云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 空间向量角的求法.doc

云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 空间向量角的求法 内容摘要：空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键关键词：空间角 向量向量法求两条异面直线所成的角：夹角公式：.模长公式：（）.1.异面直线所成角：（1）范围：；（2）向量法：设、分别为异面直线、的方向向量, 则两异面直线所成角的余弦值为.(则两异面直线所成的角；)证明两条异面直线垂直,即所成角为.一般步骤：.建立合适的空间直角坐标系.将各点,各线段所在向量标出.利用向量夹角公式计算.判断所得夹角是两条直线所成角还是补角,并得出结论例1 、直三棱柱a1b1c1abc，bca=90，点d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是_分析：用向量法求异面直线所成的角，是建立适当的空间直角坐标系，求出两条异面直线各自的方向向量，把异面直线所成角的求解转化为向量运算解：(向量法)建立如图所示的坐标系，设bc=1则a（1,0,0），f1（,0,1），b（0,1,0），d1（,1）即 =（,0,1）， =（,1）cos=. bd1与af1所成角的余弦值是2向量法求直线与平面所成的角：（1）定义：（课本）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.（2）范围 ；向量法：设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角的正弦值例2 、在正四面体abcd中，e为ad的中点，求直线ce与平面bcd成的角的正弦值分析: 求线面角的向量法是建立适当的空间直角坐标系，求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量，把线面角的求解转化为向量运算解：如图建立以三角形bcd的中心o为原点，,od,oa依次为y轴，z 轴x轴平行于bc设正四面体abcd的棱长为，则 e为ad的中点， 又因为平面bcd的法向量为，即ce与平面bcd成的角满足： 直线ce与平面bcd成的角的正弦值3向量法求二面角：（1）定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为，当两个半平面合成一个平面时，二面角为，因此，二面角的大小范围为.（2）确定二面角的方法：向量法：在内作，在内作.其方向如左图，则二面角 的平面角的余弦值.；其方向如右图，则二面角的平面角的余弦值为上面值的相反数.（同等异补）例3 、如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcbb11，e为d1c1的中点，求二面角ebdc的正切值分析: 求二面角的向量法是建立适当的空间直角坐标系，分别求出两个平面的一个法向量，把二面角的求解转化为向量运算解：如图，建立坐标系，则d(0,0,0),b(1,2,0),e(0,1,1)设平面dbe的方程为：（过原点d=0）则平面dbe的一个法向量为又因为平面bcd的一个法向量为二面角e