等比数列及其他数列.doc

编辑本段数字推理1、数列；2、等差数列；3、等比数列；4、双重数列；5、和差数列；6、积商数列；7、平方数列；8、立方数列。 第一类数列（最容易的数列）：（n表示第几项数，a1表示第一项数字） 一、常见数列： （1）自然数数列：1、2、3、4、5、6、即an=n （2）偶数数列：2、4、6、8、10即an=2n （3）奇数数列：1、3、5、7、9即an=2n-1 （4）自然数平方数列：1、4、9、16、25、36即an=n2 （5）自然数立方数列：1、8、27、64即an=n3 编辑本段等差数列3、7、11、15、19 是指相邻两数的差值相等，整列数字是依次递增、递减或恒为常数的一组数字，通常用an=a1+(n-1)d来表示。如9、20、31、（42）、53。 等差数列是数字推理中最基本的规律，是解决数字推理题的“第一思维”，也即你解答任何数字推理时，都首先要想到等差数列，即从数字和数字之间的差的关系上进行判断和推理。 等差数列分为一级等差、二级等差、三级等差，一级等差是比较容易看出来的，就像19、27、35、43、51，它们之间的差值为8。 二级等差数列： 定义：如果一个数列的后项减去前项又得到一个新的等差数列，原数列就是二级等差数列。如： 150、163、179、198、（219） A、200 B、199 C、219 D、217 二级等差的变式：数列的后一项减前一项所得的差组成的新数列是一个呈某种规律变化的数列。这个数列有可能是自然数列、平方数列、立方数列，或者与加1减1有关的等式，或者是等比数列等等，像下面这一题： 1、2、5、14、（） A、31 B、41 C、51 D、61 三级等差：依此类推，三级等差就是指该数列的后项减去前项得一新的二级等差数列及其变式。我们看下面这一题： 1、10、31、70、133、（ ） A、136 B、186 C、226 D256 判断：0、4、16、40、80、（ ） A、160 B、128 、136 D、140 编辑本段等比数列及其变式等比数列，是指相邻两数字之间的比为一常数的数列，这个比值被称为公比，一般用字母q来表示。通项公式为： an=a1qn-1（q0） 例如：1、2、4、8、16、32、 这种数列的特点是数列各项都是依次递增或递减，但不能出现“0”这个常数，有“0”的就可以排除是等比数列。 一级等比比较容易判断，如1、4、16、64、（ ） A、72 B、128 C、192 D、256 二级等比和三级等比及其变式是比较难判断，要经两三步的推算，下面我们来看二级等比数列： 2、2、4、16、（ ） A、32 B、48 C、64 D、128 它的一个变式： 1/4，1/4，1，9，（ ） A、81 B、121 C、144 D、169 判断：2 4 12 48 （ ） A、96 B、120 C、240 D、480 编辑本段等差数与等比数列的混合就是一部分是等差数列，另一部分是等比数列。如：3/7 5/14 7/28 9/56 （ ） 13/224 A、2/7 B、11/112 C、11/49 D、15/63 再看这个数列：164 100 68 （ ） 44 A、50 B、55 C、52 D、49 编辑本段双重数列特点是相邻之间的数字没有必然的联系，数字之间的规律藏于奇数列之间和偶数列之间。做这种题，先扫一眼看是双重数列，就应用做题规律来解决。例：7 14 10 12 14 9 19 5 （ ） （ ） A、25 B、20 C、16 D、0 编辑本段和差数列及其变式特点是第三项由前两项产生的。和数列是指第1项加第2项，等于第3项，（如果有这样一个数列A、B、C、D、E即A+B=C，B+C=D，C+D=E，）如：1、2、3、5、8、13、（ ） A、14 B、15 C、20 D、21 差数列是指前两项之差等于第三项。如果有这样一个数列： A、B、C、D、E、F，那么则为A-B=C，B-C=D，C-D=E 如：18、10、（8）、2、6 -4 和差数列的变式： 这种类型的题目，就是某数列前两项相加或相减，再经过某种变化得到第三项，则就可以用和差的方法来解答。如： 22、35、56、90、（ ）、234 A、162 B、156 C、145 再如：4、8、6、7、（ ）、27/4 A、13 B、13/2 C、17 D、21/4 例：4、5、11、14、22、（ ） A、24 B、26 C、27 D、36 和差数列还有一种类型就是三项和差及其变式，它的特点是前三项之和经过变化后得第四项。 如：0、1、1、2、4、7、13、（ ） A、22 B、23 C、24 D、25 再看一个例子：2、3、4、9、12、15、22、（ ） A、27 B、31 C、36 D、42 编辑本段积商数列特点也是第三项由前两项产生的，解题要点是要看第三项与前两项存在某种联系，并且变化的幅度很大，就可以考虑积商数列的规律。如：1、3、3、9、（ ）、243 A、12 B、27 C、127 D、169 下面来看它们的变式： 1、3、2、4、5、16、（ ） A、25 B、32 C、48 D、75 这道题的第三项是：13-1=2，32-2=4，24-3=5，45-4=16，516-5=75，应选D、75。 编辑本段平方数列把某一数列变为a12，a22，a32后，再看新的数列是什么关系，有什么特点，然后再回归原数列。如：16、36、25、49、36、64、（ ） A、49 B、81 C、100 D、121 它的一个变式：79、102、119、146、（ ） A、158 B、162 C、167 D、172 编辑本段立方数列它与平方数列差不多，也是将某数列变为a13,a23,a33之后再进行分析，如：29、62、127、214、（ ） A、428 B、408 C、345 D、397 再看：0、9、26、65、124、（ ） A、165 B、193 C、217 D、239等差数列百科名片等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均属于正整数。目录多项式数列 等差数列的基本公式 1. 通项公式 2. 前n项和公式 3. 推论等差中项 等差数列小故事 等差数列的基本性质 1. r次等差数列 2. 一次数列的性质 3. 等差数列的判定 4. 一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质 等差数列的特殊性质多项式数列 等差数列的基本公式 1. 通项公式 2. 前n项和公式 3. 推论等差中项 等差数列小故事 等差数列的基本性质 1. r次等差数列 2. 一次数列的性质 3. 等差数列的判定 4. 一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质 等差数列的特殊性质展开编辑本段多项式数列等差数列是多项式数列的一种 简称：A.P (arithmetic progression) 多项式数列: p(n)=b(0)+b(1)*n+.+b(k)*nk 多项式数列的和可以用一个矩阵来转换。令这个转换矩阵为A， 做向量b=b0,b1,.,bk 令向量c=A*b，c就是和公式的向量。 和项S(n)=c(1)*n+.+c(k)*nk+c(k+1)*n(k+1)。 3阶多项式数列的 A= A有专门的算法，可以用于matlab中。 function p=leeqi(r) format rat p=zeros(r,r); for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k); for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2); end 等差数列是多项式数列的一次形式b(0)+b(1)*n，在这里把多项式数列的一次形式简称为（一次数列）。 