【精选+详解】高三数学名校试题汇编（第3期）专题03 导数与应用 文.doc

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题03 导数与应用 文一基础题1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估20122013学年第一学期统一检测题】函数在区间上最大值为 【答案】 【解析】，2.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线是曲线的切线，则实数的值为 . 3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数y=f（x）的导数为f（x）且，则=二能力题1.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知直线axby2=0与曲线y=x3在点p（1，1）处的切线互相垂直，则为（）abcd【答案】d【解析】设曲线y=x3在点p（1，1）处的切线斜率为k，则k=f（1）=3因为直线axby2=0与曲线y=x3在点p（1，1）处的切线互相垂直所以2.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）a（，2b（，2）c0，+）d（2，+）3.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知二次函数=的导数为，0，对任意实数都有0，则的最小值为a.4 b.3 c.8 d.2【答案】d【解析】=，=0，对任意实数都有0，即，0，=2，当且仅当取等号，故选d.三拔高题4.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（本小题满分13分）已知函数 （i）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （ii）求函数的单调区间；5.2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试已知函数f（x）=ex+（a2）x在定义域内不是单调函数（）求函数f（x）的极值（）对于任意的a（2e，2）及x0，求证ex1+（1）x2解：（i）f（x）=ex+（a2），且f（x）=ex+（a2）x在定义域内不是单调函数a20令f（x）=ex+（a2）=0，则x=ln（2a）当x（，ln（2a）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（ln（2a），+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x=ln（2a）时，函数f（x）取极小值f（ln（2a）=（2a）+（a2）ln（2a），函数没有极大值；证明：（ii）设h（x）=ex1+（1）x，则h（x）=f（x）=ex+（a2）x由（i）知，f（x）min=（2a）+（a2）ln（2a），当a（2e.2）f（x）min0故h（x）=f（x）=ex+（a2）x0恒成立从而有h（x）=ex1+（1）x在r上单调递增当x0时，h（x）=ex1+（1）xh（0）=0故ex1+（1）x26.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分13分）已知函数讨论的单调性；设当a=-2时，若对任意，存在，使求实数b的取值范围.7.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=9时，函数f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取值范围【解析】（1）f（x）=ax2+1（a0），则f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则f（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即a=b，代入式可得：a=3，b=3（2）当a=3，b=9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1则h（x）=3x2+6x9，令h（x）=0，解得：x1=3，x2=1；k3时，函数h（x）在（，3）上单调增，在（3，2上单调减，所以在区间k，2上的最大值为h（3）=283k2时，函数h（x）在在区间k，2上的最大值小于28所以k的取值范围是（，38.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数，其中e=2.71828（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；（2）若p（1，+），问是否存在x00，使f（x0）g（x0）成立？若存在，求出符合条件的一个x0；否则，说明理由9.【广东省肇庆市中小学教学质量评估20122013学年第一学期统一检测题】已知函数，其中是自然对数的底数，（1）当时，解不等式；（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；（3）若在上是单调增函数，求的取值范围 (3)，当时，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求； (10 分)当时，令，因为， 所以有两个不相等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调 （12分）若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以. 综上可知，的取值范围是 (14分)8. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）设函数.(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围. (2)因为当时, ；当时, ；当时, ；即在和单增，在单减.所以，.9分故当或时,方程仅有一个实根.得或时，方程仅有一个实根.所以.12分9.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分） 已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.（1）求的解析式；（2）是否存在n，使得方程在区间内有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) 解法2：设，不等式的解集是，方程的两根为. . 2分. 又函数在点处的切线与直线平行， . . 3分由,解得,. 4分. 5分10.（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点 (1)求常数a,b,c的值； (2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围； (3)求函数的单调递减区间，并证明：解：（1）由知，的定义域为, 1分 又在处的切线方程为，所以有 , 2分 由是函数的零点，得, 3分 由是函数的极值点，得， 4分 由，得，. 5分.