三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.2 导数的应用课件.ppt

9 2导数的应用 1 函数的单调性对于在 a b 内可导的函数f x f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 则 f x 为增函数 f x 为减函数 f x 0 f x 0 2 函数的极值 1 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 2 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在x x0处连续时 a 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 极大值 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 先求f x 在 a b 内的极值 再将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 故选c 答案c设f x 的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1 x 2 函数f x ex x的单调递增区间是 a 1 b 1 c 0 d 0 答案d对函数f x ex x求导得f x ex 1 由f x 0得ex 1 0 即x 0 故选d 3 若f x ef b b f a f b c f a 1答案af x 当x e时 f x f b 故选a c c 4 等差数列 an 中的a1 a4027是函数f x x3 4x2 6x 1的极值点 则log2a2014 a 2b 3c 4d 5答案af x x2 8x 6 a1 a4027 8 a2014 4 log2a2014 2 选a c 5 已知函数f x 的导函数的图象如图所示 若 abc为锐角三角形 则下列不等式一定成立的是 a f sina f cosa b f sina f cosb c f cosa f cosb d f sina f cosb cos cosb 0 1 sina cosb 0 由f x 的导函数图象可得到f x 在区间 0 1 上是单调递减的 所以f sina f cosb 故选d 答案d因为a b为锐角三角形的内角 所以有0 a 0 b 0 a b 6 函数f x x2 3x 4在 0 2 上的最小值是 答案 解析f x x2 2x 3 当f x 0 x 0 2 时 只有x 1 比较f 0 4 f 1 f 2 可知最小值为 c 利用导数研究函数的单调性典例1 1 2014课标 11 5分 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 2 2014大纲全国 21 12分 函数f x ax3 3x2 3x a 0 讨论f x 的单调性 若f x 在区间 1 2 是增函数 求a的取值范围 答案 1 c解析 1 当a 0时 显然f x 有两个零点 不符合题意 c 当a 0时 f x 3ax2 6x 令f x 0 解得x1 0 x2 当a 0时 0 所以函数f x ax3 3x2 1在 0 与上为增函数 在上为减函数 因为f x 存在唯一零点x0 且x0 0 则f 0 0 则f 0 即a 3 1 0 解得a 2或a 2 又因为a 0 故a的取值范围为 2 选c 2 f x 3ax2 6x 3 f x 0的判别式 36 1 a 2分 i 若a 1 则f x 0 且当且仅当a 1 x 1时f x 0 故此时f x 在r上是增函数 ii 由于a 0 故当a0 故f x 在 x2 x1 上是增函数 当x x2 x1 时 f x 0 故f x 在 x1 x2 上是增函数 6分 当a 0 x 0时 f x 3ax2 6x 3 0 故当a 0时 f x 在区间 1 2 上是增函数 9分 当a 0时 f x 在区间 1 2 上是增函数当且仅当f 1 0且f 2 0 解得 a 0 综上 a的取值范围是 0 12分 求函数单调区间的方法步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实数根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干 个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 1 1 2015浙江台州高三调研 03 2 已知函数f x x3 x2 tlnx在 0 上单调递增 求实数t的取值范围 解析因为f x x3 x2 tlnx在 0 上单调递增 所以f x 3x2 2x 0 于是有t 3x3 2x2 设g x 3x3 2x2 x 0 c 则g x 9x2 4x 9x 由g x 0得0 故g x 在上单调递增 在上单调递减 所以g x max g 所以t 即实数t的取值范围是 1 2 2015浙江名校 衢州二中 交流卷自选模块 四 03 2 已知函数f x alnx ax 3 a r 若函数f x 的图象在点 2 f 2 处的切线的倾斜角为45 对于任意的t 1 2 函数g x x3 x2在区间 t 3 上不是单调函数 求m的取值范围 解析 f x a 由f 2 tan45 得a 2 则f x 2lnx 2x 3 f x 2 g x x3 x2 2x 则g x 3x2 m 4 x 2 g x 在区间 t 3 上不是单调函数 t 1 2 g x 在区间 t 3 上的值有正有负 又g x 的图象是开口向上的抛物线 且g 0 2 由题意知 对于任意t 1 2 g t 0恒成立 所以即 解得 m 9 利用导数研究函数的极值与最值典例2 1 2015浙江六校联考 03 2 函数f x x3 2x2 x t在r上有三个零点 求实数t的取值范围 2 设函数f x x x2 3a 求f x 在 0 1 上的最大值f a 解析 1 f x x3 2x2 x t f x 3x2 4x 1 令f x 3x2 4x 1 0 解得x 1或x 当x0 当1时 f x 0 f x 在上单调递增 在上单调递减 在 1 上单调递增 f x 的极大值为f t 极小值为f 1 t c f x x3 2x2 x t在r上有三个零点 解得 0 由f x 0知x f 0 0 f 1 1 3a i 若0 a 1 所以f a max f 0 f 1 ii 若a 1 则f