【科学备考】（新课标）高考数学二轮复习 第十四章 推理与证明 理（含试题）.doc

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第十四章 推理与证明 理（含2014试题）理数1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()a.方程x3+ax+b=0没有实根b.方程x3+ax+b=0至多有一个实根c.方程x3+ax+b=0至多有两个实根d.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 1.a解析 1.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.2.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()a.2人b.3人c.4人d.5人答案 2.b解析 2.设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n1时,对x(0,a-1有(x)0,(x)在(0,a-1上单调递减,(a-1)1时,存在x0,使(x)n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于+,x0.令x=,nn+,则ln.下面用数学归纳法证明.当n=1时,ln 2,结论成立.假设当n=k时结论成立,即+ln(k+1).那么,当n=k+1时,+ln(k+1)+ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由可知,结论对nn+成立.证法二:上述不等式等价于+,x0.令x=,nn+,则ln.故有ln 2-ln 1,ln 3-ln 2,ln(n+1)-ln n,上述各式相加可得ln(n+1)+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而+是图中所示各矩形的面积和,+dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.15.(2014安徽,21,13分)设实数c0,整数p1,nn*.()证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px;()数列an满足a1,an+1=an+.证明:anan+1.答案 15.查看解析解析 15.()证明:用数学归纳法证明:当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设p=k(k2,kn*)时,不等式(1+x)k1+kx成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以p=k+1时,原不等式也成立.综合可得,当x-1,x0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.()证法一:先用数学归纳法证明an.当n=1时,由题设a1知an成立.假设n=k(k1,kn*)时,不等式ak成立.由an+1=an+易知an0,nn*.当n=k+1时,=+=1+.由ak0得-1-1+p=.因此c,即ak+1.所以n=k+1时,不等式an也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式an均成立.再由=1+可得1,即an+1an+1,nn*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x,则xpc,并且f (x)=+(1-p)x-p=0,x.由此可得, f(x)在,+)上单调递增.因而,当x时, f(x)f()=,当n=1时,由a10,即c可知a2=a1+=a1,从而a1a2.故当n=1时,不等式anan+1成立.假设n=k(k1,kn*)时,不等式akak+1成立,则当n=k+1时, f(ak)f(ak+1)f(),即有ak+1ak+2.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式anan+1均成立.16.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)=(x0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,nn*.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的nn*,等式=都成立.答案 16.查看解析解析 16.(1)由已知,得f1(x)=f 0(x)=-,于是f2(x)=f 1(x)=-=-+,所以f1=-, f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf 0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的nn*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为kfk-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),=cos=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的nn*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(nn*).所以=(nn*).17.(2014北京,20,13分)对于数对序列p:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn),记t1(p)=a1+b1,tk(p)=bk+maxtk-1(p),a1+a2+ak(2kn),其中maxtk-1(p),a1+a2+ak表示tk-1(p)和a1+a2+ak两个数中最大的数.()对于数对序列p:(2,5),(4,1),求t1(p),t2(p)的值;()记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列p:(a,b),(c,d)和p:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较t2(p)和t2(p)的大小;()在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列p使t5(p)最小,并写出t5(p)的值.(只需写出结论)答案 17.查看解析解析 17.()t1(p)=2+5=7,t2(p)=1+maxt1(p),2+4=1+max7,6=8.()t2(p)=maxa+b+d,a+c+d,t2(p)=maxc+d+b,c+a+b.当m=a时,t2(p)=maxc+d+b,c+a+b=c+d+b.因为a+b+dc+b+d,且a+c+dc+b+d,所以t2(p)t2(p).当m=d时,t2(p)=maxc+d+b,c+a+b=c+a+b.因为a+b+dc+a+b,且a+c+dc+a+b,所以t2(p)t2(p).所以无论m=a还是m=d,t2(p)t2(p)都成立.()数对序列p:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的t5(p)值最小,t1(p)=10,t2(p)=26,t3(p)=42,t4(p)=50,t5(p)=52.18. (2014北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（）. （）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：.答案 18.查看解析解析 18.（）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立.假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. （7分）（）因为.当时，由（）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）19.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数（1）当时，证明对任意的；（2）求证：（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围答案 19.查看解析解析 19.（2）根据（1）的结论，当时，即令，则有， 7分即 8分(本问也可用数学归纳法证明.)当时，设的两根分别为与，则，不妨设当及时，当时，所以函数在上递增，在上递减，而所以时，且因此函数在有一个零点，而在上无零点；此时函数只有一个零点；综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为r14分20.(2014湖北武汉高三2月调研测试，22)（）已知函数f(x) ex1tx，x0r，使f(x0) 0，求实数t的取值范围；答案 20.查看解析解析 20.（）若t0，f (x) ex10，不合题意；若t0，只需f(x) min0求导数，得f (x) ex1t令f (x) 0，解得xlnt1当xlnt1时，f (x) 0，f(x) 在(，lnt1) 上是减函数；当xlnt1时，f (x) 0，f(x) 在(lnt1，) 上是增函数故f(x) 在xlnt1处取得最小值f(lnt1) tt(lnt1) tlnttlnt0，由t0，得lnt0，t1综上可知，实数t的取值范围为(，0) 1，+) 4分（）由（），知f(x) f(lnt1) ，即ex1txtlnt取t1，ex1x0，即xex1当x0时，lnxx1，当且仅当x1时，等号成立，故当x0且x1时，有lnxx121. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），21) 设函数. （）求函数的单调区间 () 若函数有两个零点，且，求证：答案 21.查看解析解析 21. （） ，当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 ， （4分）当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为 ， （6分） () 因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以 ，又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明 ,