一次数列的通项公式为：p(n)=b(0)+b(1)*n；前n项和的公式为：S(n)=n,n2*1,1/2;0,1/2*b(0);b(1). 编辑本段等差数列的基本公式通项公式a(n)=a(1)+(n-1)*d ， n是正整数 前n项和公式S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n)/2 n是正整数 推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。 二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)= =a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=.=p(k)+p(n-k+1)，k1,2,n 三.若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，S(n)*k-S(n-1)*k或等差数列，等等。 若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) (对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q) 四.其他推论 和（首项末项）项数2 (证明：s(n)=n,n2*1,1/2;0,1/2*b(0);b(1)=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n2 (p(1)+p(n)*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n2=s(n) 项数（末项-首项）公差1 (证明：(p(n)-p(1)/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)/b(1)+1=(b(1)*(n-1)/b(1)+1=n-1+1=n) 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 (以上2项为第一个推论的转换) 末项=首项+（项数-1）公差 (上一项为第二个推论的转换) 推论3证明 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p) +a(q) 如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d =2*a(1)+(m+n-2)*d 同理得， a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d 又因为 m+n=p+q ; a(1),d均为常数 所以 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q) 注：1.常数列不一定成立 2.m,p,q,n属于自然数 编辑本段等差中项等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项. 等差数列中，等差中项：一般设为A(r)，A(m)+A(n)=2*A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且 为数列的平均数。 且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明 它可以看作等差数列广义的通项公式。 等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。 若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)0。 其实，中国古代南北朝的张丘建早已在张丘建算经提到等差数列了： 今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几 何? 书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。 这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n)/2*n的求和公式 编辑本段等差数列小故事高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。17951798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。 编辑本段等差数列的基本性质r次等差数列为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。 假设一个基En(x)=1,x,x2,.,xk，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=b0,b1,b2,.,bk。b同En的长度一样(k+1)。b表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数) p(x)=En(x)*b s(x)=x*En(x)*A*b m+n=p+q（m、n、p、qN*)则am+an=ap+aq 一次数列的性质1.p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)p2(x)与c*p1(x)p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x)构成直线。 2.p(m)-p(n)=En(m)*b-En(n)*b=(En(m)-En(n)*b=0,m-n*b 3.m+n=p+q - p(p)+p(q)=p(m)+p(n) (证明:m+n=p+q - En(m)+En(n)=En(p)+En(q) p(m)+p(n)=En(m)*b+En(n)*b=(En(m)+En(n)*b p(p)+p(q)=(En(p)+En(q)*b=(En(m)+En(n)*b=p(m)+p(n) ) 4.从p(x)=En(x)*b中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。 5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数 6.当一次项系数b(1)0时，数列中的数随项数的增大而增大；当b(1)0时，数列中的数随项数的减少而减小；b(1)0时，数列中的数等于一个常数. 等差数列的判定1、a(n+1)-a(n)=d (d为常数、n N*）或a（n)-a(n-1)=d，n N*，n 2,d是常数等价于a(n)成等差数列。 2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) nN* 等价于a(n)成等差数列。 3、a(n)=kn+b k、b为常数,nN* 等价于a(n)成等差数列。 4、S(n)=A(n)2 +B(n) A、B为常数，A不为0，n N* 等价于a(n)为等差数列。 一道例题1.设p(x)为一次数列，s(7)=7，s(15)=75，t(x)=s(x)/x，求T(x)，其中x为自然数 s(7);s(15)=7*En(7);15*En(15)*A*b=7;75 -b=A-1*7*En(7);15*En(15)-1*7;75t(x)=s(x)/x=x*En(x)*A*b/x=En(x)*A*b -st(x)=x*En(x)*A2*b=x*En(x)*A2*A-1*7*En(7);15*En(15)-1=x*En(x)*A*7*En(7);15*En(