【步步高】高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）8.3 直线、平面平行的判定与性质文档专练 文 新人教A版(1).DOC

8.3直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abp，a，b，a，b，a结论aba1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形abcd中，e、f分别是ab，ad的中点，则ef平面bcd.()(5)若，直线a，则a.()2.若直线l不平行于平面，且l，则 ()a.内的所有直线与l异面b.内不存在与l平行的直线c.内存在唯一的直线与l平行d.内的直线与l都相交答案b解析由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项b是正确的.3.下列命题中，错误的是()a.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行b.平行于同一个平面的两个平面平行c.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行d.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案c解析由面面平行的判定定理和性质知a、b、d正确.对于c，位于两个平行平面内的直线也可能异面.4.如图，正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上.若ef平面ab1c，则线段ef的长度等于_.答案解析因为直线ef平面ab1c，ef平面abcd，且平面ab1c平面abcdac，所以efac，又e是da的中点，所以f是dc的中点，由中位线定理可得efac，又在正方体abcda1b1c1d1中，ab2，所以ac2，所以ef.5.已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是_.答案解析因为，a，所以a，在平面内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题.在平面内存在无数条直线与直线a垂直，故命题为假命题.题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2012山东)如图，几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，cbcd，ecbd.(1)求证：bede；(2)若bcd120，m为线段ae的中点，求证：dm平面bec.思维启迪(1)利用等腰edb底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取bd的中点o，连接co，eo.由于cbcd，所以cobd.又ecbd，eccoc，co，ec平面eoc，所以bd平面eoc，因此bdeo.又o为bd的中点，所以bede.(2)方法一如图，取ab的中点n，连接dm，dn，mn.因为m是ae的中点，所以mnbe.又mn平面bec，be平面bec，所以mn平面bec.又因为abd为正三角形，所以bdn30.又cbcd，bcd120，因此cbd30.所以dnbc.又dn平面bec，bc平面bec，所以dn平面bec.又mndnn，所以平面dmn平面bec.又dm平面dmn，所以dm平面bec.方法二如图，延长ad，bc交于点f，连接ef.因为cbcd，bcd120，所以cbd30.因为abd为正三角形，所以bad60，abc90，因为afb30，所以abaf.又abad，所以d为线段af的中点.连接dm，由于点m是线段ae的中点，因此dmef.又dm平面bec，ef平面bec，所以dm平面bec.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa).如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，h分别为棱a1b1，d1c1上的点，且eha1d1，过eh的平面与棱bb1，cc1相交，交点分别为f，g，求证：fg平面add1a1.证明因为eha1d1，a1d1b1c1，eh平面bcc1b1，b1c1平面bcc1b1，所以eh平面bcc1b1.又平面fghe平面bcc1b1fg，所以ehfg，即fga1d1.又fg平面add1a1，a1d1平面add1a1，所以fg平面add1a1.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点，求证：(1)b，c，h，g四点共面；(2)平面efa1平面bchg.思维启迪要证四点共面，只需证ghbc；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1)gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1.又b1c1bc，ghbc，b，c，h，g四点共面.(2)e、f分别为ab、ac的中点，efbc，ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形，a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg.a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，s是b1d1的中点， e、f、g分别是bc、dc、sc的中点，求证：(1)直线eg平面bdd1b1；(2)平面efg平面bdd1b1.证明(1)如图，连接sb，e、g分别是bc、sc的中点，egsb.又sb平面bdd1b1，eg平面bdd1b1，直线eg平面bdd1b1.(2)连接sd，f、g分别是dc、sc的中点，fgsd.又sd平面bdd1b1，fg平面bdd1b1，fg平面bdd1b1，且eg平面efg，fg平面efg，egfgg，平面efg平面bdd1b1.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体abcd中，截面efgh平行于对棱ab和cd，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值.解ab平面efgh，平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg、eh.abfg，abeh，fgeh，同理可证efgh，截面efgh是平行四边形.设aba，cdb，fgh (即为异面直线ab和cd所成的角或其补角).又设fgx，ghy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，sefghfgghsin x(ax)sin x(ax).x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面efgh的顶点e、f、g、h为棱ad、ac、bc、bd的中点时截面面积最大.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形，侧棱pa底面abcd，在侧面pbc内，有bepc于e，且bea，试在ab上找一点f，使ef平面pad.解在平面pcd内，过e作egcd交pd于g，连接ag，在ab上取点f，使afeg，egcdaf，egaf，四边形fega为平行四边形，feag.