高中数学《几个三角恒等式》教案 苏教版必修4(1).doc

几个三角恒等式三维目标1知识与技能(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识2过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题通过例题讲解，总结方法通过做练习，巩固所学知识3情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导难点：综合运用公式进行三角恒等变换教学建议 1关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式，观察公式左边的结构形式，如：sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin .引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sin cos sin()sin()等等2关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.课标解读1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式2.能利用所学公式进行三角恒等变换(重点、难点)积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin()与sin()表示sin cos 和cos sin ？【提示】，sin()sin()2sin cos ，即sin cos sin()sin()同理得cos sin sin()sin()sin cos sin()sin()cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 万能代换公式【问题导思】结合前面所学倍角公式，能否用tan 表示sin ？【提示】sin 2sin cos ，即sin .设tan t，则sin ，cos ，tan .三角函数式求值问题求值：sin 20sin 40sin 60sin 80.【思路探究】首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差【自主解答】原式cos 10cos 30cos 50 cos 70cos 10cos 50cos 70(cos 60cos 40)cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110.1三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的2求值主要方法有：消去法；方程法；比例性质法等求sin220cos250sin 20cos 50的值【解】法一原式(sin 70sin 30)1(cos 100cos 40)sin 70(2sin 70sin 30)sin 70sin 70sin 70.法二令xsin220cos250sin 20cos 50，ycos220sin250cos 20sin 50，则xy2sin 70，xycos 40cos 100sin(30)2sin 70sin 30，即xysin 70，得2x2，x.即sin2 20cos2 50sin 20cos 50.三角函数式化简问题化简(tan )(1tan tan )【思路探究】题目中有角，也有角，利用正切的半角公式的有理表达式可以把的三角函数转化为的三角函数，然后将角的正切转化为的正、余弦函数，化简即得【自主解答】(tan )(1tan tan )()(1)(1).1三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用2对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数化简：cos2acos2(a)cos2(a)【解】原式cos 2acos(2a)cos(2a)cos 2a2cos(22a)cos cos 2acos(22a).三角恒等式的证明求证：sin sin(60)sin(60)sin 3.【思路探究】恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样，应根据积化和差公式对左边变形整理，进行角的统一【自主解答】左边sin (cos 120cos 2)sin sin cos 2sin sin 3sin()sin 3右边，原等式成立1当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时，选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关2证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证在abc中，求证：sin asin bsin c4cos cos cos .【证明】由abc180，得c180(ab)，即90.cos sin .sin asin bsin c2sincossin(ab)2sincos2sincos2sin(coscos )2cos 2cos cos()4cos cos cos .原等式成立.进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误已知为第三象限角，且cos 0，tan 3，求tan 的值【错解】tan 3，3，3tan22tan 30，tan 或tan .【错因分析】本题由于忽略角的取值范围而导致错误，应对的范围进行讨论【防范措施】在进行三角恒等变换时，忽略了角的取值范围，出现前、后取值范围不一致的情况【正解】tan 3，所以3，3tan22tan 30，tan 或tan .cos 0，为第三象限角，为第四象限角，所以tan 0，tan .1三角函数式化简结果的三大要求(1)能求值的求值；(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低；(3)分式的分母中尽量不含根号2三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到探求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立1sin 105sin 15_.【解析】原式2sin cos 2sin 60cos 45.【答案】2sin 20cos 70sin 10sin 50的值是_【解析】原式sin 90sin(50)cos 60cos(40)sin 50cos 40sin 50sin 50.【答案】3化简cos cos(120)cos(120)_.【解析】cos cos(120)cos(120)cos 2cos cos 120cos cos 0.【答案】04求证：(1)sin()sin()cos2cos2；(2)tan .【证明】(1)左边cos 2cos 2(2cos21)(2cos21)cos2cos2右边，原等式成立(2)左边tan tan 右边，原等式成立.一、填空题1sin 37.5cos 7.5_.【解析】原式sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30)().【答案】2化简：_.【解析】原式tan 20.【答案】tan 203函数f(x)sin(2x)cos(2x)的周期是_【解析】f(x)sin 4xsin()sin 4x，t.【答案】4(2013临沂高一检测)求值：sin 20sin 40sin 60sin 80 _.【解析】sin 20sin 40sin 60sin 802sin 30cos(10)sin 60sin 802sin 80sin 80.【答案】5已知，且cos cos ，则cos()等于_【解析】cos cos ，2cos cos ，cos .cos 则cos()2cos2()1.【答案】6已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为_【解析】设该等腰三角形顶角为，底角为，则有2，sin sin()cos .2cos21cos ，cos .【答案】7直角三角形中两锐角为a和b，则sin asin b的最大值为_【解析】ab，sin asin bcos(ab)cos(ab)cos(ab)，又ab，0cos(ab)1，sin asin b有最大值.【答案】8._.【解析】原式2cos 30.【答案】二、解答题9已知(，)且sin ，求：(1)；(2)sin 2cos .【解】sin ，(，)，(，)cos .设ttan .(1)t.(2)sin 2cos 2.10求函数f(x)sin xsin xsin(x)的最小正周期与最值【解】f(x)sin xsin xsin(x)sin x2cos(x)sin()sin xcos(x)sin(2x)sin()sin(2x).最小正周期为t.sin(2x)1,1，f(x)max，f(x)min.11已知3tan()tan()，求证：sin 21.【证明】3tan()tan()，.3sin()cos()sin()cos()(sin 2sin )(sin 2sin )3sin 2sin 2，sin 21.求函数f(x)的值域【思路探究】先通分，再将sin xsin 和差化积，约去分母sin ，再变形为只含一个三角函数符号的形式然后在函数f(x)的定义域内求值域【自主解答】f(x)2cos cos cos()cos()cos 2xcos x2cos2xcos x12(cos x)2.sin 0，k，即x2k(kz)1cos x1.当cos x时，f(x)min，当cos x趋于1时，f(x)趋于2.故函数f(x)的值域是，2)通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容一般对同名异角三角函数的和或差，可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积