（）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函 数在内有两个不等根，所以 解得. 9分 综上，实数的取值范围是. 10分11、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数，（1）判断函数在上的单调性；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立解析：（1）， -2分令，则，当时，是上的增函数，故，即函数是上的增函数 -6分（2），12、（广州市2013届高三上学期期末）已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.（1）求的解析式；（2）是否存在n，使得方程在区间内有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（1）解法1：是二次函数，不等式的解集是， 可设，. 1分 . 2分 函数在点处的切线与直线平行， . 3分 ，解得. 4分 . 5分 （2）解：由（1）知，方程等价于方程. 6分 设，则. 7分 当时，函数在上单调递减； 8分 当时，函数在上单调递增. 9分 ， 12分 方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间 内没有实数根. 13分 存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 14分13、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数（1）当时，求的极小值；（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；（3）设，求的最大值的解析式法2：，4分要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， 6分（3）因故只要求在上的最大值. 7分当时， 9分（）当（）当13分综上 14分14、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数，其中若是的极值点，求的值；若，恒成立，求的取值范围解：2分，因为是的极值点，所以3分，解得4分，（方法一）依题意，5分。时，恒成立6分且时，由得8分设，9分，当时，当时10分，所以，12分所以，当且时，从而13分，综上所述，的取值范围为14分（方法二）由5分，若，则，由得7分，且当时，当时8分，所以，10分若，由得或11分，取为与两数的较大者，则当时12分，从而在单调减少，无最小值，不恒成立13分。（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若，取11分，不恒成立13分。说明二：若只讨论一个特例，例如，给1分）综上所述，的取值范围为14分15、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数，函数是函数的导函数.（1）若，求的单调减区间；（2）当时，若存在一个与有关的负数m，使得对任意时，恒成立，求m的最小值及相应的值。16、（汕头市2013届高三上学期期末）设函数，（注：e为自然对数的底数）(1)当时，球的单调区间；(2)(i)设是的导函数，证明：当时，在上恰有个使得(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的，恒有成立解：(1)当时， 1分，令得：；令得：所以函数的减区间是；增区间是 3分 (ii)若，则，对恒成立，故函数在上是增函数，因此函数在内单调递增，而，不符题意。 10分，由(i)知在递减，递增，设在0，2上最大值为m，则，故对任意的，恒有成立等价于， 12分由得：，又，。 14分17、（增城市2013届高三上学期期末）圆内接等腰梯形，其中为圆的直径（如图） oabcd（1）设，记梯形的周长为，求的解析式及最大值；（2）求梯形面积的最大值 且当时，当时， 13分 所以当时，有最大值，即 14分 或解：设，过点作于 是直径， 8分 9分 10分 11分 12分 13分18、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知函数，其中是自然对数的底数，（1）当时，解不等式；（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；（3）若在上是单调增函数，求的取值范围解：(1)因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为 (4 分)(2)当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数， 又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为 （8分）19、（中山市2013届高三上学期期末）已知函数，其中实数是常数（）已知，求事件：“”发生的概率；（）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式；（）记的导函数为，则当时，对任意，总存在使得，求实数的取值范围解：（）当时，等可能发生的基本事件共有9个： 其中事件： “”，包含6个基本事件： 故 即事件“”发生的概率（）是上的奇函数，得（5分） , 对任意，总存在使得 且，解得20、（珠海市2013届高三上学期期末）已知函数，其中为常数，且. （1）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在区间1，2上的最小值为，求的值. 当时，在（1，2）上恒成立，这时在1，2上为减函数， .10分于是，当时，当时，令，得11分当时，12分综上， 14分21.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知函数（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2【解析】（）f（x）=lnxax2+x，f（x）=2ax+1=（2分）22.【河北省唐山市20122013学年度高三年级期末考试】已知函数 （i）当单调区间； （）当的取值范围。解：23【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】已知函数f（x）=（k为常数，e=271828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（l,f（l）处的切线与x轴平行 （）求k的值； （）求f（x）的单调区间； （）设g（x）=xf（x），其中f（x）为f（x）的导函数证明：对任意0x1，g（x）1 +e2（本小题满分14分）解：（i），由已知，.（4分）（ii）由（i）知，.设，则，即在上是减函数.由知，当时，从而； 当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.（8分）23.【2012年南昌一中、南昌十中第四次联考】已知函数，其中是自然数的底数，（1）当时，解不等式；（2）当时，求正整数的值，使方程在，上有解；（3）若在，上是单调增函数，求的取值范围解 因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为4分当时, 方程即为，由于，