又ag平面pad，fe平面pad，ef平面pad.f即为所求的点.又pa面abcd，pabc，又bcab，bc面pab.pbbc.pc2bc2pb2bc2ab2pa2.设pax则pc，由pbbcbepc得：aa，xa，即paa，pca.又ce a，即gecda，afa.立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图，在四面体pabc中，pcab，pabc，点d，e，f，g分别是棱ap，ac，bc，pb的中点.(1)求证：de平面bcp；(2)求证：四边形defg为矩形；(3)是否存在点q，到四面体pabc六条棱的中点的距离相等？说明理由.思维启迪(1)利用depc证明线面平行；(2)利用平行关系和已知pcab证明dedg；(3)q应为eg中点.规范解答(1)证明因为d，e分别是ap，ac的中点，所以depc.又因为de平面bcp，所以de平面bcp.3分(2)证明因为d，e，f，g分别为ap，ac，bc，pb的中点，所以depcfg，dgabef.所以四边形defg为平行四边形.又因为pcab，所以dedg.所以四边形defg为矩形.7分(3)解存在点q满足条件，理由如下：8分连接df，eg，设q为eg的中点，由(2)知，dfegq，且qdqeqfqgeg.分别取pc，ab的中点m，n，连接me，en，ng，mg，mn.与(2)同理，可证四边形meng为矩形，其对角线交点为eg的中点q，且qmqneg，所以q为满足条件的点.12分解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论.第二步：证明探求结论的正确性.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”.方法与技巧1.平行问题的转化关系线线线面面性质判定面2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若直线a平行于平面，则下列结论错误的是()a.a平行于内的所有直线b.内有无数条直线与a平行c.直线a上的点到平面的距离相等d.内存在无数条直线与a成90角答案a解析若直线a平行于平面，则内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以a不正确，b、d正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以c正确.2.若直线m平面，则条件甲：“直线l”是条件乙：“lm”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案d3.已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()a.ab，b，则ab.a，b，a，b，则c.a，b，则abd.当a，且b时，若b，则ab答案c解析a选项是易错项，由ab，b，也可能推出a；b中的直线a，b不一定相交，平面，也可能相交；c正确；d中的直线a，b也可能异面.4.在空间四边形abcd中，e，f分别为ab，ad上的点，且aeebaffd14，又h，g分别为bc，cd的中点，则()a.bd平面efg，且四边形efgh是平行四边形b.ef平面bcd，且四边形efgh是梯形c.hg平面abd，且四边形efgh是平行四边形d.eh平面adc，且四边形efgh是梯形答案b解析如图，由题意得，efbd，且efbd.hgbd，且hgbd.efhg，且efhg.四边形efgh是梯形.又ef平面bcd，而eh与平面adc不平行.故选b.5.下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是()a.b.c.d.答案b解析中易知npaa，mnab，平面mnp平面aab可得出ab平面mnp(如图).中，npab，能得出ab平面mnp.二、填空题6.过三棱柱abca1b1c1任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线有_条.答案6解析如图，e、f、g、h分别是a1c1、b1c1、bc、ac的中点，则 与平面abb1a1平行的直线有ef，gh，fg，eh，eg，fh共6条.7.如图所示，abcda1b1c1d1是棱长为a的正方体，m、n分别是下底面的棱a1b1、b1c1的中点，p是上底面的棱ad上的一点，ap，过p、m、n的平面交上底面于pq，q在cd上，则pq_.答案a解析平面abcd平面a1b1c1d1，mnpq.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，ap，cq，从而dpdq，pqa.8.在四面体abcd中，截面pqmn是正方形，则在下列结论中，错误的为_.acbd；ac截面pqmn；acbd；异面直线pm与bd所成的角为45.答案解析pqmn是正方形，mnqp，则mn平面abc，由线面平行的性质知mnac，则ac截面pqmn，同理可得mqbd，又mnqm，则acbd，故正确.又bdmq，异面直线pm与bd所成的角即为pmq45，故正确.三、解答题9.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac5，bb1bc6，d，e分别是aa1和b1c的中点.(1)求证：de平面abc；(2)求三棱锥ebcd的体积.(1)证明取bc中点g，连接ag，eg.因为e是b1c的中点，所以egbb1，且egbb1.由直棱柱知，aa1綊bb1，而d是aa1的中点，所以eg綊ad，所以四边形egad是平行四边形.所以edag.又de平面abc，ag平面abc，所以de平面abc.(2)解因为adbb1，所以ad平面bce，所以vebcdvdbecvabceveabc，由(1)知，de平面abc.所以veabcvdabcadbcag36412.10.如图e、f、g、h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、 c1d1、aa1的中点.求证：(1)eg平面bb1d1d；(2)平面bdf平面b1d1h.证明(1)取b1d1的中点o，连接go，ob，易证四边形bego为平行四边形，故obge，由线面平行的判定定理即可证eg平面bb1d1d.(2)由题意可知bdb1d1.如图，连接hb、d1f，易证四边形hbfd1是平行四边形，故hd1bf.又b1d1hd1d1，bdbfb，所以平面bdf平面b1d1h.b组专项能力提升(时间：30分钟)1.设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()a.m且l1b.ml1且nl2c.m且nd.m且nl2答案b解析对于选项a，不合题意；对于选项b，由于l1与l2是相交直线，而且由l1m可得l1，同理可得l2，故可得，充分性成立，而由不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选b；对于选项c，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项d，由于nl2可转化为n，同选项c，故不符合题意.综上选b.2.已知平面平面，p是、外一点，过点p的直线m与、分别交于a、c，过点p的直线n与、分别交于b、d且pa6，ac9，pd8，则bd的长为_.答案24或解析根据题意可得到以下如图两种情况