2011届高三数学复习(集合与函数).doc

2011届高三数学复习集合与简易逻辑、函数一、集合与简易逻辑1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，例（1）设，那么点的充要条件是_（答：）；解：（2）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_个（答：7）或或或 或或或2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_.（答：）解：拓展：集合，且，求实数的取值范围.3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有_个。（答：7）4.集合的运算：（数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具）如设全集，若，则A_，B_.（答：，）5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，例（1）设集合，集合N，则_（答：）；（2）设集合，则_（答：）6. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。例（1）已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。（答：）解：研究对：，则：（2）已知集合，函数的定义域为B, 若，求a的取值范围.解： 设：当时 ， 满足，当时，对称轴则： 当时 ， 对称轴则： 综上所述：a的取值范围是： 充分利用二次函数的图像数形结合拓展：若，则a的取值范围为 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”， 则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p 则q” ； 逆否命题为“若q 则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；例（1）“在ABC中，若C=900，则A、B都是锐角”的否命题为（答：在中，若，则不都是锐角）；(2)全称命题与存在性命题的否定命题“对,x3-x2+10”的否定是:8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。例(1)如在ABC中，sinAsinB是 AB的 _条件。（充要）（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：）解： 经检验知：均适合用集合的思想解决二、函数函数定义： 设A，B是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应法则f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA.【理解函数的概念】1. (必修1：P33/13题)已知一个函数的解析式为y=x2 ,它的值域为1,4；这样的函数有多少个，写出其中的两个.解：y=x2 ，2, 1y=x2 ，1, 2y=x2 ，2, 1.2.(必修1：P94/18题)已知一个函数的解析式为y=x2 ,它的值域为1，4；求这个函数定义域.解：这个函数定义域为：1，2或1，2或1， 2或1，2或1，1，2或1，1，2或1，2，2或1，2，2或1，1，2，23.若函数y=f(x)的值域为2,3,则函数y=f(x-1)的值域为 .【研究函数的性质】1.求函数的值域2.若在（2，+）上是增函数，则a的取值范围是 解：设x1,x2（2，+）,且x1f(a), 求a的取值范围. 4. 已知是R上的奇函数，且f(x+2)= f(x)当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)= 解：由f(x+2)= f(x) f(x+4)= f(x)f(7.5)= f(3.5)= f(0.5+4)= f(0.5)5.已知均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间上有最小值为（3）6. 已知函数f(x)的定义域为D=xx0对任意的x,yD,f(xy)=f(x)+f(y)(1)求f(1) (2)判断f(x)的奇偶性（3）若f(4)=1, 且f(x)在(0,+)递增试求f(3x+2)+f(2)3的解集.（3）解:f(3x+2)+f(2)3即：f(6x+4)f(？)【体会函数的思想】1.如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，试求 a的取值范围.（a=2或a0）解：原方程可转化为设： （函数与方程数形结合） 2设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为_解析：由f(4)f(0)，得b4.又f(2)0，可得c4，或可得3x1或x0. （分段函数分类讨论）3.(2009年高考天津卷)已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的图象如图知f(x)在R上为增函数f(2a2)f(a)，即2a2a.解得2a1.（分段函数数形结合）4设函数f(x)x22bxc(cb1)，f(1)0，方程f(x)10有实根(1)证明：3c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负并加以证明解：(1)证明：f(1)012bc0b.又cb1，故c13c方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根，故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1.由：得3c1，由b知b0.(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)，m是方程f(x)10的一个实根f(m)10，cm1， 那么：c4m430，f(m4)的符号为正5(2010年安徽合肥)设函数f(x)ax2bxc，且f(1)，3a2c2b，求证：(1)a0且3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|2c2b，3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2b.a0，30时，a0，f(0)c0且f(1)0，f(1)0，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综合得f(x)