高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 11.2 用样本估计总体课件.ppt

11 2用样本估计总体 第十一章统计与统计案例 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 作频率分布直方图的步骤 1 求极差 即一组数据中与的差 2 决定与 3 将数据 4 列 5 画 知识梳理 最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 2 频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 就得到频率分布折线图 2 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的增加 减小 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 中点 组数 组距 3 茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图 茎是指中间的一列数 叶就是从茎的旁边生长出来的数 4 标准差和方差 1 标准差是样本数据到平均数的一种 2 标准差 s 3 方差 s2 xn是样本数据 n是样本容量 是样本平均数 平均距离 1 频率分布直方图的特点 1 频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距 纵坐标表示 频率 组距 2 在频率分布直方图中 各小长方形的面积总和等于1 因为在频率分布直方图中组距是一个固定值 所以各小长方形高的比也就是频率比 3 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式 前者准确 后者直观 知识拓展 2 平均数 方差的公式推广 1 若数据x1 x2 xn的平均数为 那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均数是m a 2 数据x1 x2 xn的方差为s2 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平均数 众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 2 一组数据的众数可以是一个或几个 那么中位数也具有相同的结论 3 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写 右侧的叶按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 5 在频率分布直方图中 最高的小长方形底边中点的横坐标是众数 6 在频率分布直方图中 众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p100a组t2 1 一个容量为32的样本 已知某组样本的频率为0 25 则该组样本的频数为a 4b 8c 12d 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析设频数为n 3 p81a组t1 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数分别是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 a 91 5和91 5b 91 5和92c 91和91 5d 92和92 1 2 3 4 5 6 4 p71t1 如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图 则月均用水量为 2 2 5 范围内的居民有 人 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析0 5 0 5 100 25 25 题组三易错自纠5 若数据x1 x2 x3 xn的平均数 5 方差s2 2 则数据3x1 1 3x2 1 3x3 1 3xn 1的平均数和方差分别为a 5 2b 16 2c 16 18d 16 9 解析 答案 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解析 x1 x2 x3 xn的平均数为5 x1 x2 x3 xn的方差为2 3x1 1 3x2 1 3x3 1 3xn 1的方差是32 2 18 6 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试 得分 十分制 如图所示 假设得分的中位数为m 众数为n 平均数为 则m n 的大小关系为 用 连接 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由图可知 30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数 分别为5 6 的平均数 即m 5 5 又5出现次数最多 故n 5 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 1 2017 山东 如图所示的茎叶图记录了甲 乙两组各5名工人某日的产量数据 单位 件 若这两组数据的中位数相等 且平均值也相等 则x和y的值分别为 解析 答案 题型一茎叶图的应用 自主演练 a 3 5b 5 5c 3 7d 5 7 解析甲组数据的中位数为65 由甲 乙两组数据的中位数相等 得y 5 又甲 乙两组数据的平均值相等 56 65 62 74 70 x 59 61 67 65 78 x 3 故选a 2 2017 长沙一模 空气质量指数 airqualityindex 简单aqi 是定量描述空气质量状况的指数 空气质量按照aqi大小分为六级 0 50为优 51 100为良 101 150为轻度污染 151 200为中度污染 201 300为重度污染 大于300为严重污染 从某地一环保人士某年的aqi记录数据中 随机抽取10个 用茎叶图记录如下 根据该统计数据 估计此地该年aqi大于100的天数约为 该年有365天 解析 答案 146 茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况 这一点同频率分布直方图类似 它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据 没有任何信息损失 第二点是茎叶图便于记录和表示 