[人教A版数学选修2-3]111分类计数原理与分步计数原理1.ppt

选修2 3第1章计数原理 本章概述本章内容的重点是两个计数原理 排列与排列数公式 组合与组合数公式 二项式定理与二项展开式的性质 难点是正确使用两个计数原理或排列组合的知识解决实际问题 学法指导1 本章内容概念性强 抽象性强 灵活性强 思维方法独特 因此要立足于基础知识 基本方法 基本问题的学习 2 对于易混淆的知识 如分类计数与分步计数原理 排列与组合 二项式系数与二项展开式中项的系数等 应着眼于搞清它们之间的区别和联系 1 1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 狐狸想从草地逃到小岛 可以走水路 也可以走陆路 走水路有2艘船 走陆路有3辆车子 问 乘坐这些交通工具 一共有多少种不同的方法 可以从草地逃回到小岛 狐假虎威后续 安全地 引例1 草地 狐狸总共有多少种方法逃到安全地 草地到安全地 有2类方法 能 2种3种 2 3 5种 水路2种 陆路3种 每类方法能否独立完成这件事情 怎样完成这个事情 每类方法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 要我们做什么事情 探究一 用A Z或0 9给教室的座位编号 有多少不同的号码 引例2 你能说出这两个问题的共同特征吗 每类方法能否独立完成这件事情 每类方法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 怎样完成这个事情 要我们做什么事情 座位编号 有2类方法 能 26种10种 26 10 36种 探究一 一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 两类中的方法不相同 探究一 其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情 它强调的是每一类中的一个方法就可以完成要做的事情 分类加法计数原理 思路点拨 该问题与计数有关 可考虑选用计数原理来计算 完成这件事 只要两位数的个位 十位数字确定了 这件事也就完成了 因此可考虑安排十位数上的数字进行分类 也可以考虑安排个位数上的数字进行分类 分类加法计数原理 解 法一 按十位上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 分类加法计数原理 法二 按个位上的数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 所以按分类加法计数原理 满足条件的两位数共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 思维总结 本题是分类计数原理的实际应用 由于个位数字大于十位数字 所以个位数字最小是2 最大是9 于是可从个位数字的数值分类考虑 分类加法计数原理 互动探究1本例条件不变 问个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 解 当个位数字为0 1 2 3 4 5 6 7 8时 符合条件的两位数分别有9 8 7 6 5 4 3 2 1个 根据加法计数原理共有9 8 7 6 5 4 3 2 1 45 个 分类加法计数原理 例 在填写高考志愿表时 一名高中毕业生了解到 A B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业 具体如下 这名同学可能的专业选择共有多少种 分析 两大学只能选一所一专业 且没有共同的强项专业 5 4 9 分类加法计数原理 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有4班 汽车有2班 轮船有3班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法 乘火车 有4种方法 第二类方法 乘汽车 有2种方法 第三类方法 乘轮船 有3种方法 所以从甲地到乙地共有4 2 3 9种方法 探究 分类加法计数原理 如果完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类方法中有m2种不同的方法 在第n类方法中有mn种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体的问题确定一个分类标准 在分类标准下进行分类 然后对每类方法计数 1 各类办法之间相互独立 都能独立的完成这件事 要计算方法种数 只需将各类方法数相加 因此分类计数原理又称加法原理 说明 N m1 m2 mn种不同的方法 分类加法计数原理 狐狸有一共有多少种不同的方法 可以从小岛逃回到自己的房子 安全地 狐假虎威后续 探究二 狐狸有一共有多少种不同的方法 可以从草地逃回到自己的房子 安全地 狐假虎威后续 探究二 引例3 草地到安全地 2步 不能 5种2种 5 2 10种 a1a2a3a4a5 b1b2 探究二 用前6个大写英文字母和1 9个阿拉伯数字 以A1 A2 B1 B2 的方式给教室的座位编号 有多少不同的号码 A1A2A3A4A5A6A7A8A9 9种 9种 6 9 54 你能说出这两个问题的共同特征吗 引例4 二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 例 设某班有男生30名 女生24名 现要从中选出男 女各一名代表班级参加比赛 共有多少种不同的选法 分两步进行选取 男 女 30 24 720 再根据分步乘法原理 若再要从语 数 英三科科任老师中选出一名代表参加比赛 那又共有多少种选法 老师 3 2160 1 如果完成一件事需要三个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第3步有m3种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 N m1 m2 m3 2 如果做一件事情 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有 种不同的方法 N m1 m2 mn 1 首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准 然后对每步方法计数 说明 2 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 3 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 又称乘法原理 如果完成一件事需要n个不可缺少的步骤 即只有完成所有的这些步骤 才能完成这件事 将每一步的方法数相乘 就得到完成这件事的方法数 例 书架第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架中取1本书 有多少种不同取法 有3类方法 根据分类加法计数原理 N 4 3 2 9 2 从书架第1 2 3层各取1本书 有多少种不同取法 分3步完成 根据分步乘法计数原理 N 4 3 2 24 解题关键 从总体上看做这件事情是 分类完成 还是 分步完成 再根据其对应的计数原理计算 分两步完成 左边 右边 甲 乙 丙 3 2 第一步 第二步 例4 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 2011年春节期间 齐鲁电视台开展了 替你为父母送东西 的活动 在外地打工的小王要给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机 现有5种型号的冰箱和3种型号的洗衣机 那么小王共有多少种购买方案 解 小王可分两步完成 第一步 购买冰箱有5种方法 第二步 购买洗衣机有3种方法 因此共有5 3 15种不同的购买方案 如图 从甲地到乙地有2条路 从乙地到丁地有3条路 从甲地到丙地有4条路可以走 从丙地到丁地有2条路 从甲地到丁地共有多少种不同地走法 课堂练习 N1 2 3 6 N2 4 2 8 N N1 N2 14 联系 区别一 完成一件事情共有n类办法 关键词是 分类 完成一件事情 共分n个步骤 关键词是 分步 区别二 每类办法中的任何一种方法都能独立完成这件事情 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能能独立完成这件事情 缺少任何一步也不能完成这件事情 只有每个步骤完成了 才能完成这件事情 分类计数原理和分步计数原理 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别三 各类办法是互斥的 独立的 各步之间是相关联的 分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系 何时用加法原理 乘法原理呢 加法原理 完成一件事情有n类方法 若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 乘法原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成互相独立的这n步后 才能完成这件事 分类要做到 不重不漏 分步要做到 步骤完整 课后练习 1 填空 一件工作可以用2种方法完成 有5人会用第1种方法完成 另有4人会用第2种方法完