高三数学 知识点精析精练36 开放性问题.doc

2014高三数学知识点精析精练36数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.【例1】 设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明理由. 解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数， 使数列 成等比数列. (i) 当 时， 代入上式得 即=0但, 于是不存在常数 ，使成等比数列. (ii) 当 时， 代 入 上 式 得 . 综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列.注意：等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形,可不要忽视 【例2】 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.解：（1） =. （2）解不等式 0,得 x.xn， 3 x 17.故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) 40当且仅当时，即x=7时，等号成立.到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利127+30=114万元.(ii)y=2x2+40x98= 2（x10）2 +102，当x=10时，ymax=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.【例3】 已知函数f(x)= (x2)(1)求f(x)的反函数f1(x); (2)设a1=1,=f1(an)(nn),求an; (3)设sn=a12+a22+an2,bn=sn+1sn是否存在最小正整数m,使得对任意nn,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由. 解：(1) y=,x0).(2) , =4.是公差为4的等差数列.a1=1, =+4(n1)=4n3.an0 , an=.(3) bn=sn+1sn=an+12=, 由bn对于nn成立.5 ,m5,存在最小正数m=6,使得对任意nn有bn成立.【例4】 已知数列在直线xy+1=0上.（1） 求数列an的通项公式；（2）若函数求函数f(n)的最小值；(3)设表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.解 ：（1） （2） ,.故最小值是（3）, . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.事实上, 数列an是等差数列, 你知道吗？【例5】 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.解：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：证人所说的颜色（正确率80%）真实颜色蓝色红色合计蓝色（85%）680170850红色（15%）30120150合计7102901000从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.【例6】 甲、乙两人对地的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图： （a）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡; （b）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题： （1）第二年的养鸡场的个数及该地出产鸡的总只数各是多少？ （2）哪一年的规模最大？为什么？解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，由图（b）可知, =30，且点在一直线上，从而 由图（a）可知, 且点在一直线上，于是 =（万只），（万只）第二年的养鸡场的个数是26个，该地出产鸡的总只数是31.2万只；（2）由（万只），第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.【例7】 已知是定义在r上的不恒为零的函数，且对于任意的a，br都满足关系式 . （1）求f（0），f（1）的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求数列un的前n项的和sn.解：（1）在中,令得 . 在中,令得 ，有 . （2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 故为奇函数.（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由 , 猜测 . 于是我们很易想到用数学归纳法证明. 1 当n=1时，公式成立； 2假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，公式仍然成立. 综上可知，对任意成立. 从而 . ，. 故 【例8】 若、，(1)求证：； (2)令，写出、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式； (3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.解：(1)采用反证法. 若，即, 解得 从而与题设,相矛盾， 故成立. (2) 、, .（3）因为 又,所以,因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.【例9】 如图，已知圆a、圆b的方程分别是动圆p与圆a、圆b均外切，直线l的方程为：（1）求圆p的轨迹方程，并证明：当时，点p到点b的距离与到定直线l距离的比为定值；（2） 延长pb与点p的轨迹交于另一点q，求的最小值； （3）如果存在某一位置，使得pq的中点r在l上的射影c，满足求a的取值范围解（1）设动圆p的半径为r，则pa，pb| = r + ， |pa| pb| = 2 点p的轨迹是以a、b为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 （x 1）若 , 则l的方程为双曲线的右准线, 点p到点b的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.(2)若直线pq的斜率存在，设斜率为k，则直线pq的方程为y = k ( x2 )代入双曲线方程, 得由 ，解得3 pq当直线的斜率存在时，得，