其缺点是当样本容量较大时 作图较烦琐 命题点1用频率分布直方图求频率 频数典例从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本 考察竞赛的成绩分布 将样本分成5组 绘成频率分布直方图 图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1 3 6 4 2 最右边一组的频数是6 请结合频率分布直方图提供的信息 解答下列问题 题型二频率分布直方图的绘制与应用 多维探究 解答 1 求样本的容量 解由于最右边一组的频数是6 从左到右各小组的长方形的高之比为1 3 6 4 2 故设样本容量为n 得 1 3 6 4 2 n 2 6 解答 2 列出频率分布表 解频率分布表如下 解答 3 成绩落在哪个范围内的人数最多 并求出该小组的频数 频率 解答 4 估计这次竞赛中 成绩高于60分的学生占总人数的百分比 解估计成绩高于60分的学生占总人数的百分比为 命题点2用频率分布直方图估计总体典例 2016 四川 我国是世界上严重缺水的国家 某市为了制定合理的节水方案 对居民用水情况进行了调查 通过抽样 获得了某年100位居民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9组 制成了如图所示的频率分布直方图 1 求直方图中a的值 解答 解由频率分布直方图可知 月均用水量在 0 0 5 的频率为0 08 0 5 0 04 同理 在 0 5 1 1 5 2 2 2 5 3 3 5 3 5 4 4 4 5 等组的频率分别为0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 由1 0 04 0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 0 5 a 0 5 a 解得a 0 30 2 设该市有30万居民 估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数 说明理由 解答 解估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3 6万 理由如下 由 1 知 100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0 06 0 04 0 02 0 12 由以上样本的频率分布 可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000 0 12 36000 3 估计居民月均用水量的中位数 解答 解设中位数为x吨 因为前5组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 21 0 25 0 73 0 5 而前4组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 21 0 48 0 5 所以2 x 2 5 由0 50 x 2 0 5 0 48 解得x 2 04 故可估计居民月均用水量的中位数为2 04吨 1 准确理解频率分布直方图的数据特点 频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果 不要误以为纵轴上的数据是各组的频率 不要和条形图混淆 2 在很多题目中 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1 是解题的关键 常利用频率分布直方图估计总体分布 跟踪训练 2017 北京 某大学艺术专业400名学生参加某次测评 根据男女学生人数比例 使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生 记录他们的分数 将数据分成7组 20 30 30 40 80 90 并整理得到如下频率分布直方图 解答 1 从总体的400名学生中随机抽取一人 估计其分数小于70的概率 解根据频率分布直方图可知 样本中分数不小于70的频率为 0 02 0 04 10 0 6 所以样本中分数小于70的频率为1 0 6 0 4 所以从总体的400名学生中随机抽取一人 其分数小于70的概率估计为0 4 解答 2 已知样本中分数小于40的学生有5人 试估计总体中分数在区间 40 50 内的人数 解根据题意 样本中分数不小于50的频率为 0 01 0 02 0 04 0 02 10 0 9 分数在区间 40 50 内的人数为100 100 0 9 5 5 所以总体中分数在区间 40 50 内的人数估计为400 20 解答 3 已知样本中有一半男生的分数不小于70 且样本中分数不小于70的男女生人数相等 试估计总体中男生和女生人数的比例 解由题意可知 样本中分数不小于70的学生人数为 0 02 0 04 10 100 60 所以样本中分数不小于70的男生人数为60 30 所以样本中的男生人数为30 2 60 女生人数为100 60 40 所以样本中男生和女生人数的比例为60 40 3 2 所以根据分层抽样原理 估计总体中男生和女生人数的比例为3 2 典例 1 2017 长春模拟 抽样统计甲 乙两位射击运动员的5次训练成绩 单位 环 结果如下 题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征 师生共研 答案 解析 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 2 解答 2 甲 乙二人参加某体育项目训练 近期的五次测试成绩得分情况如图 分别求出两人得分的平均数与方差 解由图象可得甲 乙两人五次测试的成绩分别为甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分 解答 根据图和上面算得的结果 对两人的训练成绩作出评价 从折线图看 甲的成绩基本呈上升状态 而乙的成绩上下波动 可知甲的成绩在不断提高 而乙的成绩则无明显提高 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明的描述 它们所反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述其波动大小 解答 1 若某组成功研发一种新产品 则给该组记1分 否则记0分 试计算甲 乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差 并比较甲 乙两组的研发水平 解答 2 若该企业安排甲 