的轨迹方程是a x 2 2 y2 4 y 0 b x 1 2 y2 1 y 0 c x 2 2 y2 4 y 0 d x 1 2 y2 1 y 0 答案 解析 由角的平分线性质定理得 pa 2 pb 整理得 x 2 2 y2 4 y 0 故选c 几何画板展示 4 过椭圆 a b 0 上任意一点m作x轴的垂线 垂足为n 则线段mn中点的轨迹方程是 答案 解析 设mn的中点为p x y 几何画板展示 几何画板展示 5 2016 唐山模拟 设集合a x y x 3 2 y 4 2 b x y x 3 2 y 4 2 c x y 2 x 3 y 4 若 a b c 则实数 的取值范围是 解析 答案 题型分类深度剖析 题型一定义法求轨迹方程 例1如图 动圆c1 x2 y2 t2 1 t 3 与椭圆c2 y2 1相交于a b c d四点 点a1 a2分别为c2的左 右顶点 求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程 解答 几何画板展示 由椭圆c2 y2 1 知a1 3 0 a2 3 0 设点a的坐标为 x0 y0 由曲线的对称性 得b x0 y0 设点m的坐标为 x y 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式 由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线 再设出标准方程 用待定系数法求解 思维升华 跟踪训练1已知两个定圆o1和o2 它们的半径分别是1和2 且 o1o2 4 动圆m与圆o1内切 又与圆o2外切 建立适当的坐标系 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明轨迹是何种曲线 解答 几何画板展示 如图所示 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由 o1o2 4 得o1 2 0 o2 2 0 设动圆m的半径为r 则由动圆m与圆o1内切 有 mo1 r 1 由动圆m与圆o2外切 有 mo2 r 2 mo2 mo1 3 4 o1o2 点m的轨迹是以o1 o2为焦点 实轴长为3的双曲线的左支 题型二直接法求轨迹方程 1 求椭圆c的标准方程 解答 2 若动点p x0 y0 为椭圆c外一点 且点p到椭圆c的两条切线相互垂直 求点p的轨迹方程 解答 几何画板展示 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程 要注意翻译的等价性 通常将步骤简记为建系设点 列式 代换 化简 证明这五个步骤 但最后的证明可以省略 如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步 求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性 思维升华 跟踪训练2在平面直角坐标系xoy中 点p a b 为动点 f1 f2分别为椭圆 a b 0 的左 右焦点 已知 f1pf2为等腰三角形 解答 1 求椭圆的离心率e 设f1 c 0 f2 c 0 c 0 由题意 可得 pf2 f1f2 2 设直线pf2与椭圆相交于a b两点 m是直线pf2上的点 满足 2 求点m的轨迹方程 解答 几何画板展示 题型三相关点法求轨迹方程 例3 2016 大连模拟 如图所示 抛物线c1 x2 4y c2 x2 2py p 0 点m x0 y0 在抛物线c2上 过m作c1的切线 切点为a b m为原点o时 a b重合于o 当x0 1 时 切线ma的斜率为 解答 1 求p的值 因为抛物线c1 x2 4y上任意一点 x y 的切线斜率为y 且切线ma的斜率为 由 得p 2 2 当m在c2上运动时 求线段ab中点n的轨迹方程 a b重合于o时 中点为o 解答 几何画板展示 相关点法 的基本步骤 1 设点 设被动点坐标为 x y 主动点坐标为 x1 y1 2 求关系式 求出两个动点坐标之间的关系式 3 代换 将上述关系式代入已知曲线方程 便可得到所求动点的轨迹方程 思维升华 跟踪训练3设直线x y 4a与抛物线y2 4ax交于两点a b a为定值 c为抛物线上任意一点 求 abc的重心的轨迹方程 解答 几何画板展示 又点c x0 y0 在抛物线上 3y 4a 2 4a 3x 12a 将点c的坐标代入抛物线的方程得 abc的重心的轨迹方程为 典例 12分 已知抛物线y2 2px经过点m 2 2 椭圆 1的右焦点恰为抛物线的焦点 且椭圆的离心率为 分类讨论思想在曲线方程中的应用 思想与方法系列22 1 求抛物线与椭圆的方程 2 若p为椭圆上一个动点 q为过点p且垂直于x轴的直线上的一点 0 试求q的轨迹 思想方法指导 规范解答 1 由含参数的方程讨论曲线类型时 关键是确定分类标准 一般情况下 根据x2 y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论 2 等价变换是解题的关键 即必须分三种情况讨论轨迹方程 3 区分求轨迹方程与求轨迹问题 返回 此轨迹是两条平行于x轴的线段 8分 此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x 2 2 的部分 10分 此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x 2 2 的部分 12分 返回 课时作业 1 2016 宜春质检 设定点m1 0 3 m2 0 3 动点p满足条件 pm1 pm2 a 其中a是正常数 