x 在 0 1 上单调递减 所以f a f 0 0 综上 f a 1 求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间 并形成表格 4 由f x 0根的两侧导数的符号来判断f x 在这个根处取极值的情况 2 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点处的函数值f a f b 3 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 1 2013浙江 21 15分 已知a r 函数f x 2x3 3 a 1 x2 6ax 1 若a 1 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若 a 1 求f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 解析 1 当a 1时 f x 6x2 12x 6 所以f 2 6 又因为f 2 4 所以切线方程为y 6x 8 2 记g a 为f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 f x 6x2 6 a 1 x 6a 6 x 1 x a 令f x 0 得到x1 1 x2 a 当a 1时 c 比较f 0 0和f a a2 3 a 的大小可得g a 当a 1时 得g a 3a 1 综上所述 f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值为 g a 导数的综合应用典例3 2014浙江 22 14分 已知函数f x x3 3 x a a r 1 若f x 在 1 1 上的最大值和最小值分别记为m a m a 求m a m a 2 设b r 若 f x b 2 4对x 1 1 恒成立 求3a b的取值范围 解析 1 因为f x 所以f x 由于 1 x 1 i 当a 1时 有x a 故f x x3 3x 3a 此时f x 在 1 1 上是增函数 因此 m a f 1 4 3a m a f 1 4 3a 故m a m a 4 3a 4 3a 8 c ii 当 1 a 1时 若x a 1 则f x x3 3x 3a 在 a 1 上是增函数 若x 1 a 则f x x3 3x 3a 在 1 a 上是减函数 所以 m a max f 1 f 1 m a f a a3 由于f 1 f 1 6a 2 因此 当 1 a 时 m a m a a3 3a 4 当 a 1时 m a m a a3 3a 2 iii 当a 1时 有x a 故f x x3 3x 3a 此时f x 在 1 1 上是减函数 因此 m a f 1 2 3a m a f 1 2 3a 故m a m a 2 3a 2 3a 4 综上 m a m a 2 令h x f x b 则h x h x 因为 f x b 2 4对x 1 1 恒成立 所以 2 h x 2对x 1 1 恒成立 由 1 知 i 当a 1时 h x 在 1 1 上是增函数 h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 3a b 最小值是h 1 4 3a b 则 4 3a b 2且4 3a b 2 矛盾 ii 当 10 t a 在上是增函数 故t a t 0 2 因此 2 3a b 0 iii 当 a 1时 h x 在 1 1 上的最小值是h a a3 b 最大值是h 1 3a b 2 所以a3 b 2且3a b 2 2 解得 3a b 0 iv 当a 1时 h x 在 1 1 上的最大值是h 1 2 3a b 最小值是h 1 2 3 a b 所以3a b 2 2且3a b 2 2 解得3a b 0 综上 得3a b的取值范围是 2 3a b 0 1 利用导数研究函数零点的方法方法一 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 根据函数f x 的性质作出其大致图象 3 判断函数零点的个数或求出参数的取值范围 方法二 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 分类讨论判断函数零点的个数或求出参数的取值范围 2 利用导数证明不等式的方法 1 构造函数 x 转化为证明 x 0 或 x 0 2 求函数 x 的单调区间 3 判断区间端点处的函数值与0的关系 4 判断定义域内 x 与0的大小关系 证明不等式 3 1 2015福建 20 14分 已知函数f x ln 1 x g x kx k r 1 证明 当x 0时 f x 0 使得对任意的x 0 x0 恒有f x g x 3 确定k的所有可能取值 使得存在t 0 对任意的x 0 t 恒有 f x g x 0时 f x 0时 f x x c 2 证明 令g x f x g x ln 1 x kx x 0 则有g x k 当k 0时 g x 0 故g x 在 0 上单调递增 g x g 0 0 故任意正实数x0均满足题意 当00 取x0 1 对任意x 0 x0 有g x 0 从而g x 在 0 x0 上单调递增 所以g x g 0 0 即f x g x 综上 当k0 使得对任意x 0 x0 恒有f x g x 3 解法一 当k 1时 由 1 知 x 0 g x x f x 故g x f x f x g x g x f x kx ln 1 x 令m x kx ln 1 x x2 x 0 则有m x k 2x 故当x 时 m x 0 m x 在上单调递增 故m x m 0 0 即 f x g x x2 所以满足题意的t不存在 当k0 使得当x 0 x0 时 f x g x 此时 f x g x f x g x ln 1 x kx 令n x ln 1 x kx x2 x 0 则有n x k 2x 当x 时 n x 0 n x 在上单调递增 故n x n 0 0 即f x g x x2 记x0与中的较小者为x1 则当x 0 x1 时 恒有 f x g x x2 故满足题意的t不存在 当k 1时 由 1 知 当x 0时 f x g x g x f x x ln 1 x 令h x x ln 1 x x2 x 0 则有h x 1 2x 当x 0时 h x 0时 恒有 f x g x 1时 由 1 知 x 0 g x x f x 故 f x g x g x f x kx ln 1 x kx x k 1 x 令 k 1