江西省中考数学复习 第3单元 函数及其图像 第14课时 二次函数及其图象课件.ppt

第三单元函数及其图象 第14课时二次函数及其图象 知识体系图 要点梳理 二次函数及其图象 二次函数所描述的关系 二次函数的图象及性质 二次函数与一元二次方程 二次函数的概念 平移 用三种方法表示 图象法 列表法 解析法 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 利用二次函数的图象求一元二次方程跟的近似值 与坐标轴的位置关系 3 4 1二次函数的概念 定义 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 那么y叫做x的二次函数 要点梳理 3 4 2二次函数的图象及性质 要点梳理 二次函数y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的图象是抛物线 1 当a 0时 抛物线开口向上 对称轴是直线x 当x 时 y有最小值为 在对称轴左边 即x 时 y随x增大而减小 在对称轴右侧 即x 时 y随x增大而增大 顶点是抛物线上位置最低的点 要点梳理 2 当a 0时 抛物线开口向下 对称轴是直线x 当x 时 y有最大值为 在对称轴左边 即x 时 y随x增大而增大 在对称轴右侧 即x 时 y随x增大而减小 顶点是抛物线上位置最高的点 要点梳理 3 4 3二次函数解析式的三种形式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 3 交点式 y a x x1 x x2 a 0 4 三种解析式的关系 顶点式一般式交点式 因式分解 配方 要点梳理 3 4 4二次函数系数a b c与图象的关系 1 a的作用 决定开口的方向和大小 1 a 0 开口向上 a 0开口向下 2 a 越大 抛物线开口越小 a 越小 抛物线开口越大 2 b的作用 决定顶点的位置 1 a b同号 对称轴在y轴左侧 2 a b异号 对称轴在y轴右侧 3 b 0 对称轴为y轴 要点梳理 3 c的作用 决定抛物线与y轴的交点位置 1 c 0时 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上 2 c 0时 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上 3 c 0时 抛物线过原点 要点梳理 3 4 5二次函数图象的平移 要点梳理 y ax2 y a x h 2 y ax2 k y a x h 2 k 上加下减 向上 k 0 下 k 0 平移 k 个单位 上加下减 向上 k 0 下 k 0 平移 k 个单位 左加右减 左加右减 平移 h 个单位向右 h0 左 h0 平移 h 个单位向右 h0 左 h0 3 4 6二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y ax2 bx c a 0 中 取y 0时 x的取值就是一元二次方程ax2 bx c 0的解 即y ax2 bx c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 1 当b2 4ac 0 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个交点 即方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根 2 当b2 4ac 0 抛物线y ax2 bx c与x轴有一个交点 即方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根 3 当b2 4ac 0 抛物线y ax2 bx c与x轴没有交点 即方程ax2 bx c 0没有实数根 要点梳理 解析式的求法 确定二次函数的解析式 一般用待定系数法 由于二次函数解析式有三个解析式a b c 或a h k或a x1 x2 因而确定二次函数解析式需要已知三个独立条件 1 已知抛物线上三个任意点时 选用一般式比较方便 2 已知抛物线的顶点坐标 选用顶点式比较方便 3 已知抛物线与x轴两个交点的坐标 或横坐标x1 x2 时 选用交点式比较方便 学法指导 例1 2016年贺州 抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 则一次函数y ax b与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为 b 解析 此题考查了二次函数图象 反比例函数图象与一次函数图象的关系 根据二次函数图象的性质可以看出a 0 b 0 c 0 所以一次函数y ax b图象经过一 三 四象限 反比例函数经过二 四象限 故选择b 经典考题 例2 2016年达州 如图 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交于点a 1 0 与y轴的交点b在 0 2 和 0 1 之间 不包括这两点 对称轴为直线x 1 下列结论 d abc 0 4a 2b c 0 4ac b2 8a b ca b c d 经典考题 解析 此题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系 中 函数图象开口向上 a 0 对称轴在y轴右侧 故ab异号 抛物线与y轴交点在y轴负半轴 c 0 abc 0 故 正确 中 二次函数图象与x轴的一个交点为a 1 0 函数图象对称轴为x 1 该二次函数图象与x轴的另一个交点为 3 0 由题可知当 1 x 3时 y 0 故当x 2时 y 4a 2b c 0 故 错误 中 图象与x轴有两个交点 b2 4ac 0 故4ac b2 0 又因为a 0 8a 0 4ac b2 8a 故 正确 中 函数图象与x轴的一个交点为 1 0 当x 1时 a b c 0 c b a 又因为对称轴为x 1 则即b 2a c 3a 又 函数图象与y轴交点在 0 2 0 1 之间 2 c 1 即 2 3a 1 故 正确 a 0 b c 0 a b c 即b c 故 正确 经典考题 例3 2016年山西 将抛物线y x2 4x 4向左平移三个单位 再向上平移五个单位 得到抛物线的表达式为 d a y x 1 2 13b y x 5 2 3c y x 5 2 13d y x 1 2 3 解析 此题考查了二次函数图象的平移 二次函数图象平移 先将解析式变为顶点式比较方便 题中二次函数变为顶点式为 y x 2 2 8 根据平移的规律左加右减 上加下减可以得到平移后的二次函数的解析式为d选项 故选择d选项 经典考题 例4 2016年江西 设抛物线的解析式为y ax2过点b1 1 0 作x轴的垂线 交抛物线于点a1 1 2 过点b2 作x轴的垂线 交抛物线于点a2 过点bn n为正整数 作x轴的垂线 交抛物线于点an 连接anbn 1 得直角三角形anbnbn 1 1 求a的值 2 直接写出线段anbn bnbn 1的长 用含n的式子表示 3 在系列rt anbnbn 1中 探究下列问题 当n为何值时 rt anbnbn 1是等腰直角三角形 设1 k m n k m均为正整数 问是否存在rt akbkbk 1与rt ambmbm 1相似 若存在 求出其相似比 若不存在 说明理由 经典考题 解 1 把a 1 2 代入y ax2得 2 a 1 a 2 2 anbn bnbn 1 3 若rt anbnbn 1是等腰直角三角形 则anbn bnbn 1 n 3 若rt akbkbk 1与rt ambmbm 1相似 则 经典考题 且m k都是正整数 或将其代入得相似比为8 1或64 1 解析 此题考查了二次函数解析式的求法 以及二次函数与寻找规律以及三角形结合起来考查 经典考题 例5 2016年安徽 如图 二次函数y ax2 bx的图象经过点a 2 4 与b 6 0 1 求a b的值 2 点c是该二次图像上a b两点之间的一个动点 横坐标为x 2 x 6 写出四边形oacb的面积关于点c横坐标的函数表达式 并求出s的最大值 经典考题 解 1 将a 2 4 与b 6 0 代入y ax2 bx 得 解