【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题八 第一讲坐标系与参数方程.DOC

专题八 系列4选讲(b部分)第一讲坐标系与参数方程1 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设m是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.2 直线的极坐标方程若直线过点m(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点m(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点m(b，)且平行于极轴：sin b.3 圆的极坐标方程若圆心为m(0，0)，半径为r的圆的方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r：r；(2)圆心位于m(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)圆心位于m(r，)，半径为r：2rsin .4 直线的参数方程过定点m(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)5 圆的参数方程圆心在点m(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)6 圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为.1 (2013广东)已知曲线c的极坐标方程为2cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线c的参数方程为_答案(为参数)解析由2cos 知，22cos 所以x2y22x，即(x1)2y21，故其参数方程为(为参数)2 (2013江西)设曲线c的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为_答案sin cos2解析由得曲线c的普通方程为yx2，在极坐标系中，将代入得曲线c的极坐标方程为sin cos2.3 (2013湖北)在直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程为(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆o的极坐标方程分别为sin ()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆c的焦点，且与圆o相切，则椭圆c的离心率为_答案解析椭圆c的标准方程为1，直线l的标准方程为xym，圆o的方程为x2y2b2，由题意知，a2b22b2，a23b2，e .4 (2011陕西)在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点a，b分别在曲线c1：(为参数)和曲线c2：1上，则ab的最小值为_答案3解析c1：(x3)2(y4)21，c2：x2y21，两圆心之间的距离为d5.a曲线c1，b曲线c2，abmin523.5 (2012湖南)在直角坐标系xoy中，已知曲线c1：(t为参数)与曲线c2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.答案解析消去参数t得2xy30.又消去参数得1.方程2xy30中，令y0得x，将代入1，得1.又a0，a.题型一极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆c的极坐标方程：2sin (为参数)(1)将直线l的参数方程和圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆c的位置关系审题破题利用消参的思想可以将参数方程化为普通方程；极坐标方程要利用两种坐标之间的关系解(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y2x1；2sin，即2(sin cos )，两边同乘以得22(sin cos )，消去参数，得圆c的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)圆心c到直线l的距离d，所以直线l和圆c相交反思归纳(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性变式训练1已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆c的极坐标方程为4cos.(1)将圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆c的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6.题型二曲线的极坐标方程例2在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线c的极坐标方程为cos1，m，n分别为曲线c与x轴，y轴的交点(1)写出曲线c的直角坐标方程，并求m，n的极坐标；(2)设m，n的中点为p，求直线op的极坐标方程审题破题可以通过曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化进行突破解(1)cos1，cos cos sin sin 1.又，xy1.即曲线c的直角坐标方程为xy20.令y0，则x2；令x0，则y.m(2,0)，n.m的极坐标为(2,0)，n的极坐标为.(2)m，n连线的中点p的直角坐标为，p的极角为.直线op的极坐标方程为，r.反思归纳直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验变式训练2(2012辽宁)在直角坐标系xoy中，圆c1：x2y24，圆c2：(x2)2y24.(1)在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆c1，c2的极坐标方程，并求出圆c1，c2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆c1与c2的公共弦的参数方程解(1)圆c1的极坐标方程为2，圆c2的极坐标方程为4cos .解得2，故圆c1与圆c2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)方法一由得圆c1与c2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆c1与c2的公共弦的参数方程为t.方法二将x1代入得cos 1，从而.于是圆c1与c2的公共弦的参数方程为 .题型三曲线的参数方程及应用例3(2012福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点m，n的极坐标分别为(2,0)，圆c的参数方程为(为参数)(1)设p为线段mn的中点，求直线op的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆c的位置关系审题破题将m，n两点的极坐标化为直角坐标，再得到圆c的普通方程问题即可解决解(1)由题意知，m，n的平面直角坐标分别为(2,0)，.