云南省会泽县金钟镇第三中学八年级数学下册 第十六章 二次根式学案（无答案）（新版）新人教版.doc

1 第第 1616 章章 二次根式二次根式 16 1 二次根式 1 学习重点 二次根式的概念及意义 学习难点 二次根式的判断与字母取值范围的确定 学习过程 一 自主学习 感受新知 思考 用带根号的式子填空 看看写出的结果有什么特点 面积为s的正方形的边长为 要修建一个面积为 6 28m2的圆形喷水池 它的半径为 m 取 3 14 一个物体从高处自由下落 落到地面所用的时间为t 单位 s 与开始下落的高度 h 单位 米 满足关系h 5t2 如果用含有h的式子表示t 则t 在上面的问题中 结果分别是 它们都是表示分别表示 s 2 5 h 的 我们知道 一个正数有两个平方根 它们 0 的平方根是 在实数范围内 数没有平方根 因此 开平方时 被开方数只能是 归纳 一般地 我们把形如a a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 注意 二次根式应满足两个条件 1 形式上必须是a的形式 2 被开方数必须是 二 自主交流 探究新知 探究 当x是怎样的实数时 2 x在实数范围内有意义 三 自主应用 巩固新知 例 1 下列式子 哪些是二次根式 哪些不是二次根式 2 3 3 1 x x x 0 0 4 2 2 1 xy xy x 0 y 0 例 2 当x是多少时 23x 1 1x 在实数范围内有意义 例 3 已知 y 2x 2x 5 求 x y 的值 若1a 1b 0 求a2012 b2012的值 随堂练习 3 1 2 2 1 下列各式中 22 2 a a a a0 时 a表示a的 因此 a 0 当a 0 时 a表示 0 的 因此 a 就是说a a 0 总是一个 数 若3x 3x 有意义 则 2 x 使式子 2 5 x 有意义的未知数x有 个 a 0 b 1 c 2 d 无数 二 自主交流 探究新知 探究 根据算术平方根的意义填空 4 2 2 2 9 2 3 2 1 3 2 7 2 2 0 2 根据以上结果 你能发现什么规律 归纳 二次根式的性质 a 2 a 0 三 自主应用 巩固新知 例 1 计算 3 2 2 35 2 5 6 2 7 2 2 例 2 计算 1x 2 x 0 2 a 2 2 21aa 2 2 4129xx 2 例 3 在实数范围内分解下列因式 1 x2 3 2 x4 4 3 2x2 3 巩固练习 5 1 1 计算 4 1 9 2 2 3 2 3 1 2 6 2 4 3 2 3 2 5 2 33 2 2 33 2 2 把下列非负数写成一个数的平方的形式 5 3 4 1 6 x x 0 3 已知1xy 3x 0 求xy的值 4 在实数范围内分解下列因式 x2 2 x4 9 3x2 5 5 16 1 二次根式 3 学习重点 二次根式的性质及运用 学习难点 运用二次根式的性质进行二次根式的化简 学习过程 一 自主学习 感受新知 形如 的式子叫做二次根式 a a 0 是一个 数 a 2 二 自主交流 探究新知 探究 计算 2 4 2 2 0 2 5 4 2 20 观察其结果与根号内幂底数的关系 归纳得到 当 aa 0时 计算 2 4 2 2 0 2 5 4 2 20 观察其结果与根号内幂底数的关系 归纳得到 当 aa 0时 计算 2 0 当 aa 0时 归纳 二次根式的性质 0 a 0 a 0 a 2 aa 三 自主应用 巩固新知 例 1 化简 1 9 2 2 4 3 25 4 2 3 例 2 求下列各式的值 2 4 5 2 32 2 2 1 2 14 3 例 3 实数a b在数轴上的位置如图 1 0 1 a b 6 化简 222 baba 代数式 用基本运算符号 包括加 减 乘 除 乘方和开方 把数和表示数的字母连接 起来的式子称为代数式 练习 5 2 1 如果2 2 2 xx 那么 x 的取值范围是 2 若 1 x 0 y 0 练习 8 练习 1 若32 3 2 xxxx 则 x 的取值范围是 2 自由落体的公式为 s 1 2 gt2 g为重力加速度 它的值为 10m s2 若物体下落的高度 为 720m 则下落的时间是 3 已知 35 2 1 a 35 2 1 b 求a2 ab b2的值 9 16 2 二次根式的除法 1 学习重点 二次根式的乘法运算和化简 学习难点 二次根式的乘法运算公式的双向使用 学习过程 一 自主学习 感受新知 问题 1 二次根式乘法法则是什么 完成下列填空 1 25 0 