高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第55讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理.ppt

计数原理与概率 随机变量及其分布 第九章 第55讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 栏目导航 1 两个计数原理 两类不同方案 两个步骤 m n m n 1 思维辨析 在括号内打 或 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事情是分两步完成的 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 解析 1 错误 在分类时 两类不同方案中方法不能相同 故错误 2 正确 3 正确 4 错误 在分类乘法计数原理中 必须把每个步骤都完成才能完成这件事 故错误 2 从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会 则不同的选法种数为 解析 从5名同学中选1人有5种选法 3 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有 个 解析 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 则共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 5 36 4 从集合 0 1 2 3 4 5 6 中任取两个互不相等的数a b组成复数a bi 其中虚数有 解析 a b互不相等且为虚数 b只能从 1 2 3 4 5 6 中选一个 有6种 a从剩余6个选一个 有6种 由分步计数原理知虚数有6 6 36 个 36个 5 从集合 1 2 3 10 中任意选出三个不同的数 使这三个数成等比数列 这样的等比数列的个数为 8 利用分类加法计数原理解题时的注意事项 1 根据问题的特点确定一个合适的分类标准 分类标准要统一 不能遗漏 2 分类时 注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类 不能重复 一分类加法计数原理 例1 1 高三一班有学生50人 男生30人 女生20人 高三二班有学生60人 男生30人 女生30人 高三三班有学生55人 男生35人 女生20人 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席 有 种不同的选法 从高三一班 二班男生中 或高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长 有 种不同的选法 2 如图 从a到o有 种不同的走法 不重复过一点 165 80 5 20 解析 1 完成这件事有三类方法 第一类 从高三一班任选一名学生共有50种选法 第二类 从高三二班任选一名学生共有60种选法 第三类 从高三三班任选一名学生共有55种选法 根据分类加法计数原理 任选一名学生任学生会主席共有50 60 55 165 种 选法 完成这件事有三类方法 第一类 从高三一班男生中任选一名共有30种选法 第二类 从高三二班男生中任选一名共有30种选法 第三类 从高三三班女生中任选一名共有20种选法 综上知 共有30 30 20 80 种 选法 2 分3类 第一类 直接由a到o 有1种走法 第二类 中间过一个点 有a b o和a c o2种不同的走法 第三类 中间过两个点 有a b c o和a c b o2种不同的走法 由分类加法计数原理可得共有1 2 2 5种不同的走法 3 当m 1时 n 2 3 4 5 6 7共6种 当m 2时 n 3 4 5 6 7共5种 当m 3时 n 4 5 6 7共4种 当m 4时 n 5 6 7共3种 当m 5时 n 6 7共2种 故共有6 5 4 3 2 20 种 二分步乘法计数原理 1 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 并且分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 只有各个步骤都完成了 才算完成这件事 2 分步必须满足两个条件 一是步骤互相独立 互不干扰 二是步与步确保连续 逐步完成 例2 1 教学大楼共有五层 每层均有两个楼梯 由一层到五层的走法有 a 10种b 25种c 52种d 24种 2 有六名同学报名参加三个智力项目 每项限报一人 且每人至多参加一项 则不同的报名方法有 种 解析 1 由一层到二层 由二层到三层 由三层到四层 由四层到五层各有2种走法 故共有2 2 2 2 24种不同的走法 2 每项限报一人 且每人至多参加一项 因此可由项目选人 每一个项目有6种选法 第二个项目有5种选法 第三个项目有4种选法 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有6 5 4 120种 d 120 三两个计数原理的综合应用 利用两个计数原理解题时的注意事项 1 认真审题 分析题目的条件 结论 特别要理解题目中所讲的 事情 是什么 完成这件事情的含义和标准是什么 2 明确完成这件事情需要 分类 还是 分步 还是既要 分类 又要 分步 并搞清 分类 或 分步 的具体标准是什么 例3 2015 四川卷 用数字0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中比40000大的偶数共有 a 144个b 120个c 96个d 72个 b 例4 某班一天上午有4节课 每节都需要安排1名教师去上课 现从a b c d e f6名教师中安排4人分别上一节课 第一节课只能从a b两人中安排一个 第四节课只能从a c两人中安排一人 则不同的安排方案共有 种 解析 第一节课若安排a 则第四节课只能安排c 第二节课从剩余4人中任选1人 第三节课从剩余3人中任选1人 共有4 3 12 种 排法 第一节课若安排b 则第四节课可由a或c上 第二节课从剩余4人中任选1人 第三节课从剩余3人中任选1人 共有2 4 3 24 种 排法 因此不同的安排方案共有12 24 36 种 36 例5 1 如图 矩形的对角线把矩形分成a b c d四部分 现用5种不同颜色给四部分涂色 每部分涂1种颜色 要求共边的两部分互异 则共有 种不同的涂色方法 2 2017 南京模拟 如图 用4种不同的颜色对图中5个区域涂色 4种颜色全部使用 要求每个区域涂一种颜色 相邻的区域不能涂相同的颜色 则不同的涂色方法有 种 260 96 1 如果把个位数是1 且恰有3个数字相同的四位数叫做 好数 那么在由1 2 3 4四个数字组成的有重复数字的四位数中 好数 共有 a 9个b 3个c 12个d 6个 c 2 已知集合a x x a0 a1 3 a2 32 a3 33 其中ai 0 1 2 i 0 1 2 3 且a3 0 则a中所有元素之和等于 a 3240b 3120c 2997d 2889解析 由题意可知 a0 a1 a2各有3种取法 均可取0 1 2 a3有2种取法 可取1 2 由分步乘法计数原理可得共有3 3 3 2种取法 故当a0取0 1 2时 a1 a2各有3种取法 a3有2种取法 共有3 3 2 18种方法 即集合a中含有a0项的所有数的和为 0 1 2 18 d 同理可得集合a中含有a1项的所有和为 3 0 3 1 3 2 18 集合a中含有a2项的所有数的和为 32 0 32 1 32 2 18 集合a中含有a3项的所有数的和为 33 1 33 2 27 由分类计数原理得集合a中所有元素之和s 0 1 2 18 3 0 3 1 3 2 18 32 0 32 1 32 2 18 33 1 33 2 27 18 3 9 27 81 27 702 2187 2889 故选d 3 已知集合m 3 2 1 0 1 2 若a b m 则 1 y ax2 bx c可以表示多少个不同的二次函数 其中偶函数有多少个 2 y ax2 bx c可以表示多少个图象开口向上的二次函数 解析 1 a的取值有5种情况 b的取值有6种情况 c的取值有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示5 6 6 180 个 不同的二次函数 若二次函数为偶函数 则b 0 故有5 6 30 个 2 y ax2 bx c的图象开口向上时 a的取值有2种情况 b c的取值均有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72 个 图象开口向上的二次函数 4 如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法种数 解析 方法一以s a b c d顺序分步染色 第一步 s点染色 有5种方法 第二步 a点染色 与s在同一条棱上 有4种方法 第三步 b点染色 与s a分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 c点染色 也有3种方法 但考虑到d点与s a c相邻 需要针对a与c是否同色进行分类 当a与c同色时 d点有3种染色方法 当a与c不同色时 因为c与s b也不同色 所以c点有2种染色方法 d点也有2种染色方