高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角课件 新人教A版必修4.ppt

1 1 1任意角 1 了解任意角的概念 能区分各类角 2 掌握象限角的概念 并会用集合表示象限角 3 理解终边相同的角的含义及其表示 并能解决有关问题 1 2 3 1 角 1 定义 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角 射线的端点叫做角的顶点 起始位置的射线叫做角的始边 终止位置的射线叫做角的终边 如图 1 2 3 2 分类 如下表 3 记法 为了简单起见 在不引起混淆的前提下 可用一个希腊字母表示 如 也可用3个大写的英文字母表示 字母前面要写 其中中间字母表示角的顶点 如 aob def 1 2 3 名师点拨1 确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量 2 零角的始边和终边重合 但始边和终边重合的角不一定是零角 如周角等 3 角的范围由0 360 推广到任意角后 角的加减运算就类似于实数的加减运算 4 画图表示角时 应注意箭头的方向不可丢掉 箭头方向代表角的正负 1 2 3 做一做1 将射线om绕端点o按逆时针方向旋转120 所得的角的大小为 a 120 b 120 c 60 d 240 答案 a 1 2 3 2 象限角使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限角 即象限角的终边在第一 第二 第三或第四象限内 不与坐标轴重合 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 做一做2 30 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角答案 d 1 2 3 3 终边相同的角 1 研究终边相同的角的前提条件是角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 2 终边相同的角的集合 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s k 360 k z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 名师点拨理解集合s k 360 k z 要注意以下几点 1 式中角 为任意角 2 k z这一条件必不可少 3 k 360 与 之间是 如k 360 30 应看成k 360 30 即与 30 角终边相同 4 当 与 的终边相同时 k 360 k z 反之亦然 1 2 3 做一做3 1 下列与95 角终边相同的角是 a 5 b 85 c 395 d 265 答案 d 做一做3 2 与210 角的终边相同的角连同210 角在内组成的角的集合是 答案 210 k 360 k z 1 象限角与终边在坐标轴上的角的集合表示剖析 1 象限角 2 终边在坐标轴上的角 2 角 的终边相同 与 不一定相等剖析因为角 的终边相同 所以将角 终边旋转 逆时针或顺时针 k k z 周可得角 所以角 的数量关系为 k 360 k z 即角 的大小相差360 的k k z 倍 因此 与 不一定相等 3 锐角 0 90 的角 小于90 的角 第一象限的角的区别剖析 受初中所学角的影响 往往在解决问题时 考虑的角仅仅停留在锐角 直角 钝角上 将角扩展到任意角后 可用集合的观点来区别上述各类角 锐角的集合可表示为 0 90 0 90 的角的集合可表示为 0 90 小于90 的角的集合可表示为 90 其中包括锐角和零角以及所有的负角 第一象限的角的集合可表示为 k 360 k 360 90 k z 其中有正角 也有负角 名师点拨要正确区分易混的概念 如锐角一定是第一象限的角 而第一象限的角不全是锐角 如 350 730 都是第一象限角 但它们都不是锐角 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 在0 360 之间 求出一个与下列各角终边相同的角 并指出它们是第几象限角 1 908 28 2 734 解 1 908 28 188 28 2 360 则188 28 即为所求角 因为188 28 是第三象限角 所以908 28 也是第三象限角 2 734 346 3 360 则346 即为所求角 因为346 是第四象限角 所以 734 也是第四象限角 题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断角 的终边所在位置的步骤 1 当0 360 时 依据下表来判断 题型一 题型二 题型三 题型四 2 当 0 或 360 时 将 化为k 360 k z 0 360 转化为判断角 的终边所在的位置 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 330 是第象限角 1065 是第象限角 解析 330 360 30 30 是第一象限角 330 是第一象限角 1065 2 360 345 345 是第四象限角 1065 是第四象限角 答案 一四 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 若角 的终边在函数y x的图象上 试写出角 的集合 分析 思路一 函数y x的图象平分第二 四象限 可以先在0 360 范围内找出满足条件的角 再写出满足条件的所有角 并化简 思路二 结合图形 与135 相差180 的整数倍 由此写出集合 解法一因为y x的图象平分第二 四象限 所以在0 360 范围内所对应的两个角分别为135 及315 从而角 的集合为s k 360 135 或 k 360 315 k z 2k 180 135 或 2k 1 180 135 k z 即s k 180 135 k z 题型一 题型二 题型三 题型四 解法二 如图 因为角 的终边在函数y x的图象上 所以角 的集合为s k 180 135 k z 反思写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法 一是分别写出每条终边所代表的角的集合 再取并集 二是把该直线看作是x轴绕原点旋转一个角 根据终边在x轴上角的集合为 k 180 k z 写出终边在该直线上的角的集合为 k 180 k z 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 如图 1 分别写出终边落在oa ob位置上的角的集合 2 写出终边落在阴影部分 包括边界 的角的集合 分析 1 根据图示 首先确定终边满足条件的一个角 再利用终边相同的角的集合进行表示 2 首先确定终边落在阴影部分的边界位置的角 再用不等式表示阴影部分的角 最后组成集合 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 终边落在oa位置上的角的集合为 90 45 k 360 k z 135 k 360 k z 终边落在ob位置上的角的集合为 30 k 360 k z 2 由题图可知 阴影部分角的集合可表示为 30 k 360 135 k 360 k z 反思区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角 其写法可分三步 1 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界 2 由小到大分别标出起始 终止边界对应的一个角 3 用不等式表示区域内的角 组成集合 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 如图 1 分别写出终边落在oa ob位置上的角的集合 2 写出终边落在阴影部分 包括边界 的角的集合 解 1 终边在oa上的最小正角为150 则终边在oa上的角的集合为 150 k 360