09 0 2332 2 若1 1 2 abab 则 a b 二次根式可以进行乘法运算 能否进行二次根式的除法运算 问题 2 已知一个三角形的面积为 2 15 2 1 cm 一条边长为5cm 求这条边上的高 二 自主交流 探究新知 探究 1 计算下列各式 观察计算结果 你发现什么规律 1 9 16 9 16 2 16 36 16 36 2 用你发现的规律填空 并用计算器进行验算 1 3 4 4 3 2 2 3 3 2 猜想 二次根式的除法法则 一般地 对二次根式的除法规定 a b a 0 b 0 这就是说 两个二次根式相除 用被开方数的商作商的被开方数 反过来 a b a 0 b 0 也成立 注意 二次根式的乘法与除法公式中b的取值范围不同 你知道为什么吗 三 自主应用 巩固新知 例 1 计算 1 12 3 2 31 28 3 11 416 4 64 8 10 解 例 2 化简 1 3 64 2 2 2 64 9 b a 3 2 9 64 x y 4 2 5 169 x y 解 说明 1 在上面的解法中 目的是去掉分母中的根号 2 在二次根式的运算中 最后结果一般要求分母中不含二次根式 定义 最简二次根式 如果二次根式有如下两个特点 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 练习 11 1 2 例 3 判断下列二次根式 哪些是最简二次根式 为什么 8 a 1 5 2 22 yx 22 ba 3 42 2 3 11 16 2 二次根式的除法 2 学习重点 二次根式的乘除运算 学习难点 运用二次根式的性质进行二次根式的化简 学习过程 一 自主学习 感受新知 1 计算 1 3 5 2 3 2 27 3 8 2a 2 计算 1 5 3 12 2 2442 x yx y 3 23 8x y 思考 最简二次根式满足的条件 二 自主交流 探究新知 探究 观察下列各式 通过分母有理化 把不是最简二次根式的化成最简二次根式 1 21 1 21 21 2 1 21 21 2 1 1 32 1 32 32 32 32 32 3 2 同理可得 1 43 4 3 从计算结果中找出规律 并利用这一规律计算 1 21 1 32 1 43 1 20022001 2002 1 的值 分析 由题意可知 本题所给的是一组分母有理化的式子 因此 分母有理化后就可以 达到化简的目的 三 自主应用 巩固新知 例 1 如图 在 rt abc 中 c 90 ac 2 5cm bc 6cm 求 ab 的长 例 2 已知a为实数 化简 3 a a 1 a 阅读下面的解答过程 请判断是否正确 若不正确 请写出正确的解答过程 解 3 a a 1 a aa a 1 a a a 1 a 12 例 3 若x y为实数 且y 22 441 2 xx x 求yxyx 的值 练习 11 3 13 16 3 二次根式的加减 1 学习重点 二次根式的加减法 学习难点 找出能合并的最简二次根式 同类二次根式 学习过程 一 自主学习 感受新知 问题 1 计算下列各式 1 2x 3x 2 2x2 3x2 5x2 3 x 2x 3y 4 3a2 2a2 a3 问题 2 有一个三角形 它的两边长分别为cm20和cm80 如果该三角形的周长为 cm59 你能求出第三边长吗 二 自主交流 探究新知 探究 1 计算下列各式 1 22 32 2 28 38 58 3 7 27 39 7 4 33 23 2 总结 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二 次根式进行合并 二次根式的加减类似于合并同类项的运算 探究 2 把下列各根式化简 归纳 几个二次根式化成最简二次根式后 如果被开方数相同 这几个二次根式就叫做 同类二次根式 练习 下列各式中 哪些是同类二次根式 归纳 进行二次根式加减运算时 首先要正确识别同类二次根式 关键是准确的化成二 次根式 然后观察被开方数是否相同 三 自主应用 巩固新知 例 1 计算 1 7512 2 4580 3 a9a25 1212 2 6 8 3 2 3 27 1 50 1 75 2 3 ba b a bab 3 1 1 8 45 7 32 6 2 1 5 50 4 18 3 48 2 12 1 14 例 2 计算 1 348 9 1 3 312 2 48 20 12 5 例 3 已知 4x2 y2 4x 6y 10 0 求 2 9 3 xx y2 3 x y x2 1 x 5x y