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文档简介
1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案一、预习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。二、预习内容1利用导数的符号来判断函数单调性:一般地,设函数在某个区间可导,如果在这个区间内,则为这个区间内的 ;如果在这个区间内,则为这个区间内的 。思考:(1)若f (x)0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件?回答: 提示: f(x)x3,在r上是单调递增函数,它的导数恒吗?(2)若f (x) 0在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ?若某个区间内恒有f (x)0,则f (x)为 函数2利用导数确定函数的单调性的步骤:(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) 求出函数的导数;(3) 解不等式f (x)0,得函数的单调递增区间;解不等式f (x)0,得函数的单调递减区间三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一学习目标:1了解可导函数的单调性与其导数的关系.2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点:利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.二、学习过程【引 例】 1确定函数在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?解答:, 问 1)、为什么在上是减函数,在上是增函数?解答:, 2)、研究函数的单调区间你有哪些方法?解答:, 2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?解答:, 【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。研究二次函数的图象;(1) 画出二次函数的图象,研究它的单调性。(2) 提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的?回答:(3) 我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律?观察图像,能得到什么结论回答:【新课讲解】根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?一般地,设函数在某个区间可导,如果在这个区间内,则为这个区间内的 ;如果在这个区间内,则为这个区间内的 。思考:(1)若f (x)0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件?回答: 提示: f(x)x3,在r上是单调递增函数,它的导数恒吗?(2)若f (x) 0在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ?若某个区间内恒有f (x)0,则f (x)为 函数结论应用:由以上结论知:函数的单调性与其 有关,因此我们可以用 去探讨函数的单调性。下面举例说明:【例题讲解】例1、 求证:在上是增函数。归纳步骤:1、 ;2、 ;3、 。例2、 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.小结:用导数求函数单调区间的步骤:(1) ;(2) ;(3) 【课堂练习】1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx32、设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( ) yxoyxoyxoyxoabcd课后练习与提高(2007年浙江卷)设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )已知函数,则( ) a在上递增 b在上递减 c在上递增 d在上递减函数的单调递增区间是_ 1.3.1函数的单调性和导数教案一、教材分析以前,我们用定义来判断函数的单调性 对于任意的两个数x1,x2i,且当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间i上的增函数 对于任意的两个数x1,x2i,且当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间i上的减函数。在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准,本节分为四课时,此为第一课时。二、教学目标1,知识目标:1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤。2,能力目标: 学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提高创新能力。3,情感、态度与价值观目标: 在愉悦的学习氛围中,学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊到一般。三、教学重点难点教学重点:利用导数判断函数单调性。教学难点:利用导数判断函数单调性。.四、教学方法:探究法五、课时安排:1课时六、教学过程【引 例】1确定函数在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?解:,在上是减函数,在上是增函数。问:1)、为什么在上是减函数,在上是增函数?都是反映函数随自变量的变化情况。 2)、研究函数的单调区间你有哪些方法?(1)观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)(2)利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义)2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?(1)能画出函数的图象吗?(2)能用单调性的定义吗?试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?(产生认知冲突)【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候,如函数f(x)=2x36x2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解决。(研究的必要性)事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。问:如何入手?(图象) 从函数f(x)=2x36x2+7的图象吗?1、研究二次函数的图象;(1) 学生自己画图研究探索。(2) 提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的?(3) (开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的办法,显然要换个角度分析。(4) 提示:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律?(5) 学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示,共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结):该函数在区间上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负;在区间上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正;注:切线斜率等于0,即其导数为0;如何理解?就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢?2、先看一次函数图象;3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证)(1) 观察三次函数的图象;(几何画板演示)(2) 观察某个函数的图象。(几何画板演示)指出:我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性(幻灯放映课题)。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?请一个学生回答。(幻灯放映)一般地,设函数在某个区间可导,则函数在该区间内如果在这个区间内,则为这个区间内的增函数;如果在这个区间内,则为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有,则为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的,只是一个猜想,正确吗?答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理,大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结:数学中研究问题的常规思想方法是:从特殊到一般,从简单的复杂。结论应用:由以上结论知:函数的单调性与其导数有关,因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明:【例题讲解】例1、 求证:在上是增函数。由学生叙述过程老师板书:因为 ,所以 ,即,所以函数在上是增函数。注:我们知道在r上是增函数,课后试一试,看如何用导数法证明。学生归纳步骤:1、求导;2、判断导数符号;3、下结论。例2、 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书:解:f(x)=(2x36x2+7)=6x212x, 令6x212x0,解得x2或x0当x(,0)时,f(x)0,f(x)是增函数;当x(2,+)时,f(x)0,f(x)是增函数.令6x212x0,解得0x2.当x(0,2)时,f(x)0,f(x)是减函数. 学生小结:用导数求函数单调区间的步骤:(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) 求函数f(x)的导数f(x).(3) 令f(x)0解不等式,得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式,得x的范围,就是递减区间【课堂练习】1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3(1)解:y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0,解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4,+)和(,2)令3(x2)(x4)0,解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2,4)(2)解:y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0,解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1,1).令3(x+1)(x1)0,解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是(,1)和(1,+)2、设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( ) 小结:重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系?【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f (x)0, 则f(x)为增函数;如果f(x)0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【课后练习】(2007年浙江卷)设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )已知函数,则( ) a在上递增 b在上递减 c在上递增 d在上递减函数的单调递增区间是_【课堂作业】课本p42习题2.4 1,2【课后记】本节课是一节新授课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论,学生也能接受,可学生只能进行简单的模仿应用。为了突出知识的发生过程,不把新授课上成习题课,设计思路如下,以便教会学生会思考解决问题:1、首先研究从熟悉的二次函数入手,简单复习回顾以前的方法;1、 从不熟悉的三次函数入手,使学生体会到以前的知识已不能解决,必须
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