则点p的轨迹是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a 椭圆b 线段c 椭圆或线段d 不存在 1 2 若曲线c上存在点m 使m到平面内两点a 5 0 b 5 0 距离之差的绝对值为8 则称曲线c为 好曲线 以下曲线不是 好曲线 的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a x y 5b x2 y2 9c d x2 16y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 银川模拟 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则q点的轨迹方程是a 2x y 1 0b 2x y 5 0c 2x y 1 0d 2x y 5 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 4 2016 太原模拟 已知圆锥曲线mx2 4y2 4m的离心率e为方程2x2 5x 2 0的根 则满足条件的圆锥曲线的个数为a 4b 3c 2d 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知点a 1 0 直线l y 2x 4 点r是直线l上的一点 若 则点p的轨迹方程为a y 2xb y 2xc y 2x 8d y 2x 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 平面直角坐标系中 已知两点a 3 1 b 1 3 若点c满足 1 2 o为原点 其中 1 2 r 且 1 2 1 则点c的轨迹是a 直线b 椭圆c 圆d 双曲线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 7 曲线c是平面内与两个定点f1 1 0 和f2 1 0 的距离的积等于常数a2 a 1 的点的轨迹 给出下列三个结论 曲线c过坐标原点 曲线c关于坐标原点对称 若点p在曲线c上 则 f1pf2的面积不大于a2 其中 所有正确结论的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为原点o到两个定点f1 1 0 f2 1 0 的距离的积是1 且a 1 所以曲线c不过原点 即 错误 因为f1 1 0 f2 1 0 关于原点对称 所以 pf1 pf2 a2对应的轨迹关于原点对称 即 正确 8 2017 西安月考 已知 abc的顶点a b坐标分别为 4 0 4 0 c为动点 且满足sinb sina sinc 则c点的轨迹方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 则 ac bc 10 8 ab 所以满足椭圆定义 则a 5 c 4 b 3 则轨迹方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f1 f2是它的两个焦点 o为坐标原点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知圆的方程为x2 y2 4 若抛物线过点a 1 0 b 1 0 且以圆的切线为准线 则抛物线焦点的轨迹方程是 答案 解析 1 2 11 已知实数m 1 定点a m 0 b m 0 s为一动点 点s与a b两点连线斜率之积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 求动点s的轨迹c的方程 并指出它是哪一种曲线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 2 若m 问t取何值时 直线l 2x y t 0 t 0 与曲线c有且只有一个交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 设m的坐标为 x y p的坐标为 xp yp 点p在圆上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设点f 1 0 若直线y kx m与轨迹e相切于点q 且与直线x 4相交于点r 求证 以qr为直径的圆经过定点f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 如图 设点q的坐标为 x0 y0 依题意m 0且 0 则 64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 整理得4k2 3 m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得y 4k m r 4 4k m qf rf 以qr为直径的圆过定点f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2016 河北衡水中学三调 如图 已知圆e x 2 y2 16 点f 0 p是圆e上任意一点 线段pf的垂直平分线和半径pe相交于点q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 求动点q的轨迹 的方程 连接qf 根据题意 qp qf 则 qe qf qe qp 4 ef 2 故动点q的轨迹 是以e f为焦点 长轴长为4的椭圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设直线l与 1 中轨迹 相交于a b两点 直线oa l ob的斜率分别为k1 k k2 其中k 0 oab的面积为s 以oa ob为直径的圆的面积分别为