乙两组各自研发一种新产品 试估计恰有一组研发成功的概率 高考中频率分布直方图的应用 高频小考点 频率分布直方图是高考考查的热点 考查频率很高 题型有选择题 填空题 也有解答题 难度为中低档 用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布 难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用 在计数和计算时一定要准确 在绘制小矩形时 宽窄要一致 通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计 频率分布直方图的纵坐标为频率 组距 每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率 条形图的纵坐标为频数或频率 把直方图视为条形图是常见的错误 考点分析 典例 12分 某城市100户居民的月平均用电量 单位 度 以 160 180 180 200 200 220 220 240 240 260 260 280 280 300 分组的频率分布直方图如图 1 求直方图中x的值 解答 解由 0 002 0 0095 0 011 0 0125 x 0 005 0 0025 20 1 得x 0 0075 所以直方图中x的值是0 0075 2分 2 求月平均用电量的众数和中位数 解答 解月平均用电量的众数是 230 4分 因为 0 002 0 0095 0 011 20 0 45 0 5 所以月平均用电量的中位数在 220 240 内 设中位数为a 由 0 002 0 0095 0 011 20 0 0125 a 220 0 5 得a 224 所以月平均用电量的中位数是224 8分 3 在月平均用电量为 220 240 240 260 260 280 280 300 的四组用户中 用分层抽样的方法抽取11户居民 则月平均用电量在 220 240 的用户中应抽取多少户 解答 解月平均用电量为 220 240 的用户有0 0125 20 100 25 户 月平均用电量为 240 260 的用户有0 0075 20 100 15 户 月平均用电量为 260 280 的用户有0 005 20 100 10 户 月平均用电量为 280 300 的用户有0 0025 20 100 5 户 课时作业 1 2017 全国 某城市为了解游客人数的变化规律 提高旅游服务质量 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折线图 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 根据该折线图 下列结论错误的是a 月接待游客量逐月增加b 年接待游客量逐年增加c 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月d 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月 波动性更小 变化比较平稳 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析对于选项a 由图易知 月接待游客量每年7 8月份明显高于12月份 故a错 对于选项b 观察折线图的变化趋势可知 年接待游客量逐年增加 故b正确 对于选项c d 由图可知显然正确 故选a a 58b 49c 67d 310 2 2018届广东肇庆检测 下面茎叶图记录了甲 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 已知甲组数据的中位数为15 乙组数据的平均数为16 8 则x y的值分别为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意根据甲组数据的中位数为15 可得x 5 乙组数据的平均数为16 8 3 2016 全国 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 图中a点表示十月的平均最高气温约为15 b点表示四月的平均最低气温约为5 下面叙述不正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 各月的平均最低气温都在0 以上b 七月的平均温差比一月的平均温差大c 三月和十一月的平均最高气温基本相同d 平均最高气温高于20 的月份有5个 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知 平均最高气温高于20 的有七月 八月 故选d a 20b 25c 22 5d 22 75 解析 答案 4 某工厂对一批新产品的长度 单位 mm 进行检测 如图是检测结果的频率分布直方图 据此估计这批产品的中位数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析产品的中位数出现在频率是0 5的地方 自左至右各小矩形的面积依次为0 1 0 2 0 4 0 15 0 15 设中位数是x 则由0 1 0 2 0 08 x 20 0 5 得x 22 5 故选c 5 2017 长沙适应性考试 某校开展 爱我母校 爱我家乡 摄影比赛 七位评委为甲 乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示 其中m为数字0 9中的一个 去掉一个最高分和一个最低分后 甲 乙两名选手得分的平均数分别为a1 a2 则一定有 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a a1 a2b a2 a1c a1 a2d a1 a2的大小与m的值有关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由茎叶图知 6 若样本数据x1 x2 x10的标准差为8 则数据2x1 1 2x2 1 2x10 1的标准差为a 8b 15c 16d 32 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析已知样本数据x1 x2 x10的标准差为s 8 则s2 64 数据2x1 1 2x2 1 2x10 1的方差为22s2 22 64 7 已知样本数据x1 x2 xn的平均数 5 则样本数据2x1 1 2x2 1 2xn 1的平均数为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 8 为了了解一片经济林的生长情况 