x 的值 练习 16 1 2 15 16 3 二次根式的加减 2 学习重点 二次根式的加减法 学习难点 找出能合并的最简二次根式 同类二次根式 学习过程 一 自主学习 感受新知 问题 1 下列运算错在哪里 如何改正 325 3223 5353 3963 653332 问题 2 计算 2 8 185 02 483 27 1 9122 8 1 3 1 2 75 0 32 27 33 1 3 2 y y x y x 二 自主交流 探究新知 探究 如图所示的 rt abc 中 b 90 点 p 从点 b 开始沿 ba 边以 1 厘米 秒的速度 向点 a 移动 同时 点 q 也从点 b 开始沿 bc 边以 2 厘米 秒的速度向点 c 移动 问 几秒 后 pbq 的面积为 35 平方厘米 pq 的距离是多少厘米 结果用最简二次根式表示 三 自主应用 巩固新知 例 1 要焊接如图所示的钢架 大约需要多少米钢材 精确到 0 1m 例 2 若最简根式 3 43 a b ab 与根式 232 26abbb 是同类二次根式 或化简后能合 并 求a b的值 分析 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同 事实上 根式 232 26abbb 不是最简二次根式 因此把 232 26abbb 化简成 b ba c q p b a c 2m 1m 4m d 16 26ab 才由同类二次根式的定义得 3a b 2 2a b 6 4a 3b 练习 16 3 17 16 3 二次根式的加减 3 学习重点 二次根式的混合运算 学习难点 二次根式运算的应用 学习过程 一 自主学习 感受新知 请同学们完成下列各题 1 计算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 计算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 二 自主交流 探究新知 探究 如果把上面的x y z改写成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成 立 整式运算中的x y z是一种字母 它的意义十分广泛 可以代表所有一切 当然也可以 代表二次根式 所以 整式中的运算规律也适用于二次根式 例 1 计算 1 6 8 3 2 46 32 22 例 2 计算 1 5 6 3 5 2 10 7 10 7 三 自主应用 巩固新知 例 3 计算 32 3 1 3123 253 253 22 632 632 777 777 例 4 当x 15 7 y 15 7 求x2 xy y2的值 知识拓展 1 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后 它们的被开方数相同 这些 二次根式就称为同类二次根式 就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习 下列各组二次根式中 是同类二次根式的是 a 2x与2y b 34 8 9 a b与 58 9 2 a b c mn与n d mn 与mn 18 2 互为有理化因式 互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式 a b a b a2 b2 同时它们的积是有理数 不含有二次根式 如x 1 2 2xx 与 x 1 2 2xx 就是互为有理化因式 x与 1 x 也是互为有理化因式 练习 2 3的有理化因式是 x y的有理化因式是 1x 1x 的有理化因式是 3 分母有理化是指把分母中的根号化去 通常在分子 分母上同乘以一个二次根式 达 到化去分母中的根号的目的 练习 把下列各式的分母有理化 1 1 51 2 1 12 3 3 2 62 4 3 34 2 3 34 2 19 二次根式 小结与复习 1 学习重点 含二次根式的式子的混合运算 学习难点 综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子 学习过程 知识点 1 二次根式的意义 一般地 我们把形如a a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 二次根式应满足两个条件 1 形式上必须是a的形式 2 被开方数必须是非负数 练习一 1 式子 21 3 1 31 1 2 1 27 25 1 1 3 