又p为线段mn的中点，从而点p的平面直角坐标为，故直线op的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点m，n的平面直角坐标分别为(2,0)，所以直线l的平面直角坐标方程为x3y20.又圆c的圆心坐标为(2，)，半径为r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆c相交反思归纳有些题目用参数方程解决起来不方便，这时，我们一般将参数方程转化为熟悉的普通方程，再结合我们以前学过的知识来解决这体现了从未知到已知，从不熟悉到熟悉的转化思想，同时会简化运算提高做题的准确率变式训练3已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆c的极坐标方程为2cos()(1)求圆心c的直角坐标；(2)由直线l上的点向圆c引切线，求切线长的最小值解(1)cos sin ，2cos sin ，圆c的直角坐标方程为x2y2xy0，即(x)2(y)21，圆心直角坐标为.(2)方法一由直线l上的点向圆c引切线，长是2，由直线l上的点向圆c引的切线长的最小值是2.方法二直线l的普通方程为xy40，圆心c到直线l的距离是5，由直线l上的点向圆c引的切线长的最小值是2.典例(10分)在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点m的极坐标为，曲线c的参数方程为(为参数)(1)求直线om的直角坐标方程；(2)求点m到曲线c上的点的距离的最小值规范解答解(1)由点m的极坐标为，得点m的直角坐标为(4,4)，所以直线om的直角坐标方程为yx.4分(2)由曲线c的参数方程(为参数)，化成普通方程为(x1)2y22，圆心为a(1,0)，半径为r，由于点m在曲线c外，故点m到曲线c上的点的距离的最小值为mar5.10分评分细则(1)得出m的直角坐标给2分；(2)得出曲线c的参数方程给2分；最小值直接写出没有中间过程扣2分阅卷老师提醒参数方程和极坐标方程的综合是高考命题的一贯方式，解决的基本思想是化为普通方程(直角坐标方程)，要求计算准确，注意参数的范围1 已知圆c的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 1，则直线l与圆c的交点的直角坐标为_答案(1,1)，(1,1)解析圆c的直角坐标方程为x2(y1)21，直线l的直角坐标方程为y1.或l与c的交点的直角坐标为(1,1)，(1,1)2 在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线c2的方程为(cos sin )10，则c1与c2的交点个数为_答案2解析依题意，曲线c1的普通方程为x2(y1)21；曲线c2的直角坐标系下的方程为xy10.易判断圆心(0,1)在直线xy10上故c1与c2的交点个数为2.3 点p(x，y)在曲线(为参数，r)上，则的取值范围是_答案，解析消去参数得曲线的标准方程为(x2)2y21，圆心为(2,0)，半径为1，设k，则直线ykx，即kxy0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d1，解得k，由图象知k的取值范围是k，即的取值范围是，4 若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k_.答案1解析直线l1：kx2y4k0.直线l2：2xy10.l1与l2垂直，2k20，k1.5 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为 (r)，它与曲线(为参数)相交于两点a和b，则ab_.答案解析极坐标方程 (r)对应的平面直角坐标系中方程为yx，(为参数)(x1)2(y2)24.圆心(1,2)，r2.圆心到直线yx的距离d，ab22 .6 (2012广东)在平面直角坐标系xoy中，曲线c1和c2的参数方程分别为(t为参数)和(为参数)，则曲线c1与c2的交点坐标为_答案(1,1)解析化参数方程为普通方程然后解方程组求解c1的普通方程为y2x(x0，y0)，c2的普通方程为x2y22.由得c1与c2的交点坐标为(1,1)专题限时规范训练一、填空题1 曲线c：(为参数)，若以点o(0,0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是_答案4cos 解析曲线c：(为参数)的普通方程为(x2)2y24，x2y24x，若以点o(0,0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则方程为4cos .2 已知两曲线参数方程分别为(00)，直线l的参数方程是(t为参数)，曲线c与直线l有一个公共点在x轴上，则曲线c的普通方程为_答案1解析直线l的普通方程是xy2，与x轴的交点为(2,0)，又曲线的普通方程为1，代入交点(2,0)可得a2，则曲线c的普通方程为1.4 (2013重庆)在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则ab_.答案16解析将极坐标方程cos 4化为直角坐标方程得x4，将x4代入得t2，从而y8.所以a(4,8)，b(4，8)所以ab|8(8)|16.二、解答题5 设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y3x4，求l1与l2间的距离解将参数方程(t为参数)化为普通方程3xy20，因此l1与l2间的距离为d.6 在平面直角坐标系xoy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程解由题设知，椭圆的长半轴长a5，短半轴长b3，从而c4，所以右焦点为(4,0)将已知直线的参数方程化为普通方程：x2y20.故所求直线的斜率为，因此其方程为y(x4)，即x2y40.7 (2012江苏)在极坐标系中，已知圆c经过点p，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆c的极坐标方程解在sin中令0，得1，所以圆c的圆心坐标为(1,0)因为圆c经过点p，所以圆c的半径pc 1，于是圆c过极点，所以圆c的极坐标方程为2cos .8 已知直线的极坐标方程为sin，圆m的参数方程(其中为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x轴正半轴重合(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆m上的点到直线的距离的最小值解(1)极点为直角坐标原点o，sin，sin cos 1，可化为直角坐标方程：xy10.(2)将圆的参数方程化为普通方程：x2(y2)24，圆心为m(0，2)，半径r2.点m到直线的距离为d，圆上的点到直线距离的最小值为.9 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线c：sin22acos (a0)，已知过点p(2，4)的直线l的参数方程为直线l与曲线c分别交于m，n两点(1)写出曲线c和直线l的普通方程；(2)若pm，mn，pn成等比数列，求a的值解(1)y22ax，yx2.(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y22ax，得到t22(4a)t8(4a)0，则有t1t22(4a)，t1t28(4a)因为mn2pmpn，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2