随机抽测了其中60株树木的底部周长 单位 cm 所得数据均在区间 80 130 上 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的60株树木中 有 株树木的底部周长小于100cm 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析底部周长在 80 90 的频率为0 015 10 0 15 底部周长在 90 100 的频率为0 025 10 0 25 样本容量为60 所以树木的底部周长小于100cm的株数为 0 15 0 25 60 24 9 2018 郑州模拟 某电子商务公司对10000名网络购物者2016年度的消费情况进行统计 发现消费金额 单位 万元 都在区间 0 3 0 9 内 其频率分布直方图如图所示 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 直方图中的a 2 在这些购物者中 消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6000 解析 解析由频率分布直方图及频率和等于1 可得0 2 0 1 0 8 0 1 1 5 0 1 2 0 1 2 5 0 1 a 0 1 1 解得a 3 于是消费金额在区间 0 5 0 9 内的频率为0 2 0 1 0 8 0 1 2 0 1 3 0 1 0 6 所以消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为0 6 10000 6000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 某校女子篮球队7名运动员身高 单位 cm 分布的茎叶图如图 已知记录的平均身高为175cm 但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰 如果把其末位数字记为x 那么x的值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2017 贵州遵义检测 在一个文艺比赛中 12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组 给参赛选手打分 如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 求a组数的众数和b组数的中位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 对每一组计算用于衡量相似性的数值 回答 小组a与小组b哪一个更像是由专业人士组成的 并说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解小组a b数据的平均数分别为 小组a b数据的方差分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 如果w为整数 那么根据此次调查 为使80 以上居民在该月的用水价格为4元 立方米 w至少定为多少 12 2016 北京 某市民用水拟实行阶梯水价 每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元 立方米收费 超出w立方米的部分按10元 立方米收费 从该市随机调查了10000位居民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如下频率分布直方图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解如题图所示 用水量在 0 5 3 的频率的和为 0 2 0 3 0 4 0 5 0 3 0 5 0 85 用水量小于等于3立方米的频率为0 85 又w为整数 为使80 以上的居民在该月的用水价格为4元 立方米 w至少定为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替 当w 3时 估计该市居民该月的人均水费 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解当w 3时 该市居民该月的人均水费估计为 0 1 1 0 15 1 5 0 2 2 0 25 2 5 0 15 3 4 0 15 3 4 0 05 3 5 3 0 05 4 3 0 05 4 5 3 10 7 2 1 8 1 5 10 5 元 即当w 3时该市居民该月的人均水费估计为10 5元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 2017 全国 为评估一种农作物的种植效果 选了n块地作试验田 这n块地的亩产量 单位 kg 分别为x1 x2 xn 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是a x1 x2 xn的平均数b x1 x2 xn的标准差c x1 x2 xn的最大值d x1 x2 xn的中位数 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为可以用极差 方差或标准差来描述数据的离散程度 所以要评估亩产量稳定程度 应该用样本数据的极差 方差或标准差 故选b 14 某公司为了解用户对其产品的满意度 从a b两地区分别随机调查了40个用户 根据用户对产品的满意度评分 得到a地区用户满意度评分的频率分布直方图和b地区用户满意度评分的频数分布表 a地区用户满意度评分的频率分布直方图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图 b地区用户满意度评分的频数分布表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 在图 中作出b地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 给出结论即可 b地区用户满意度评分的频率分布直方图 图 解作出频率分布直方图如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出 b地区用户满意度评分的平均值高于a地区用户满意度评分的平均值 b地区用户满意度评分比较集中 而a地区用户满意度评分比较分散 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 根据用户满意度评分 将用户的满意度分为三个等级 估计哪个地区用户的