xxaaaa 2 1a 中 是二次根式的是 2 当 a 时 1 a是二次根式 3 若式子 2 1 x x 有意义 则 x 的取值范围是 4 使式子a23 有意义且取得最小值的 a 的取值是 a23 的最小值是 知识点二 二次根式的性质 0 2 aaa 2 aa ab a b a 0 b 0 a b a b a 0 b 0 练习二 1 化简 2 2 2 32 2 16 0 2 若12 1 22 xxxy 则xy 3 分解因式 x2 3 2x3 10 x 4 化简 2 3 1 x x 知识点三 最简二次根式 满足下列条件的二次根式 称为最简二次根式 被开方数不含分母 被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式 练习三 1 在根式 8 122 2 30 125 5 2 x a x a中 最简二次根式是 2 若 nmb a5为最简二次根式 则m n 20 3 化简 3 4 122 4 3 nnb a 23 1 1 1 1 a a 知识点四 二次根式的乘除法 1 二次根式的乘法 a b ab a 0 b 0 2 二次根式的除法 a b a b a 0 b 0 练习四 计算 1 6 3 2 2 21 2 3 4 3 2 3 xyyxx42 2 3 3 2 2 2 3 2 1 2459 知识点五 二次根式的加减 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式 即同类二次根式 进行合并 练习五 1 下列二次根式中 能与2合并的是 a 8b 12c 24d 40 2 若x y 3 22 x y 3 22 则 22 yx 的值为 3 计算 183 3 1 6122 2 252 3 12276485 123 123 21 二次根式 小结与复习 2 学习重点 含二次根式的式子的混合运算 学习难点 综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子 学习过程 1 要使二次根式62 x有意义 x应满足的条件是 2 下列二次根式中属于最简二次根式的是 a 1 2 ab 2 1 c 8d 27 3 下列计算正确的是 a 562432 b 248 c 3327 d 3 3 2 4 估计20 2 1 32 的运算结果应在 a 6 到 7 之间b 7 到 8 之间c 8 到 9 之间d 9 到 10 之间 5 已知二次根式42 a与2是同类二次根式 则a的值可以是 a 5b 6c 7d 8 6 方程xx2 1 3 的解是 7 把 3 1 a a 根号外的因式移入根号内 得 8 已知 2 x 4 化简 22 4 2 xx 9 计算 6030 aba228 3 10 23 的绝对值是 倒数是 11 观察下列各式 3 1 2 3 1 1 4 1 3 4 1 2 5 1 4 5 1 3 请你将发现的 规律用含自然数 n 的等式表示出来是 12 计算 20102009 154 154 2 2332 56 56 32 1 2 1 24 31 2 13 已知x 2 10 试求x2 4x 3 的值 22 14 有这样一类题目 将ba2 化简 如果你能找到两个数m n 使m2 n2 a 并且 mm b 则将a b2变成m2 n2 2mn m n 2开方 从而使得ba2 化简 例如 化简223 解 223 22 122 2 2 21 1 2 仿照上例化简下列各式 324 625 15 观察下列等式 12 1 12 12 12 12 23 1 23 23 23 23 34 1 34 34 34 34 解答下列问题 利用你观察到的规律化简 1132 1 计算 12 1 23 1 34 1 20082009 1 12009 23 金钟三中 2015 年春季学期二次根式单元测试题 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 题 号 12345678910 答 案 1 如果1x 有意义 那么x的取值范围是 a 1x b 1x c 1x d 1x 2 2的相反数是 a 2 b 2 c 2 2 d 2 2 3 下列根式中属最简二次根式的是 a 2 1a b 1 2 c 8 d 1 2 4 下列计算错误的是 a 1477 2 b 60302 c 9258aaa d 3 223 5 下列二次根式中与2是同类二次根式的是 a 12 b 2 3 c 3 2 d 18 6 若75n是整数